Introducción a las Funciones Prof. Evelyn Dávila

1. Introducción a las FuncionesProf. Evelyn Dávila

2. Temas prerrequisitos  • Ecuaciones lineales en una variable • Inecuaciones lineales en una variable • Operaciones con polinomios • Factorización de polinomios • Conjunto de los números reales, valor absoluto, notación de intervalos • Plano cartesiano • Ecuaciones lineales en dos variables: conjunto solución, gráficas , pendiente • Forma pendiente-intercepto - • Tipos de líneas • Hallar la ecuación de una línea • Líneas paralelas y perpendiculares • Fórmula de distancia y punto medio

4. Números Naturales N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, .... } • Números Cardinales W = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, .... } ("Whole Numbers") • Enteros Z = { .... -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, .... } • Números Racionales Q = { p/q | p, q son enteros y q  0 } • Números Irracionales Q'= {Todo numero real que no es racional} { Números cuya representación decimal no termina y no son decimales repetitivos } • Números Reales R = { Todo número racional o irracional } = { Q  Q'}

5. Definición de función • Dominio • Recorrido • Notación • Evaluar una función • Cociente diferencial

6. Unafunciónes una relaciónentre dos conjuntos de tal manera que para cada elemento del primer conjunto corresponde un solo elemento del segundo conjunto.

7. Ejemplos reales de relaciones que envuelven funciones: • Un individuo y su seguro social • Un vehículo de motor y su tablilla. • Por lo contrario, no es una función la relación de madre e hijos. Explica por qué.

8. Al primer conjunto, de donde tomamos los elementos para la regla, se le llamaDominioy al segundo conjunto se le llama Recorrido o Campo deValores. a b c avión carro barco RECORRIDO DOMINIO

9. a b c avión casa barco Ejemplo 1 • ¿Cómo describes esta relación? ¿Cómo se relacionan los dos conjuntos?

10. Observa que la relaciónanteriorproduce un conjunto cuyos elementos son pares ordenados, éstos son: { ( a, avión) , (b, barco) , ( c , carro ) } ¿Cuál es el Dominio en esta relación? ¿Cuál es el Recorrido ?

11. RESPUESTAS Ejemplo 1 • DOMINO { a, b, c } • Recorrido {avión, barco, carro}

12. Ejemplos reales (cotidianos) • Seguro social • Número ID • Tablilla vehículo

13. 1 2 3 4 6 2 8 4 Ejemplo 2 • ¿Cuál es el Dominio en esta relación? b. ¿Cuál es el Recorrido ?

14. 1 2 3 4 6 2 8 4 Ejemplo 2 a. ¿Cuál es el Dominio en esta relación? { 1, 2, 3, 4 } Dominio b. ¿Cuál es el Recorrido ? { 2, 4, 6, 8 } Recorrido

15. 1 2 3 4 6 2 8 4 Continuamos - Ejemplo 2 • Indica cuáles son los elementos de esta relación.

16. 1 2 3 4 6 2 8 4 Continuamos - Ejemplo 2 • Indica cuáles son los elementos de esta relación. { ( 1,2) , ( 2,4) , ( 3,6 ) , ( 4,8) }

17. RESPUESTAS-Ejemplo 2 • { ( 1,2) , ( 2,4) , ( 3,6 ) , ( 4,8) } • Observa que los elementos de este conjunto son pares ordenados donde el primer elemento corresponde a un elemento del DOMINIOy el segundo elemento corresponde a uno del RECORRIDO.

18. 1 2 3 4 6 2 8 4 Continuamos - Ejemplo 2 • ¿Cómo describirías esta relación? ¿Qué regla la describe?

