Korelacje czasowo-przestrzenne w modelach dynamicznych

1. Korelacje czasowo-przestrzenne w modelach dynamicznych Przedstawiono formalizm kwantowej teorii rozpraszania, modele kaskadowe typu QMD oraz modele typu hydrodynamicznego Krzysztof Zberecki Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej

2. Zagadnienia • Podstawy kwantowej teorii rozpraszania • Formalizm • Twierdzenie optyczne • Wzór Breita-Wignera • Model UrQMD zderzeń ciężkich jonów • Przedstawienie modelu • Charakterystyki czasowo-przestrzenne • Funkcje korelacyjne • Podejście hydrodynamiczne • Model Teaney-Shuryak • Dane z modelu Dumitru

3. Kwantowa teoria rozpraszania • rozpatrujemy rozpraszanie elastyczne • rozwiązanie ścisłe otrzymuje się z rozwiązania równania: • na zewnątrz obszaru działania sił ruch cząstki (układu) można opisać za pomocą fal płaskich: • Rozwiązanie ścisłe będzie miało postać równania całkowego • Co można inaczej zapisać jako:

4. Kwantowa teoria rozpraszania – c.d. • współczynnik zwany jest amplitudą rozpraszania • czyli na dużych odległościach od centrum rozpraszania fala rozproszona (drugi składnik poprzedniego wzoru) jest całkowicie wyznaczona amplitudą rozpraszania • amplituda rozpraszania definiuje również przekrój czynny:

5. Metoda fal parcjalnych • jeżeli potencjał pola rozpraszającego ma symetrie kulistą to moment pędu jest całką ruchu, oznacza to, że stany odpowiadające różnym wartościom momentu pędu uczestniczą w rozpraszaniu niezależnie od siebie – dlatego można przedstawić falę padającą w postaci superpozycji fal parcjalnych należących odpowiednio do każdej z wartości momentu pędu: • biorąc pod uwagę postać f. Bessela na dużych odległościach od centrum • wtedy postać asymptotyczną f.f. padającej można przedstawić jako:

6. Metoda fal parcjalnych – c.d. • analogicznie można rozwinąć falę będącą rozwiązaniem problemu rozproszeniowego: • wstawiając f.f. takiej postaci do równania Schroedingera otrzymuje się funkcję R a co za tym idzie postać f.f końcowej, przy czym zmianie ulega tylko amplituda fal rozproszonych w centrum, stąd R ma postać dla kr>>l: • wykorzystując oba rozwinięcia na fale parcjalne fal padającej i końcowej oraz wyrażenie na R otrzymuje się następującą postać asymptotyczną f. f końcowej:

7. Metoda fal parcjalnych – c.d. • Amplituda rozpraszania wyraża się poprzez parametr Sl w następujący sposób: • Parametry Sl wyrażają jednoznacznie amplitudę rozpraszania, są one liczbami zespolonymi, więc można je zapisać jeszcze w innej formie za pomocą przesunięcia fazowego: • Dla rozpraszania ku przodowi (q=0) amplituda rozpraszania ma postać: • Biorąc pod uwagę wzór na różniczkowy przekrój czynny i całkując po wszystkich kątach daje to wzór na całkowity przekrój czynny na rozpraszanie elastyczne:

8. Twierdzenie optyczne • Całkowity przekrój czynny przedstawiony powyżej składa się parcjalnych przekrojów czynnych, odnoszących się do określonej wartości l: • Maksymalna wartość takiego l-tego przekroju czynnego wynosi: • Biorąc pod uwagę jawną postać amplitudy rozpraszania można zapisać jej część urojoną jako: • Porównując to wyrażenie z poprzednio zapisanym wyrażeniem na całkowity przekrój czynny rozpraszania elastycznego otrzymuje się związek zwany twierdzeniem optycznym: • Czyli całkowity przekrój czynny jest wprost proporcjonalny do urojonej części amplitudy rozpraszania ku przodowi

9. Twierdzenie optyczne – c.d • interpretacja twierdzenia optycznego • nazwa bierze się stąd, że podobne twierdzenie zostało po raz pierwszy odkryte dla fal elektromagnetycznych • można udowodnić, że jest ono przejawem zasady zachowania prawdopodobieństwa • wyraża fakt, że padająca fala płaska po „uderzeniu” w centrum rozpraszające staje się źródłem kulistej fali typu Huyghensa, fala ta powstaje kosztem fali padającej, a więc natężenie fali biegnącej do przodu musi ulegać zmniejszeniu – fala ta jest jak gdyby absorbowana • natężenie fal Huyghensa mierzone jest przez całkowity przekrój czynny i stąd równość tych dwóch wielkości • W elektrodynamice rolę równania ciągłości dla prawdopodobieństwa pełni równanie ciągłości dla energii pola

