ECUATII SI SISTEME

1. Scoala Horea,Closca si Crisan - Turda ECUATII SI SISTEME Profesor Fantana Daniela

2. PROPRIETATILE EGALITATII IN R 1. Oricare ar fi numerele reale, a, b, c, d, daca a = b si c = d, atunci a + c = b + d 2. Oricare ar fi numerele reale, a, b, c, d, daca a = b si c = d, atunci a – c = b – d 3. Oricare ar fi numerele reale, a, b, c, d, daca a = b si c = d, atunci a  c = b  d 4. Oricare ar fi numerele reale, a, b, c, d, daca a = b si c = d, si c  0, d  0, atunci a : c = b : d a + 0 = a Daca a=b si b=a. Daca a = b si b = c atunci a = c a + b = b + a .

3. E C U A Ţ I I I N R Propozitia cu o variabila de forma ax + b = c se numeste ecuatie cu o necunoscuta. Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat. Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de inmulti/imparti egalitatea cu un numar diferit de zero. EXEMPLU: 2x + 9 = 5x + 30 2x – 5x = 30 - 9 -3x = 21 :(-3) x = -7. .

4. INECUAŢII IN R Propozitia cu o variabila de forma ax + b < c (sau >, , ) se numeste inecuatie cu o necunoscuta. Intr-o inecuatie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat. Intr-o inecuatie avem ,,dreptul” de inmulti/imparti egalitatea cu un numar diferit de zero. ATENTIE! Cand impartim/inmultim inecuatia cu un numar negativ, sensul inegalitatii se schimba! 5x – 8 > 7x + 4 EXEMPLU: 5x – 7x > 4 + 8 -2x > 12 : (-2) x < -6 .

5. ECUAŢII DE FORMA ax + b = 0 EXEMPLU: • Propozitia cu o variabila de forma ax + b = 0 se numeste ecuatie cu o necunoscuta, unde a si b sunt numere rationale. Rezolvati ecuatia Stabilim cmmmc al numitorilor si amplificam fractiile: • Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat. Amplificam numaratorii si scriem ecuatia fara numitori: Trecem termenii dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat: • Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de inmulti/imparti egalitatea cu un numar diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor si la final aflarea necunoscutei. Efectuam operatiile de adunare/scadere: Impartim ecuatia prin coeficientul necunoscutei: In final, aflam radacina ecuatiei: .

6. ECUATII DE FORMA ax + by + c = 0 In multimea numerelor naturale, o ecuatie de forma ax+by+c=0, are un numar limitat de solutii. Ecuatia de aceasta forma, in multimea numerelor reale, are o infinitate de perechi de solutii. Pentru orice valoare data a lui xR se obtine o valoare a lui yR. Fie ecuatia 2x + 3y = 21 Multimea solutiilor acestei ecuatii in R, reprezentata intr-un sistem XOY, este o dreapta. Extragem pe y din ecuatia data, in functie de x. Fie ecuatia: 2x + 3y = 11 Daca x = 1, rezulta y = 3; A(1;3) Daca x = 4, rezulta y = 1; B(4;1) Sa dam valori lui xN, astfel incat sa obtinem yN, si trecem valorile intr-un tabel simplu: y A(1;3) x 0 3 6 9 B(4;1) y 7 5 3 1 x 0 .

7. SISTEME DE DOUA ECUATII CU DOUA NECUNOSCUTE M E T O D A R E D U C E R I I Daca avem spre rezolvare sistemul de doua ecuatii cu doua necunoscute: Daca dorim sa aplicam metoda reducerii, atunci sa ne hotaram ce necunoscuta dorim s-o reducem (,,mai lumeste, sa scapam de ea”). EU, m-am hotarat sa ,,scap” de y ! Identific coeficientii lui y din cele doua ecuatii si aflu c.m.m.m.c al lor. Acestia fiind +3 si -2, c.m.m.m.c. este 6; Imi pun intrebarea: cu cat sa inmultesc cele doua ecuatii astfel incat sa obtin coeficientii lui y, numere opuse. Pentru asta, voi inmulti prima ecuatie cu 2 si a doua ecuatie cu 3. dupa cum vedeti: Tragem linia si adunam cele doua ecuatii, obtinand: Rezolvand ecuatia 25 x = 50, vom afla 25x  = 50 x = 2 Continuare in pagina urmatoare: .

