sisteme de ecuatii liniare n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Sisteme de ecuatii liniare PowerPoint Presentation
Download Presentation
Sisteme de ecuatii liniare

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 26

Sisteme de ecuatii liniare - PowerPoint PPT Presentation


  • 308 Views
  • Uploaded on

Sisteme de ecuatii liniare. Prof. Dragan Oliwer Colegiul National “Calistrat Hogas” Tecuci. Notiuni generale. Definitia 1: Sistemul (1) unde a ij , b i ∈ R , i ∈ {1,…,m}, j ∈ {1,…,n} se numeste sistem de m ecuatii

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Sisteme de ecuatii liniare' - avonaco


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
sisteme de ecuatii liniare

Sisteme de ecuatii liniare

Prof. Dragan Oliwer

Colegiul National “Calistrat Hogas” Tecuci

notiuni generale
Notiuni generale

Definitia 1: Sistemul

(1)

unde aij , bi ∈R , i ∈{1,…,m}, j ∈{1,…,n} se numeste sistem de m ecuatii

liniare cu n necunoscute.

Definitia 2: Numerele reale x1, x2, x3, … , xn care verifica fiecare

ecuatie a sistemului (1) reprezinta solutia sistemului (1).A rezolva

sistemul (1) inseamna a-i determina toate solutiile.

slide3
Definitia 3: Un sistem de ecuatii liniare care :

- are solutie unica se numeste sistem compatibil

determinat;

- are o infinitate de solutii se numeste sistem compatibil

nedeterminat;

-nu are solutii se numeste sistem incompatibil.

Definitia 4. Sistemul (1) se numeste omogen daca toti termenii liberi

sint egali cu zero.

notatii
Notatii

Matricea

se numeste matricea sistemului (1)

Matricea

se numeste matricea extinsa

a sistemului (1).

slide5
se numeste matricea termenilor liberi

se numeste matricea necunoscutelor

Observatie:

AX = B este forma matriceala a sistemului (1).

rezolvarea matriceala a sistemelor liniare de n ecuatii cu n necunoscute
Rezolvarea matriceala a sistemelor liniare de n ecuatii cu n necunoscute

Fie sistemul

Etapa1: -se scrie sistemul sub forma AX = B si se calculeaza detA;

Etapa 2:-daca detA ≠ 0, se calculeaza A-1 ;

Etapa 3: -solutia sistemului este X =A-1B.

Observatie: daca detA = 0, atunci sistemul poate fi compatibil nedeterminat sauincompatibil.

Exemplu: Sa se rezolve sistemul urmator utilizind metoda matriceala:

aplicatii
Aplicatii

1. Utilizind metoda matriceala sa se rezolve sistemele:

a). b).

c).

2. Utilizind metoda matriceala , sa se rezolve sistemele urmatoare in functie de parametrul real m:

a). b).

metoda lui cramer de rezolvare a sistemelor de n ecuatii cu n necunoscute
Metoda lui Cramer de rezolvare a sistemelor de n ecuatii cu n necunoscute

Fie sistemul

(1)

Teorema: Daca pentru sistemul de ecuatii liniare (1) d = detA ≠ 0 atunci sistemul este compatibil determinat , iar solutia este data de formulele

(2)

unde este determinantul obtinut din d prin inlocuirea coloanei i cu coloana termenilor

liberi , celelalte coloane raminind neschimbate.

Obs: 1). – in conditiile teoremei de mai sus , sistemul (1) se numeste sistem de tip Cramer;

2). – formulele (2) se numesc formulele lui Cramer.

exemple
Exemple

1.Sa se rezolve urmatorul sistem cu ajutorul regulii lui Cramer:

Rezolvare: determinantul sistemului este

d = = = 10

= = -10 = -10(-14 – 60) = 740

slide11
Pentru ca d ≠ 0 , sistemul este compatibil determinat. Avem:

Deci,

Solutia sistemului este S={(1, -2, 3 , 2 )}

slide12
2. Sa se arate ca sistemul are solutie unica daca si numai daca

Rezolvare: determinantul sistemului este

= -2αβγ

Sistemul este compatibil determinat d ≠ 0 αβγ≠ 0 .In acest caz solutia sistemului este data de formulele lui Cramer. Avem

= =

=

Deci, , ,

aplicatii1
Aplicatii

1. Sa se rezolve sistemele urmatoare utilizind regula lui Cramer:

a). b).

2. Sa se determine parametrul real m astfel incit sistemele de mai jos sa aiba solutie unica:

a). b).

c).

rezolvarea sistemelor de m ecuatii cu n necunoscute
Rezolvarea sistemelor de m ecuatii cu n necunoscute

Fie sistemul

(1).

Teorema lui Kronecker-Capelli:Sistemul de ecuatii liniare (1) este compatibil

daca si numai daca rangA = rangĀ.

Metoda de lucru:

- fie rangA = rangĀ = r

- din rangA = r  in A  minorul d = ≠ 0 numit minor principal

slide15
- necunoscutele ale caror coeficienti apar in d se numesc necunoscute principale;

-ecuatiile ale caror coeficienti apar in d se numesc ecuatii principale;

-necunoscutele ale caror coeficienti nu apar in d se numesc necunoscute secundare; lor li se vor atribui valori arbitrare ( , ,  ,  , etc.).;

-rezulta un sistem de r ecuatii cu r necunoscute care se rezolva cu regula lui Cramer.

