PROGRAMA LINIER

1. PROGRAMA LINIER • Konsep dasar • Matematis: mencari kondisi optimal dari sebuah fungsi (tujuan) linier berdasarkan satu sistem fungsi pembatas linier. • Praktis: alokasi sumber daya terbatas untuk mencapai sebuah tujuan optimal.

2. Masalah dan Formulasi Pembatas Tujuan

3. Metoda Grafis • Buat sistem koordinat salib sumbu (Kuadran I) • Gambarkan fungsi pembatas untuk memperoleh daerah fisibel dan titik-titik fisibelnya • Subtitusikan koordinat masing-masing titik fisibel ke dalam fungsi tujuan, dan pilih nilai yang terbesar (maksimasi) atau terkecil (minimasi), atau • Gunakan garis selidik dengan menggambarkan garis fungsi tujuan. Jika garis selidik digambar di luar daerah fisibel, maka titik optimalya adalah titik yang pertama kali tersentuh garis tersebut (maksimasi) atau yang terakhir tersentuh (minimasi), kecuai titik nol (0,0)

4. Contoh Sebuah perusahaan membuat dua jenis produk (A dan B). Laba masing-masing adalah $ 1 dan $ 1,5 per unit. Kedua jenis produk dibuat melalui tiga deparemen (1, 2, dan 3). Produk A membutuhkan waktu di tiap departemen selama 2, 1, dan 4 jam sedangkan produk B selama 2 jam (di tiap departemen). Jika jam kerja yang tersedia di tiap departemen masing-masing adalah 160, 120, dan 280 jam per minggu masing-masing jenis produk harus dibuat agar diperoleh laba maksimum?

5. Solusi

6. Daerah Feasible: O-A-B-C-D Titik Feasible: A(0,60) Z=90 B(40.40) Z=100 C(60,20) Z=90 D(70,0) Z=70 O

7. Metoda Simplex • Ubah bentuk umum ke bentuk standar (fungsi pembatas bertanda =)dengan cara menambah slack variabel (S) pada ruas kiri fungsi pembatas bertanda  dan mengurangi ruas kiri fungsi pembatasa bertanda  dengan surplus variabel (U) sehingga • Buat tabel solusi awal (TSA) spb

8. Tabel Solusi Awal (TSA) • Melakukan iterasi Simplex • Pilih entering variabel, yaitu nbv dengan Cj paling negatif (mak) atau Cj paling positif (min). Jika ada lebih dari satu, pilih salah satu. Dan perhatikan nilai-nilai aij > 0 di kolom varini, sebut aij. Jika semua ais 0, stop (unbounded solution)  kondisi/isyarat optimal

9. Pilih leaving variabel, yaitu bv pada baris dengan Min. {bi/ais; ais > 0 }. Jika ada lebih dari satu, pillih salah satunya  kondisi/syarat fisibel • Persamaan pivot barubaru (ppb), yaitu baris pivot dibagi dengan elemen pivot (elemen pada sel irisan antara baris leaving variabel dan klom entering variable) • Buat tabel solusi baru dengan elemen awal ppb • Misal, ppb berasal dari baris r dan entering variabel ada pada kolom s. Maka, baris lain pada tabel baru dihitung, dengan formula • Z baru = (Z lama) – (Cs) x ppb • bv baru = (bv lama) – (ais) x ppb ; untuk i  s • Jika Cj pada kolom nbv semuanya positif (mak) atau semua negatif (minimasi), stop (solusi sudah optimal). Jika masih ada yang negatif (maksimasi) atau masih ada yang positif (minimasi), kembali ke langkah 1!

10. Contoh Sebuah perusahaan membuat dua jenis produk (A dan B). Laba masing-masing adalah $ 1 dan $ 1,5 per unit. Kedua jenis produk dibuat melalui tiga deparemen (1, 2, dan 3). Produk A membutuhkan waktu di tiap departemen selama 2, 1, dan 4 jam sedangkan produk B selama 2 jam (di tiap departemen). Jika jam kerja yang tersedia di tiap departemen masing-masing adalah 160, 120, dan 280 jam per minggu masing-masing jenis produk harus dibuat agar diperoleh laba maksimum?

