Progetto PON Competenze matematiche 1

1. Istituto Comprensivo Capaccio CapoluogoA.S. 2013 – 2014Scuola Secondaria Primo Grado CapaccioClasse IIIA Progetto PON Competenze matematiche 1 Esperto esterno: prof. Nicola TANCREDI Tutor: prof. ssa Antonietta De Gregorio

2. Articolazione del progetto • Laboratorio dei numeri, delle relazioni e funzioni • Rapporti e proporzioni; • Studio delle equazioni ed applicazioni ai problemi. • Laboratorio di geometria • Costruzione e rappresentazione delle figure geometriche tramite software informatici; • Simmetria, rotazione e traslazione delle figure geometriche • Raccolta ed elaborazioni dei dati • La probabilità; Rappresentazione informatica dei dati (utilizzo di Excel) ;Gli eventi • La statistica

3. Laboratorio dei numeri, delle relazioni e funzioni Dai problemi alle equazioni. L’attivitàè centrata sulla costruzione di un modello risolutivo di una situazione problematica, partendo dalle condizioni e relazioni tra dati ed incognite e arrivando alla conseguente procedura risolutiva. Le fasi risolutive di un problema vengono presentate con delle schede passando dal linguaggio naturale, in cui sono formulati i problemi proposti, al linguaggio algebrico, giungendo a trovare un modello e la soluzione del problema. L’impostazione, la risoluzione e la verifica di problemi modellizzabili attraverso equazioni sarà fatta anche utilizzando mediatori informatici.

4. I Protagonisti La PROF. Federica Marcello Dario

5. PROBLEMA! In un allevamento ci sono polli e conigli. Le teste sono in tutto 49, le zampe sono 168. Quanti sono i polli e quanti i conigli?

6. Federica , Marcello e Dario hanno individuato i dati Quanti sono i polli e quanti i conigli? Le zampe sono 168 Le teste sono 49 La somma degli animali è 49 (ogni animale ha una testa) La somma delle zampe è 168 (i polli hanno 2 zampe, i conigli hanno 4 zampe) 

7. Marcello si rivolge all’amico Dario che gli traduce il problema in equazione Come incognita si può scegliere uno qualsiasi dei numeri da trovare numero di polli x Se gli animali sono in tutto 49 e x sono i polli, i conigli saranno gli animali rimanenti, cioè 49-x. numero di conigli 49-x Come procediamo? Ok! ma l’equazione per risolvere il problema qual è?

8. Dario scrive l’equazione Per scrivere l'equazione utilizza la seconda relazione tra i dati la somma delle zampe è 168 2·x + 4·(49-x)=168 i polli hanno 2 zampe i polli sono x i conigli hanno 4 zampe i conigli sono 49-x le zampe in tutto sono 168 Quindi basta risolvere l’equazione? Bisogna usare i principi di equivalenza

9. Dario, Federica e Marcello risolvono l’equazione 2·x+4·(49-x)=168 eseguiamo la moltiplicazione ed eliminiamo la parentesi 2x+196 -4x=168 portiamo al secondo membro i termini senza incognita (I Principio) 2x-4x=168-196 sommiamo i monomi simili -2x=-28 moltiplichiamo per -1 in quanto il coefficiente della x è negativo (II Principio) 2x=28 equazione in forma normale, dividiamo primo e secondo membro per 2 (II Principio) Per essere sicuri, bisogna fare la verifica! Quindi la soluzione è x=14

10. Soluzione e verifica delle soluzioni del problema Quanti sono i polli e quanti i conigli? I polli sono 14 I conigli sono 49-14=35 Le soluzioni trovate sono accettabili in quanto sono numeri interi positivi. Verifichiamo le condizioni richieste: 14+35 = 49  gli animali sono in tutto 49 2·14+4·35 = 28+140 = 168 le zampe sono in tutto 188

11. Indovinello popolare Un mattone pesa un chilo più mezzo mattone. Quanto pesa un mattone?

12. Considera una bilancia a bracci uguali: Mantieni la bilancia in equilibrioeffettuando le seguenti operazioni. Poni un mattone su un piatto della bilancia e sull’altro piatto un peso da 1Kg e mezzo mattone.