10. Wzór rezonansowy • rozpatrując rozpraszanie dwóch cząstek i traktując jedną z nich jako centrum rozpraszania to jeżeli dla danego l i przy określonej długości fali k amplituda rozpraszania elastycznego osiąga maksimum to mówi się, że dwie oddziałujące cząstki rezonują • uwzględniając zależność amplitudy rozpraszania od przekroju czynnego widać, że maksimum przypada dla d=p/2: • rozwijając ctgd(E) w szereg Taylora wokół punktu Er określającego energię w rezonansie otrzymuje się:

11. Wzór rezonansowy – c.d. • zaniedbując dalsze człony rozwinięcia i zakładając, że dostaje się, że: • korzystając z wzorów na przekrój czynny i podstawiając wartość otrzymaną powyżej dostaje się wzór rezonansowy Breita-Wignera: • Szerokość G określona jest tak, że przekrój czynny rozpraszania elastycznego maleje o czynnik 2 w stosunku do max. gdy • Szerokość i czas życia rezonansu połączone są wzorem:

12. Model UrQMD zderzeń ciężkich jonów • Model N-ciałowy służący do symulowania zderzeń ciężkich jonów przy wysokich energiach na zasadzie przypadek za przypadkiem • Struktura modelu • Inicjalizacja • Równania ruchu • Uwzględnienie zderzeń i produkcji cząstek • Kryterium zderzenia • Przekroje czynne • Czasy życia rezonansów

13. Inicjalizacja, równania ruchu • Założenie funkcji falowych nukleonów pocisku i tarczy w postaci pakietu gaussowskiego • Odpowiednie ograniczenia na początkowe położenia i pędy • Założone potencjały • Yukawy • Coulomba • „Pauliego” • Propagacja przeprowadzana za pomocą równań Hamiltona:

14. Zderzenia i produkcja cząstek • Warunek zajścia kolizji • Zderzenia wyłącznie binarne • Przekroje czynne parametryzowane, parametryzacja zależna od rodzaju zderzenia, ogólnie: • Uwzględnione rodzaje oddziaływań • nukleon-nukleon i rezonansów nukleonowych • anihilacja barion-antybarion • mezon-mezon i barion-mezon • nieznane - AQM

15. Zderzenia i produkcja cząstek – c.d • Obliczanie nieznanych przekrojów czynnych – addytywny model kwarkowy (AQM) • Czasy życia rezonansów • Użycie zasady równowagi szczegółowej • Oddziaływania hadronów przy wysokich energiach – fragmentacja „strun” – dla przekazów pędu powyżej 2GeV/c • Rozkład kątowy wyprodukowanych cząstek (in-medium two-body scattering) • Efekty kolorowe

16. Funkcje korelacyjne i double ratios dla energii STAR-a Au+Au sqrt(s)=130 GeV b 0-3 fm p+K- Y (–1,1) pt (0.1,1)

17. Funkcje korelacyjne i double ratios dla energii STAR-a Au+Au sqrt(s)=130 GeV b 0-3 fm p+K+ Y (–1,1) pt (0.1,1)

18. Time shift dla energii STAR-a Au+Au sqrt(s)=130 GeV b 0-8 fm kaony wcześniej kaony wcześniej Dt=1.5fm/c Dt=2.5fm/c

19. Pb+Pb sqrt(s)=5500 GeV b 0-3 fm p+

20. Pb+Pb sqrt(s)=5500 GeV b 0-3 fm p

21. Krotności dla wybranych cząstek

22. Pb+Pb sqrt(s)=5500 GeV b 0-3 fm p+K- Y (–1,1) pt (0.1,1) Cut=0.02GeV/c

23. Pb+Pb sqrt(s)=5500 GeV b 0-3 fm p+K- Y (–1,1) pt (0.1,1)

24. Pb+Pb sqrt (s)=5500 GeV b 0-3 fm p+K+ Y (–1,1) pt (0.1,1) Cut=0.02GeV/c

25. Pb+Pb sqrt (s)=5500 GeV b 0-3 fm p+K+ Y (–1,1) pt (0.1,1)

26. Time shift dla energii ALICE Pb+Pb sqrt(s)=5500 GeV b 0-3 fm kaony wcześniej Dt=0.8 fm/c

27. Time shift dla energii ALICE Pb+Pb sqrt(s)=5500 GeV b 0-3 fm kaony wcześniej Dt=1.0 fm/c

28. Hydrodynamika • służy do opisu układów składających się z dużej ilości cząstek • układ jest traktowany jako ośrodek ciągły tj. można zdefiniować „element płynu” jako obszar wielkości znacznie większej niż odległości międzycząsteczkowe • dynamikę układu rozumie się jako dynamikę elementów płynu • stosuje się więc opis makroskopowy charakteryzując układ wielkościami termodynamicznymi takimi jak entropia czy energia wewnętrzna jednocześnie używając wielkości klasycznych takich jak pęd w odniesieniu do elementu płynu

