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Elise Nourtier-Mazauric, Eric Blayo (LMC, Grenoble)

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Elise Nourtier-Mazauric, Eric Blayo (LMC, Grenoble) - PowerPoint PPT Presentation


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 1.  2. Conditions aux Frontières Ouvertes . advection-diffusion 2-D (Martin, 2003). Elise Nourtier-Mazauric, Eric Blayo (LMC, Grenoble). Décomposition de domaines, couplage de modèles et CFO. Cadre :

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Presentation Transcript
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1

2

Conditions aux Frontières Ouvertes

advection-diffusion 2-D (Martin, 2003)

Elise Nourtier-Mazauric, Eric Blayo (LMC, Grenoble)

d composition de domaines couplage de mod les et cfo
Décomposition de domaines, couplage de modèles et CFO

Cadre :

  • Modélisation de phénomènes multi-échelles et/ou multi-physiques par emboîtement ou couplage de modèles (avec ou sans recouvrement)

Objectifs :

  • Robustesse de la méthode de résolution
  • Efficacité numérique (coût, stockage)
  • Implémentation numérique aussi indépendante que possible des modèles numériques utilisés
d composition de domaines couplage de mod les et cfo3
Décomposition de domaines, couplage de modèles et CFO

Quelles conditions imposer sur les frontières ouvertes ?

illustration du probl me des fronti res ouvertes
Illustration du problème des frontières ouvertes
  • Exemple : simulation de Saint-Venant 2-D (Martin, 2003)
    • Propagation d’un dôme d’eau dans un « canal »
    • Un seul domaine
illustration du probl me des fronti res ouvertes5
Illustration du problème des frontières ouvertes
  • Exemple : simulation de Saint-Venant 2-D (Martin, 2003)
    • Propagation d’un dôme d’eau dans un « canal »
    • Décomposition en 2 sous-domaines
    • Couplage par un algorithme de Schwarz
    • Conditions à l ’interface : Dirichlet-Dirichlet
    • Solution après 2 itérations
formalisation du probl me

Wext

G

Wloc

Formalisation du problème
  • Déterminer quelles sont les propriétés à assurer au niveau de l’interface
    • continuité, dérivabilité de telle ou telle quantité, échange de flux…
formalisation du probl me7

Wext

G

Wloc

Formalisation du problème
  • En pratique
    • Le modèle « extérieur » n’est pas toujours disponible on-line. On peut n’avoir qu’un seul modèle, « forcé » par des solutions de l’autre.
    • Il peut y avoir un recouvrement entre les deux modèles (cas de modèles « emboîtés »). Dans ce cas, le modèle extérieur n’est pas défini sur Wext, mais sur Wext + Wloc . Le modifier pour « faire un trou » et éviter ce recouvrement serait très coûteux.
    • On peut être limité par les moyens de calcul, et vouloir un couplage « économique ».

Les applications pratiques ne résolvent (en général) pas le problème exact, mais des formes approchées.

le probl me de fronti re ouverte

Wext

G

Wloc

Le problème de frontière ouverte
  • Quelles conditions aux limites pour le modèle local ?
le probl me de fronti re ouverte9

Wext

G

Wloc

Le problème de frontière ouverte
  • Quelles conditions aux limites pour le modèle local ?
  • Une condition aux limites est constituée par
    • des données externes
      • provenant d’une base de données ou d’un modèle externe
    • un opérateur mathématique
le probl me de fronti re ouverte10

Wext

G

Wloc

Le problème de frontière ouverte
  • Quelles conditions aux limites pour le modèle local ?
  • Cahier des charges
    • Evacuer l’information sortante
    • Conserver la partie pertinente, i.e. entrante, de l’information extérieure
  • Comment séparer l’information entrante de l’information sortante ?
s parer l information sortante et l information entrante

t = 0

t = d/c

c

x

d

Séparer l’information sortante et l’information entrante
  • Exemple basique : équation de transport 1-D
    • Une quantité Q qui se déplace à vitesse constante c dans la direction x vérifie (dans le cas 1-D) :
    • La solution exacte est
s parer l information sortante et l information entrante12

c

Séparer l’information sortante et l’information entrante
  • Exemple basique : équation de transport 1-D
    • Une quantité Q qui se déplace à vitesse constante c dans la direction x vérifie (dans le cas 1-D) :
    • La solution exacte est
    • Dans un domaine limité

