Matematinė analizė ir tiesinė algebra

1. Matematinė analizė ir tiesinė algebra 5-7 paskaitos.

2. Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas • Funkcijos y=f(x)pirmykštė funkcija vadinama funkcija y=F(x), su kuria galioja lygybė F’(x)=f(x). • Jei funkcijos y=f(x)pirmykštė funkcija yra y=F(x), tai bet kuri kita funkcijos y=f(x)pirmykštė funkcija y=G(x) išreiškiama formule G(x)=F(x)+C, kur C – laisvoji konstanta. • Funkcijos y=f(x)neapibrėžtiniu integralu vadinama funkcijos y=f(x)pirmykščių funkcijų F(x)+C aibė: čia f(x) vadinama pointegraline funkcija, o sandauga f(x)dx – pointegralinių reiškiniu. • Iš integralo apibrėžimo aišku, kad

3. Pagrindinių integralų lentelė

4. Pagrindinių integralų lentelė

5. Neapibrėžtinio integralo savybės Pastovų daugiklį galima iškelti prieš integralo ženklą Funkcijų sumos integralas lygus šių funkcijų integralų sumai Tada bet kuriam dėmenų skaičiui n Skaičiuojant funkcijų sumos integralą, rašoma viena laisvoji konstanta

6. Pagrindinės integravimo taisyklės

7. Integravimo metodai • Integravimas keičiant kintamąjį. Jeigu x=g(t) diferencijuojama funkcija, o t – naujasis integravimo kintamasis, tai Suintegravus, reikia grįžti prie seni kintamojo x • Integravimas dalimis. Jei u ir v diferencijuojamos funkcijos, tai

8. Neapibrėžtųjų koeficientų metodas • Šiuo metodu patogu integruoti racionaliąsias funkcijas: • Racionaliosios funkcijos integravimas. • Kai n≥k, daugianarį P(x) padaliję iš (x-c)k gauname kokį nors daugianarį Q(x) ir liekaną R(x), kurio laipsnis yra mažesnis už k: • Šią lygybę dalijame iš (x-c)k :

9. Neapibrėžtųjų koeficientų metodas • Integruodami gauname: • Teorema. Tarkime, R(x) yra m-jo yra laipsnio daugianaris ir m<k. Tuomet egzistuoja koeficientai A1, A2, ..., Ak su kuriais R(x) išreiškiamas formule • Šia tapatybę dalijame iš (x-c)k: • Koeficientai A1, A2, ..., Ak randami tapatybės dešiniojoje pusėje atlikus veiksmus ir sulyginus abiejų pusių koeficientus prie vienodų kintamojo x laipsnių.

10. Neapibrėžtųjų koeficientų metodas • Neapibrėžtųjų koeficientų metodas taikomas ir sudėtingesnėms racionaliosioms funkcijoms integruoti, • Teorema. Tarkime, P(x) ir Q(x) yra n-jo ir m-jo laipsnio daugianariai ir n<m. Tuomet jei Q(x) yra išreikštas kaip tai egzistuoja koeficientai A1, A2, ..., Ap , B1, B2, ..., Bq, ..., M1, M2, ..., Mr, N1, N2, ..., Ns, ... su kuriais

11. Racionaliųjų trupmenų integravimo algoritmas • Jeigu racionalioji trupmena netaisyklingoji, tai išskyrę sveikąją dalį (padaliję skaitiklį iš vardiklio), gauname taisyklingąją racionaliąją trupmeną. • Taisyklingosios racionaliosios trupmenos vardiklį išskaidome daugikliais. Jų gali būti 2 tipų: (x-α)pir (x2+ux+x)r, čia α – realioji vardiklio šaknis, o kvadratinių trinarių diskriminantai neigiami. • Priklausomai nuo vardiklyje gauto skaidinio, nagrinėjamą taisyklingąją racionaliąją trupmeną išreiškiame paprasčiausių racionaliųjų trupmenų suma. Jų gali būti 2 tipų: čia α, u, v, A, M, N – realieji skaičiai, k, l – natūralieji skaičiai, D=u2-4v<0 . • Randame neapibrėžtuosius koeficientus ir integruojame gautas paprasčiausias racionaliąsias trupmenas

12. Trigonometrinių reiškinių integravimas • Universalusis keitinys skaičiuojant trigonometrinės funkcijos R(x) integralą yra tg(x/2)=t, tada • Jeigu R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx)(t.y. pointegralinė funkcija nelyginė sinx atžvilgiu), tai rekomenduojamas keitinys cosx=t, tada • Jeigu R(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx)(t.y. pointegralinė funkcija nelyginė cosx atžvilgiu), tai rekomenduojamas keitinys sinx=t, tada

13. Trigonometrinių reiškinių integravimas • Jeigu R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx), tai rekomenduojamas keitinys tgx=t, tada • Integralams ∫sin2nxdx ir ∫cos2nxdx skaičiuoti naudojamos formulės 6.