8. M E T O D A R E D U C E R I I Fiind dat sistemul, in continuare sa-l rezolvam tot prin metoda reducerii, de data aceasta reducand necunoscuta x. Acuma ne gandim care este c.m.m.m.c. al coeficientilor lui x din cele doua ecuatii; coeficientii fiind +2 si +7, c.m.m.m.c. este 14; vom inmulti prima ecuatie cu +7 si a doua ecuatie cu –2, astfel incat sa obtinem coeficientii lui x, numere opuse: Tragem linia si adunam termen cu termen, obtinand:  + 25y = 125 y = 5 Rezolvand ecuatia 25 y= 125, vom afla Verificare: Se introduc valorile lui x si y in sistem:   .

9. SISTEME DE DOU ECUATII CU DOUA NECUNOSCUTE METODA SUBSTITUŢIEI Daca avem spre rezolvare sistemul de doua ecuatii cu doua necunoscute: Alegem o ecuatie din cele doua ale sistemului, evident mai usoara din punct de vedere al coeficientilor, si scoatem o necunoscuta in functie de cealalta: Din 3x + y = 7  y = 7 – 3x; introducem valoarea lui y in cealalta ecuatie si rezolvam ecuatia in necunoscuta x. 2x– 5(7 –3x) = 16; 2x – 35 + 15x = 16; 17x = 16 + 35; 17x = 51; x = 51:17 = 3. Dupa ce am aflat valoarea lui x = 3, aceasta o introducem intr-una din cele doua ecuatii, care va deveni o ecuatie in necunoscuta y, si o rezolvam: 3x + y = 7  33 + y = 7  9 + y = 7  y = 7 – 9  y = –2. .

10. REZOLVAREA DE PROBLEME CU AJUTORUL ECUATIILOR SAU A SISTEMELOR DE ECUATII Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuatiilor sau a sistemelor de ecuatii presupune urmatoarele etape de rezolvare: • Stabilirea datelor cunoscute si a celor necunoscute din problema. • Alegerea necunoscutei (necunoscutelor) si exprimarea celorlalte date necunoscute in functie de aceasta (acestea). • Alcatuirea unei ecuatii (sistem de ecuatii) cu necunoscuta (necunoscutele) aleasa (alese), folosind datele problemei. • Rezolvarea ecuatiei (sistemului de ecuatii). • Verificarea solutiei. • Formularea concluziei (raspunsului) problemei. .

11. PROBLEMA REZOLVATA Intr-un triunghi, ABC, masura unghiului B este dublul masurii unghiului A iar masura unghiului C este cu 25% mai mica decat masura unghiului B. Aflati masurile unghiurilor triunghiului ABC. REZOLVARE: 1. Identificam necunoscuta principala, aceasta fiind masura unghiului A. Notam x = masura unghiului A. 2. A doua necunoscuta, este masura unghiului B, care fiind dublul masurii lui A, va fi 2x. 3. A treia necunoscuta, este masura unghiului C, care este cu 25% mai mica decat masura lui B, adica este 75% din masura lui B. Aceasta va fi 75% din 2x adica 0,752x = 1,5x. 4. Suma celor trei unghiuri este egala cu 1800. 5. Avem realizata ecuatia: x + 2x + 1,5x = 1800 7. Concluzia: -masura unghiului A este egala cu 400. -masura unghiului B este egala cu 800. -masura unghiului C este egala cu 600 6. Rezolvarea ecuatiei: 4,5x = 1800 x = 1800:4,5 x = 400 Tit Cuprian – Sarichioi - 2009 .

12. Succes! .