Exemplu: 1. Sa se rezolve sistemul:

Rezolvare: A= Ā =

d = = 3 ≠ 0 si = 0 , =0  rangA = 2

 d este minor principal; deoarece = 0  rangĀ = 2

slide16
deoarece rangA = rangĀ  sistemul este compatibil nedeterminat;

x , y sint necunoscute principale

z , t sint necunoscute secundare; notam z =  , t =  , unde  ,   

Avem sistemul cu solutiile x =1 -  -  si y = 1 - 

Solutia sistemului dat este

2. Rezolvati sistemul :

Avem A = si Ā =

slide17
d = = 28 ≠ 0  rangA = 3 iar d este minor principal

= 14 ≠ 0  rangĀ = 4

Deoarece rangA ≠ rangĀ  sistemul este incompatibil.

Observatie: In exemplul anterior se observa ca pentru a calcula rangul matricei Ā am bordat minorul principal cu elementele corespunzatoare coloanei termenilor liberi si elementele de pe linia ramasa in Ā. De aici deducem urmatoarea definitie:

Definitie: Minorul obtinut prin bordarea minorului principal cu elementele corespunzatoare coloanei termenilor liberi si elementele corespunzatoare unei linii ramase in Ā se numeste minor caracteristic.

Teorema lui Rouche:Un sistem de ecuatii liniare este compatibil  toti minorii caracteristici sint nuli.

Obs: metoda de determinare a solutiilor sistemului este cea descrisa la teorema lui Kronecker- Capelli.

aplicatii2
Aplicatii

1.Sa se rezolve sistemul

Rezolvare: avem d= = -5≠ 0 si , ,

Deci d este minor principal. Minorii caracteristici sint:

si , deci sistemul este compatibil.

Avem: x1 , x2 necunoscute principale si x3 , x4 necunoscute secundare.

Notam x3 =  , x4 =  . Avem sistemul de tip Cramer

Cu solutiile x1 = -2 - +  si x2 = 3 +  - . Solutia generala a sistemului dat este:

slide19
2. Sa se determine  si  astfel incit urmatoarele sisteme sa fie compatibile

a). b).

Rezolvare: a). A = si Ā =

Avem d= = 6 ≠ 0 iar si  rangA = 2 iar d este

minor principal.Sistemul este compatibil  toti minorii caracteristici sint nuli.Exista un singur minor caracteristic, deci trebuie sa avem

  - 4 = 0

  = 4.

b). A= ; Ā =

slide20
Avem d = = 5 ≠ 0  rangA = 2 iar d este minor principal. Sistemul este

compatibil  toti minorii caracteristici sint nuli.Avem

  = 2 si   = 3.

3. Sa se rezolve sistemul , 

Solutie:

d =

= ( - 1)2( + 2)

Cazul 1. daca ≠ 1 si ≠ -2 atunci d ≠ 0 iar sistemul este compatibil determinat, solutia fiind data de formulele lui Cramer.

dx = = ( - 1)2 ,,dy = = ( - 1)2,dz = = ( - 1)2

slide21
solutia sistemului este x = y = z =

Cazul 2. daca  = 1 , sistemul se reduce la ecuatia x + y + z = 1 iar solutia sistemului este

x = 1-  -  , y =  , z =  unde  , 

Cazul 3. daca  = -2 avem sistemul

d = 0 si minorul = 3 ≠ 0 este minor principal. Singurul minor caracteristic este

= 9 ≠ 0 deci sistemul este incompatibil.

aplicatii3
Aplicatii
  • Sa se rezolve sistemele urmatoare:

a). b). c).

2. Sa se rezolve si sa se discute dupa valorile parametrilor reali m si n sistemele:

a). b).

sisteme de ecuatii liniare omogene
Sisteme de ecuatii liniare omogene

Sistemul se numeste sistem omogen.

Observatii: 1. – un sistem omogen este intotdeauna compatibil ( intotdeauna rangA =

rangĀ, deci conform teoremei lui Kronecker – Capelli sistemul este

compatibil);

2. – daca rangA = r atunci avem urmatoarele situatii:

a). pentru r = n singura solutie a sistemului omogen este solutia nula;

b). pentru r < n sistemul are si solutii nenule ; se utilizeaza metodele

invatate anterior pentru determinarea solutiilor sistemului .

3. –daca m = n atunci sistemul are solutii nenule  detA = 0;

4. –daca m < n atunci sistemul are solutii nenule.

Exemplu: Sa se determine  astfel incit sistemul urmator sa aiba solutii nenule si , in acest caz sa se rezolve:

slide24
d= = … = -

Cazul 1. daca ≠0  sistemul are solutia unica x = y =z = t = 0 ;

Cazul 2. daca  = 0  sistemul are solutii nenule; in acest caz avem sistemul

Minorul d’ = = -3 ≠ 0 este principal;

slide25
- x , y , z sint necunoscute principale

t =  - necunoscuta secundara; avem de rezolvat sistemul de tip Cramer

Solutia este x = , y = , z = 3

Deci , pentru  = 0 solutia generala a sistemului omogen dat este:

aplicatii4
Aplicatii

1.Sa se rezolve sistemele urmatoare:

a). b). c).

2.Se considera sistemul

a). Sa se determine parametrul real m astfel incit sistemul sa aiba solutie unica..

b). Pentru m = 1 determinati solutia sistemului.