14. Iracionaliųjų funkcijų integravimas Integralas pakeičiamas trupmenos integralu, naudojant keitinį kur k lygus trupmenų m/n, ... , r/s bendrajam vardikliui. Atskiru atveju, vietoje gali būti ax+b arba x.

15. Iracionaliųjų funkcijų integravimas čia p = b/a, q = c/a. • Visais atvejais gautajame kvadratiniame trinaryje x2+px+q išskiriame pilną kvadratą ir tą dalį, kuri yra pakelta kvadratu, pažymime nauju kintamuoju t. • Tuomet gauname vieną iš trijų reiškinių:

16. Iracionaliųjų funkcijų integravimas Iracionalumui atsikratyti galime taikyti keitinius:

17. Apibrėžtinis integralas • Tegu funkcija y=f(x) yra tolydi intervale [a; b]. Taškais x1, x2, ...,xn-1šį intervalą padalykime į n intervalų. Pažymėkime a=x0, b=xn. Tuomet intervalas [a; b] yra n dalinių intervalų sąjunga. Šių dalinių intervalų ilgiai yra atitinkamai Δx1= x1 – x0 , Δx2= x2- x1, Δxn= xn - xn-1. Kiekviename daliniame intervale [xn-1;xn] laisvai pasirinkę po vieną tašką ck, sudarykime sumą kuri vadinama integraline suma. Tarkime, funkcija y=f(x) yra tolydi intervale [a; b], o - šios funkcijos integralinė suma, w=maxΔxk . Jei egzistuoja limw→0S , nepriklausanti nei nuo intervalo [a; b] skaidinio, nei nuo taškų ckpasirinkimo, tai ši riba vadinama funkcijos apibrėžtinių integralu intervale [a; b].

18. Apibrėžtinis integralas • Apibrėžtinis integralas žymimas simboliu čia a ir b vadinami integravimo rėžiais: a – apatiniu, b – viršutiniu; f(x) – pointegralinė funkcija; f(x)dx – pointegraliniu reiškiniu. • Jei intervale [a; b] egzistuoja funkcijos f(x) apibrėžtinis integralas, tai sakoma, kad funkcija f(x) yra integruojama intervale [a; b]. • Kiekviena tolydi uždarome intervale funkcija yra integruojama tame intervale. • Apibrėžtinis integralas yra kreivinės trapecijos, apribotos Ox ašimi ir funkcijos y=f(x) grafiku, kai a ≤ x ≤ b, plotas (jei intervale [a; b] funkcijos reikšmės yra neneigiamos f(x) ≥ 0). • Kai intervale [a; b] funkcijos f(x) reikšmės nėra teigiamos, t.y. f(x) ≤ 0, tai šios funkcijos apibrėžtinis integralas intervale [a; b] tenkina nelygybę

19. Apibrėžtinio integralo savybės • Niutono – Leibnico formulė. • Jei f(x) yra tolydi intervale [a; b], tai funkcija F(t), išreikšta apibrėžtiniu integralu su kintamuoju viršutiniu rėžiu, t.y. turi išvestinę F’(t)=f(t).

20. Apibrėžtinio integralo savybės Tarpinės reikšmės teorema. Jei funkcija y=f(x) yra tolydi intervale [a; b], tai yra toks skaičius c, a < c < b, kad galioja lygybė Skaičius f(c) vadinamas funkcijos y=f(x)tarpine reikšme intervale [a; b].

21. Netiesioginiai integralai • Tarkime, funkcija y=f(x) yra tolydi intervale [a; +∞). Funkcijos y=f(x)netiesioginiu integralu intervale [a; +∞) vadinama riba • Tolydžios intervale (-∞; a] funkcijos y=f(x) netiesioginiu integralu vadinama riba • Tolydžios intervale (-∞;∞) funkcijos y=f(x) netiesioginiu integralu vadinama riba • Jei netiesioginį integralą apibrėžianti riba egzistuoja, tai sakoma, kad šis integralas konverguoja, priešingu atveju – diverguoja.

22. Netiesioginių integralų savybės • Netiesioginiams integralams iš esmės galioja tokios pat savybės kaip ir apibrėžtiniam integralui, kurio rėžiai baigtiniai.

23. Netiesioginių integralų savybės • Niutono-Leibnico formulę apibrėžtiniam integralui skaičiuoti galima apibendrinti it taikyti skaičiuojant netiesioginius integralus. • Kaip ir apibrėžtinio integralo, netiesioginio integralo geometrinė prasmė yra tokia pati – tam tikros figūros plotas. Ši figūra, būdama begalinė, gali turėti ir baigtinį plotą (jei integralas konverguoja). Pavyzdžiui,