Information extérieure requise

Aucune information extérieure requise

x

s parer l information sortante et l information entrante13
Séparer l’information sortante et l’information entrante
  • Exemple basique : équation de transport 2-D
    • même comportement

Aucune information extérieure requise

Information extérieure requise

s parer l information sortante et l information entrante14
Séparer l’information sortante et l’information entrante
  • De telles équations qui décrivent la propagation de quantités à des vitesses constantes sont appelées équations hyperboliques.
  • Les systèmes et les équations hyperboliques sont souvent beaucoup plus complexes que l’ équation de transport. Mais ils peuvent être, au moins localement, transformés en un ensemble d’équations de transport (approchées) appliqué à de nouvelles variables, appelées variables caractéristiques (ou invariants de Riemann).
  • Pour que le problème hyperbolique soit bien posé, les seules conditions aux limites à spécifier correspondent aux variables caractéristiques entrantes.
    • 1 CFO pour chaque variable caractéristique entrante
    • pas de CFO pour les variables caractéristiques sortantes
syst me hyperbolique et variables caract ristiques
Système hyperbolique et variables caractéristiques
  • Pour un système hyperbolique de la forme
  • diagonaliser la matrice A conduit à déterminer les variables caractéristiques
m thode des caract ristiques
Méthode des caractéristiques
  • Exemple : modèle de Saint-Venant 2-D
    • Frontière ouverte Est ou Ouest
    • Linéarisation du système
m thode des caract ristiques17
Méthode des caractéristiques
  • Exemple : modèle de Saint-Venant 2-D hyperbolique linéarisé
    • Diagonalisation de A1 Soit . Aux valeurs propres,,,correspondent les variables caractéristiques, ,
      • Si u>0, w1 entrante, v et w3 sortantes
      • Si u<0, w1 et v entrantes, w3 sortante
    • Par combinaison linéaire
m thode des caract ristiques18
Méthode des caractéristiques
  • Exemple : modèle de Saint-Venant 2-D hyperbolique linéarisé
    • Flux d’information aux frontières ouvertes
m thode des caract ristiques19
Méthode des caractéristiques
  • L’ajout de non-linéarités, de paramétrisations sous-mailles, de forçages, ne change pas fondamentalement le comportement.
  • Variables caractéristiques sortantes
    • Leur valeur sur la frontière ouverte doit être obtenue à partir de valeurs internes au domaine (par extrapolation, ou en résolvant les équations de transport correspondantes).
    • Exemple du modèle de Saint-Venant 2-D pour une frontière Est :
      • Transport de w :
      • Extrapolation :
  • Variables caractéristiques entrantes
    • Leur valeur doit être spécifiée sur la frontière ouverte à partir de données externes : B w = B wext (B opérateur)
    • Choix le plus simple : B= Id w = wext
    • Si on ne dispose pas de données externes fiables, on peut considérer des hypothèses « raisonnables », comme par exemple dw/dn=0 (équivalent à B= d/dn et dwext/dn=0 )
m thode des caract ristiques20
Méthode des caractéristiques
  • Exemple : modèle de Saint-Venant 2-D hyperbolique linéarisé
    • Si u>0, w1 entrante, v et w3 sortantes :
      • B1 w1 = B1 w1ext
      • extrapolation de v et w3
    • Si u<0, w1 et v entrantes, w3 sortante :
      • B2 w1 = B2 w1ext, B3 v = B3 vext
      • extrapolation de w3
  • Démarche de la méthode des caractéristiques : Résumé
    • Déterminer de façon analytique les variables caractéristiques du modèle en considérant la partie hyperbolique des équations. Ces variables sont des combinaisons linéaires des variables du modèle d’origine.
    • Extrapoler les variablescaractéristiques sortantes sur la frontière ouverte.
    • Utiliser une condition de la forme B w= B wext pour chaque variable caractéristique entrante.
syst mes non hyperboliques et conditions absorbantes
Systèmes non hyperboliques et conditions absorbantes
  • Des améliorations supplémentaires peuvent être obtenues en considérant les équations complètes (plutôt que leur partie hyperbolique seule) théorie des conditions absorbantes(Engquist and Majda, 1977; Halpern, 1986; Nataf et al., 1995; Lie, 2001)
conditions absorbantes
Conditions absorbantes
  • Principe
    • Solution vraie :
    • Solution tronquée :
    • Erreur :
    • Si on trouve C tel que Ce=0, alors e=0 (condition absorbante)
conditions absorbantes23
Conditions absorbantes
  • Exemple 1-D
    • Solution
    • Dans le domaine W = {x<0},
    • d ’où