11. Solusi Simplex Tujuan: Max. Z = X1 + 1,5 X2 atau Z - X1 - 1,5 X2+ 0S1 + 0S2 + 0S3= 0 Pembatas: 2X1 + 2 X2 + S1 = 160 Departemen 1 X1 + 2 X2 + S2 = 120  Departemen 2 4X1 + 2 X2 + S3 = 280  Departemen 3 S1, S2, S3, X1, X2  0

12. Tabel Solusi Awal (TSA) Maka,ppb = baris X2 = (1/2 1 0 1/2 0 60 ) Z1 = Z0 - C2 x ppb = ( 1/4 0 0 3/4 0 90 ) S11 = S10 - a12 x ppb = ( 1 0 1 -1 0 40 ) S31 = S30 - a32 x ppb = ( 3 0 0 -1 1 160 )

13. Semua Cj untuk nbv positif, solusi optimal telah didapat, yaitu: • Laba maksimum: $ 100 per minggu, jika • Produk 1 dan Produk 2 masing-masing sebanyak 40 unit, • dengan sisa waktu di departemen C: 40 jam.

14. Teknik - M Min. Z = 4X1+ X2, dengan pembatas 3X1 + X2 = 3 4X1 + 3X2  6 X1 + 2X2  4 X1, X2  0 Tambah S pada (3) dan (2) kurangkan dengan dengan U didapat Min. Z = 4X1+ X2, dengan pembatas : (1) 3X1 + X2 = 3 (2) 4X1 + 3X2 – U = 6 (3) X1 + 2X2 + S= 4 U,S, X1, X2  0 Tambahakan artificial variabel (R) ke fungsi pembatas bertanda “” dan “=” (pembatas (1) dan (2). Koefisien R dalam fungsi tujuan adalah M (minimasi) atau –M (maksiasi), dimana M merupakan bilangan positif yang sangat besar (M>>>0). Maka,

15. Min. Z= 4X1+ X2 + MR1 + MR2, dengan pembatas: 3X1+ X2 + R1 = 3 4X1+ 3X2 – U+ R2 = 6 X1+ 2X2 + S= 4 R1, R2, U, S, X1, X2  0 Dari pembatas (1) dan (2) didapat : R1 = 3 – 3X1 – X2 R2 = 6 – 4X1 – 3X2 + U Subtitusikan ke dalam fungsi tujuan, diperoleh: Min. Z = 4X1+ X2 + M (3 – 3X1 – X2 ) + M (6 – 4X1 – 3X2 + U)atau Min. Z = (4 – 7M)X1 + (1 - 4M )X2 + MU + 9M, dengan pembatas: • 3X1+ X2 + R1 = 3 • 4X1+ 3X2 – U+ R2 = 6 • X1+ 2X2+ S= 4 R1, R2, U, S, X1, X2  0

16. Tabel Solusi Awal (TSA) Dengan algoritma simpex diperoleh Tabel Solusi Optimal (TSO)

17. Metoda Dual Simplex • Pilih leaving variable (baris pivot), yaitu baris dengan Min. {bj ; bj < 0}, misal ada pada baris r. Jika tidak ada, stop (solusi sudah fisibel). • Pilih entering variable(kolom pivot), yaitu klom nbv dengan Min. { Cj/arj; arj < 0} untuk meminimasi, atau Min. { Cj/arj ; arj < 0 } untuk maksimasi. • Buat ppb sperti pada primal simplex, dan buat Tabel Iterasi 1. • Jika ruas kanan tidak ada lagi yang negatif dan Cj untuk nbv tidak ada lagi yang negatif (minimasi) atau tidak ada lagi yang positif (minimasi), stop (solusi sudah optimal dan fisibel). Jika tidak, kembali ke langkah 1.

18. Min. Z = 3X1 + 2X2 dengan pembatas 3X1 + 2X2  3 4X1 + 3X2  6 X1 + X2  4 X1, X2  0 • Jika pembatas (1) & (2) dikalikan dengan -1, didapat • Min. Z = 3X1 + 2X2, denganpembatas • -3X1 - X2 -3 • -4X1 - 3X2  -6 • X1 + X2 4 • S1, S2, S3  0 • X1, X2  0

19. Bentuk standar : • Min. Z = 3X1 + 2X2, dengan pembatas • -3X1 – X2 + S1 = -3 • -4X1 – 3X2 + S2 = -6 • X1 + X2 + S3 = 4 • S1, S2, S3 , X1, X2 0 Tabel 2.11 Solusi Awal