29. Hydrodynamika – c.d. • równania opisujące ruch elementów płynu (a właściwie rozkład odpowiedniego pola, np. prędkości) otrzymuje się poprzez wykorzystanie zasad zachowania: masa pęd energia wewnętrzna + równanie stanu definiujące rodzaj „cieczy”

30. Hydrodynamika – przypadek relatywistyczny • w przypadku relatywistycznym należy zastosować zapis kowariantny, wtedy równania można zapisać w postaci: • tensor energii-pędu (stress tensor) jest postaci: • Prędkość jest dana wzorem:

31. Hydrodynamika w zderzeniach ciężkich jonów – model Teaney - Shuryak • opisuje początkową ewolucję układu po zderzeniu traktując ekspandujący obszar jako ciecz o właściwościach odpowiednich do etapu ekspansji • poszczególne etapy: • rozwiązanie numeryczne równań hydrodynamiki relatywistycznej z odpowiednimi warunkami początkowymi i przy odpowiednich założeniach z zadanym równaniem stanu • tworzenie cząstek z powstałej hiperpowierzchni za pomocą procedury Coopera i Frye’a

32. Teaney – Shuryak – c.d. • równania hydrodynamiczne: • warunki początkowe – entropia, gęstość (barionowa) są proporcjonalne do rozkładu nukleonów biorących udział w reakcji:

33. Teaney – Shuryak – c.d. • równanie stanu – założono że istnieją trzy fazy: • faza odpowiadająca QGP • faza mieszana • faza hadronowa • dla danych warunków początkowych brane jest odpowiednie równanie stanu

34. Teaney – Shuryak – c.d. • W miarę jak system rozszerza się i stygnie dochodzi w końcu do sytuacji w której z obszaru hydrodynamicznego zaczynają się rodzić cząstki • Zdarzenie to traktuje się jako tzw. freezeout, otrzymując pewną hiperpowierzchnię dla której temperatura równa jest pewnej temperaturze krytycznej (T freezeout) • Do hiperpowierzchni otrzymanej dla takiej temperatury stosuję się tzw. recepturę Coopera i Frye’a: • Posługując się tą procedurą otrzymuje się rozkłady dla danego (i-tego) rodzaju cząstek

35. Wyniki z hydro na przykładzie implementacji Dumitru-Rischke

36. Wyniki z hydro – c.d.

37. Porównanie hydro z UrQMD – rozkłady dynamiczne sqrt(s)=130 GeV/n central hydro, warunki początkowe dla 130GeV/n central

38. Porównanie hydro z UrQMD – rozkłady dynamiczne sqrt(s)=130 GeV/n central hydro, warunki początkowe dla 130GeV/n central

39. Konkluzje • Modele typu QMD i typu hydro są modelami dynamicznymi • Podstawową wadą modeli typu QMD jest inicjalizacja i pierwsze etapy propagacji – zaletą zdolność przeprowadzania reakcji z udziałem rezonansów • Podstawową wadą modeli typu hydro jest brak możliwości przeprowadzenia rozpadów rezonansów ale zaletą fizyczny model inicjalizacji • Widać więc, że zwłaszcza dla wysokich energii najlepszym wyjściem jest połączenie obu modeli

40. Literatura • [1] A.S. Dawydow „Mechanika kwantowa” • [2] D.H. Perkins „Wstęp do fizyki wysokich energii” • [3] I. Białynicki-Birula, M.Cieplak, J. Kamiński „Teoria kwantów” • [4] S.Bass et. al. „Microscopic models for ultrarelativistic heavy ion collisions”, nucl-th/9803035 • [5] L. D. Landau „Hydrodynamika” • [6] D. Teaney, J. Laurent, E. Shuryak „A hydrodynamic description of heavy ion collisions at SPS and RHIC”, nucl-th/0110037 • [7] A. Dumitru, D. Rischke „Collective dynamics in high relativistic heavy ion collisions”, Phys. Rev. C vol. 59, 354