0

avec

conditions absorbantes24
Conditions absorbantes
  • Les conditions absorbantes sont également calculables pour des équations plus complexes. Elles ne sont alors souvent pas directement applicables, mais on peut les approximer.
  • Pour des équations hyperboliques, l’approximation d’ordre 0 rejoint l’approche précédente par variables caractéristiques.
couplage par m thode de schwarz globale en temps
Couplage par méthode de Schwarz globale en temps
  • Itération
  • Coût de l’algo de Schwarz = coût des modèlesx nb d’itérationsTrouver des conditions d’interface qui assurent une convergence rapide
  • Erreurs
  • Si on trouve C1 et C2 tels que C1 e2n = 0et C2 e1n = 0,alors l’algorithme converge exactement en deux itérations. Conditions absorbantes
conditions absorbantes27
Conditions absorbantes
  • Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003)
    • Transformée de Fourier en temps et en espace (selon la tangente à la frontière ouverte considérée)
    •  équation complexe en d/dn
    • Recherche des racines l de l’équation caractéristique

W-

W+

x=0

conditions absorbantes exactes
Conditions absorbantes exactes
  • Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003)
    • Transformées de Fourier des erreurs : solutions exprimées en fonction des l+/-
    • CFO par transformée de Fourier inverse
    • Conditions absorbantes exactes (ou idéales)
conditions absorbantes approch es
Conditions absorbantes approchées
  • Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003)
    • Problème : les opérateurs pseudo-différentiels L+/- ne sont pas locaux  recherche de conditions locales par approximations
    • 2 approches
      • Approximations par DL de Taylor
      • Optimisation du taux de convergence de l’algorithme de Schwarz avec des conditions approchées
conditions absorbantes approch es30
Conditions absorbantes approchées
  • Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003)
    • Approximations par DL de Taylor
      • Ordre 0
      • Ordre 1
conditions absorbantes optimis es
Conditions absorbantes optimisées
  • Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003)
    • Optimisation du taux de convergence rde l’algorithme de Schwarz avec des conditions approchées
      • hypothèse :
      • c’est-à-dire
      • Résoudre le problème d’optimisation Minimiser
conditions absorbantes optimis es32
Conditions absorbantes optimisées
  • Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003)
    • Optimisation du taux de convergence rde l’algorithme de Schwarz avec des conditions approchées
      • Minimiser revient à
        • à l’ordre 0, trouver p qui minimise
        • à l’ordre 1, trouver p et q qui minimisent
conditions absorbantes locales

W1

W2

Conditions absorbantes locales
  • Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003)
    • Résultats
conditions absorbantes locales34
Conditions absorbantes locales
  • Exemple : simulation de Saint-Venant 2-D (Martin, 2003)
    • Propagation d’un dôme d’eau dans un « canal »
    • 1 seul domaine
conditions absorbantes locales35
Conditions absorbantes locales
  • Exemple : simulation de Saint-Venant 2-D (Martin, 2003)
    • Propagation d’un dôme d’eau dans un « canal »
    • Décomposition en 2 sous-domaines
    • Couplage par un algorithme de Schwarz
    • Conditions absorbantes optimisées à l’interface
    • Solution après 2 itérations
pour finir
Pour finir...
  • Problèmes de frontières ouvertes pour le couplage
    • Ecrire le problème couplé continu
    • Déterminer les quantités à échanger, les propriétés à conserver…
    • En fonction du type d’équation et des contraintes pratiques, se tourner vers des outils de type méthode de caractéristiques, conditions absorbantes, …
  • Travaux en cours dans le cadre du couplage de modèles océaniques
    • Recherche de conditions aux frontières absorbantes pour
      • équations d’advection-diffusion bi-harmoniques 2-D et 3-D
      • équations de Saint-Venant avec termes dissipatifs (paraboliques) et termes de Coriolis
    • Méthode des caractéristiques pour les équations primitives 3-D (modes verticaux, partie barocline)
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