13. Togli mezzo mattone da ciascun piatto della bilancia. Mezzo mattone pesa? Quindi il mattone pesa?

14. Mezzo mattone pesa 1 Kg Bravi, ma vi ho aiutato, provate a risolverlo con le equazioni Quindi un mattone pesa 2Kg Abbiamo risolto il problema senza usare le equazioni!

15. Si ottiene: x=x+1/2 Facendo il m.c.m. Usando i principi di equivalenza si ha: 2x-x=2 x=2 Indichiamo con x il peso del mattone Cioè un mattone pesa 2 kg. Bravi, adesso indicate con x il peso di mezzo mattone cosa ottenete?

16. Si ottiene: 2x=x+1 Usando i principi di equivalenza si ha: 2x-x=1 x=1 Indichiamo con x il peso di mezzo mattone Quindi un mattone pesa 2 Kg (come avevamo già trovato) Cioè mezzo mattone pesa 1 kg. Bravi, come avete visto si può scegliere l’incognita in modo diverso (“opportuno “)ma il risultato non deve cambiare

17. La probabilità Il disco della variabilità • In questo percorso didattico, pensato per la terza classe della scuola secondaria di primo grado, si vogliono consolidare i concetti base della matematica dell’ incerto ed ampliare la capacità di applicazione dei medesimi, a contesti tratti dalla genetica che usualmente viene trattata nelle scienze. Dalla riflessione sulla variabilità degli individui si sollecitano i ragazzi a svolgere una serie di attività nelle quali si utilizzano facili modellizzazioni e strumenti di rappresentazione diversi per fare considerazioni probabilistiche su situazioni tratte dalla vita reale.

18. Abbiamo osservato la scheda ricevuta e dopo attenta lettura della legenda dei simboli, partendo da centro del disco abbiamo colorato ognuno il proprio percorso ed annotato, scegliendo per ogni disco concentrico le proprie caratteristiche. Questa rappresentazione è stata usata molte volte a Scuola Città Pestalozzi, ma è di origine ignota, probabilmente è presa da qualche vecchio libro di testo di scienze.

19. Nel disco della variabilità secondo alcuni caratteri somatici del fenotipo, i simboli usati sono da leggere come indicato sotto: • T = capelli scuri t = capelli chiari • E = pigmentazione dell‟occhio e = mancanza di pigmentazione • (bruno, verde, nocciola) (azzurro) • M = naso a narici larghe m = naso a narici strette • L = lobi auricolari sporgenti l = lobi auricolari aderenti • R = lingua arrotolabile r = lingua non arrotabile • B = mento con fossetta b = mento senza fossetta • H = capelli ricci h = capelli lisci

20. Ci siamo trovati a dover decidere se il nostro fenotipo (insieme dei caratteri manifesti) poteva essere rappresentato da uno o l’ altro dei simboli? • Il tipo di rappresentazione richiede di rispondere ogni volta: il carattere è presente oppure no, non si possono esprimere qualità intermedie. • Quale modello matematico può essere adatto a rappresentare questa costruzione? • Siamo di fronte ad una situazione che ha una natura binaria SI/NO, identica a quella che si riscontra nel lancio di due monete.

21. Se lanci due monete hai 4 possibilità TC,CT,TT,CC ossia 22 • Se lanci 3 monete hai 8 possibilità TCT, TCC, CTT,CTC, TTC,TTT,CCT,CCC ossia 23 (basta aggiungere alle coppie precedenti ogni volta sia T sia C). • Quante possibilità avremo con 4 monete? Abbiamo bisogno bisogno di scrivere tutto o possimao fare subito il calcolo perché abbiamo scoperto la regola? Saranno proprio 24. • Perché i numeri sulla circonferenza arrivano proprio a 128 considerato che i dischi concentrici sono 7? • Allora il modello per il nostro disco dei caratteri è appunto lo stesso del lancio di monete: • 27 =128

22. Grazie per l’attenzione!