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MÉTODOS NUMÉRICOS 2.3 Búsqueda de varias raíces

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MÉTODOS NUMÉRICOS 2.3 Búsqueda de varias raíces. Gustavo Rocha 2005-2. BÚSQUEDA DE VARIAS RAÍCES. ECUACIONES CON VARIAS RAÍCES. Las ecuaciones tienen una o varias raíces y es menester localizar cada una de ellas. La posible existencia de raíces múltiples complica el problema.

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Presentation Transcript
ecuaciones con varias ra ces
ECUACIONES CON VARIAS RAÍCES
  • Las ecuaciones tienen una o varias raíces y es menester localizar cada una de ellas.
  • La posible existencia de raíces múltiples complica el problema.
    • En la vecindad de la raíz, tanto la función como su derivada se acercan a cero.
    • Las ecuaciones con un número par de raíces múltiples son tangentes al eje x y no lo cruzan.
    • Las ecuaciones con un número impar de raíces múltiples cruzan al eje x en un punto de inflexión.
    • En caso de raíces múltiples, al no haber cambio de signo, los métodos cerrados no son confiables.
m todo de b squeda incremental
MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL
  • La búsqueda consiste en empezar en un extremo del intervalo de interés y evaluar la función con pequeños incrementos a lo largo del intervalo.
  • Si la longitud del incremento no es lo suficientemente pequeña, algunas raíces pueden pasar inadvertidas.

f(x)

3 raíces

2 raíces

2 raíces

x

x0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x

x

x

x

x

x

x

x

x

m todo de b squeda incremental1
MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL
  • El método de búsqueda incremental se utiliza para identificar todas las raíces de una ecuación, considerando:
    • La manera como se presenta físicamente el fenómeno.
    • El número de raíces reales y/o complejas que se espera tenga la ecuación, especialmente cuando se trata de polinomios.
  • Es conveniente utilizar tamaños de incremento acordes con el fenómeno analizado y el número esperado de raíces.
  • Ante la sospecha de que la ecuación algebraica o trascendente tenga más raíces de las encontradas con cierto tamaño de incremento, se recomienda:
    • Obtener las tangentes en los extremos de cada incremento para identificar cambios de signo y, en su caso, analizar el subintervalo de incremento más minuciosamente.
    • Reducir a la mitad el tamaño de los incrementos.
  • Se ha de tener especial cuidado al hacer el bosquejo de una gráfica, cuando no se dispone de dispositivos que grafiquen de manera confiable, porque el trazado a base de incrementos, puede ser sumamente engañoso.
m todo de b squeda incremental2
MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL

Trazado con incrementos de 0.50, parece que hay solo 2 raíces

m todo de b squeda incremental3
MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL

Trazado con incrementos de0.50, parece que hay solo2raíces

Necesario revisar en 2 subintervalo de incremento más

m todo de b squeda incremental4
MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL

Trazado con incrementos de 0.20, parece que hay solo 2 raíces

m todo de b squeda incremental5
MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL

Trazado con incrementos de0.20, parece que hay solo2raíces

Necesario revisar en 6 subintervalos de incremento más

m todo de b squeda incremental6
MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL

Trazado con incrementos de 0.10, parece que hay solo 4 raíces

m todo de b squeda incremental7
MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL

Trazado con incrementos de0.10, parece que hay solo4raíces

Necesario revisar en 6 subintervalos de incremento más

m todo de b squeda incremental8

2

1.5

1

0.5

0

3.00

3.10

3.20

3.30

3.40

3.50

3.60

3.70

3.80

3.90

4.00

4.10

4.20

4.30

4.40

4.50

4.60

4.70

4.80

4.90

5.00

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL

Trazado con incrementos de 0.05, se ve que hay 6 raíces

m todo de newton raphson modificado1
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO
  • Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz.
m todo de newton raphson modificado3
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO
  • Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz.
  • Obtener los valores de la función, de su primera y de su segunda derivada en ese punto.
m todo de newton raphson modificado4
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO

f’(x1)

f ’(x)

f ”(x)

f(x)

x1

x

f(x1)

f”(x1)

m todo de newton raphson modificado5
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO
  • Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz.
  • Obtener los valores de la función, de su primera y de su segunda derivada en ese punto.
  • Establecer la función (x) = f(x)/f’(x) y obtener el valor de la misma en el punto inicial.
m todo de newton raphson modificado7
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO
  • Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz.
  • Obtener los valores de la función, de su primera y de su segunda derivada en ese punto.
  • Establecer la función (x) = f(x)/f’(x) y obtener el valor de la misma en el punto inicial.
  • Trazar una recta tangente a la función (x) por ese punto.
m todo de newton raphson modificado9
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO
  • Para deducir la fórmula de recurrencia:
m todo de newton raphson modificado10
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO
  • Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz.
  • Obtener los valores de la función, de su primera y de su segunda derivada en ese punto.
  • Establecer la función (x) = f(x)/f’(x) y obtener el valor de la misma en el punto inicial.
  • Trazar una recta tangente a la función (x)por ese punto.
  • El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (x2, 0), constituye una segunda aproximación de la raíz.
m todo de newton raphson modificado12
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO
  • Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz.
  • Obtener los valores de la función, de su primera y de su segunda derivada en ese punto.
  • Establecer la función (x) = f(x)/f’(x) y obtener el valor de la misma en el punto inicial.
  • Trazar una recta tangente a la función (x)por ese punto.
  • El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (x2, 0), constituye una segunda aproximación de la raíz.
  • El proceso se repite n veces hasta que el punto de intersección xn coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.
m todo de newton raphson
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

f(X) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3

triple raíz

m todo de newton raphson modificado14
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO

f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3

x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1

Recurrencia

Función

m todo de newton raphson tradicional
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON TRADICIONAL

f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3

x1 = 1

x2 = 1

x3 = 1

m todo de newton raphson tradicional1
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON TRADICIONAL

f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3

X4 = 3

Recurrencia

Función

m todo de newton raphson modificado15
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO

f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3

x4 = 3

Recurrencia

Función

m todo de newton raphson1
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
  • El método de Newton Raphson tradicional, en la búsqueda de raíces múltiples, converge linealmente, en vez de hacerlo cuadráticamente, como sucede en la búsqueda de una raíz simple.
  • El método de Newton Raphson modificado, en la búsqueda de raíces múltiples, converge cudráticamente, al igual que en la búsqueda de una raíz simple.
  • La lentitud en la convergencia del método de Newton Raphson tradicional es un claro indicativo de la presencia de raíces múltiples.
    • A mayor número de raíces múltiples, menor es la velocidad de convergencia del método tradicional.