19. RESPUESTAS- Ejemplo 2 • Observamos que en esta relación multiplicamos cada elemento del Dominio por dos. 2 x 1= 2 2 x 2 = 4 2 x 3 = 6 2 x 4 = 8

20. Si representamos a los elementos del DOMINIO con una x, y a los elementos del RECORRIDO con una y, entonces podemos representar la relación dada de la siguiente forma: y = 2x

21. Decimos que y = 2x , es la regla que describe la relación dada en el Ejemplo 2 . • Observa, que esta ecuación nos indica que de acuerdo al valor que se le asigne a la variable x , será el valor que se obtiene para y.

22. a b c a b c 1 2 3 I II 1 2 3 I II PrácticaSegún la definición de función, cuáles de los siguientes dibujos representan a una función.

23. a b c a b c 1 2 3 I II 1 2 3 I II RESPUESTAS SI SI NO

24. 1 2 3 I II RESPUESTA • Observa que para el elemento I en el DOMINIO corresponden dos elementos distintos en el RECORRIDO, por lo tanto no responde a la definición de funciones. NO

25. Práctica ¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? Indica su Dominio y su Recorrido. a. { (2,6), (4,12), (6,18) , (8,24) } ___________________ b. { (1,1), (2,2), (3,3) } ___________________ c. { (3,6), ( 5, 8), (7,10), (3,9)} ____________________ d. { (4, 1) , (1,4), ( 2, 5) , (5, 3) , (1, 4) }_______________

26. Respuestas a la Práctica ¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? Indica su Dominio y su Recorrido. a) { (2,6), (4,12), (6,18) , (8,24) } SI Dominio { 2,4,6,8} Recorrido { 6,12,18,24 } b) { (1,1), (2,2), (3,3) } SI Dominio {1,2,3} Recorrido {1,2,3} c) { (3,6), ( 5, 8), (7,10), (3,9)} NO Observa que el 3 tiene dos elementos distintos en el RECORRIDO d) { (4, 1) , (1,4), ( 2, 5) , (5, 3) , (1, 4) SI Dominio { 4, 1, 2, 5 } Recorrido {1,4,5,3}

27. Identificar funciones mediante la observación de tabla de valores • Identifica cuáles de las siguientes tablas de valores representa a una función. En las siguientes tablas la primera columna representa a la variable independiente y la segunda columna a la variable dependiente.

28. Notación de Funciones f X ------> Y DominioRecorrido y = f(x) fes el nombre que se le asignó a la función, se lee "y es función f de x” , las variables sonx y y.

29. Ejemplos

30. Importante • Observa: El valor de y , depende del valor que se le asigne ax, en la regla correspondiente. • Llamamos a y ,la variable dependiente y ax la variable independiente.

31. Aplicación Identifica para cada situación la variable dependiente y la variable independiente. • Se investiga la relación entre el diametro del tronco de un árbol y la edad de éste en términos de años de vida.

32. CONTINUACION -Aplicación • Se desea conocer cómo se reproducen los mosquitos durante los doce meses del año. • La relación entre la estatura de las mujeres y el tamaño de sus pies. • La cantidad de horas que dedican los estudiantes a estudiar para un examen y la puntuación que obtienen en éste.

33. EVALUAR UNA FUNCIÓN Evaluar una función consiste en seleccionar un valor del Dominio de esa función y sustituírlo en la regla de la función.

34. Ejemplo 1 Sea f(x) = 2x +1 , una función cuyo Dominio es { 1, 3, 5, 7 }. Hallar f(3) consiste en evaluar la función f en x = 3, sustituimos este valor en la regla de la siguiente forma f(3) = 2 ( 3 ) + 1 = 7. Luego de evaluar la función decimos que f(3)=7.

35. Cada vez que evaluamos una función obtenemos dos valores, uno para la variable independiente y el valor correspondiente para la variable dependiente. • Por tanto, obtenemos un par ordenado de la forma • ( x, y) . • Para el Ejemplo 1, tenemos que f(3) =7 , por tanto el par ordenado es ( 3, 7).

36. Continuamos con el Ejemplo 1 • Sea f(x) = 2x +1, una función cuyo Dominio es { 1, 3, 5, 7 }. • Evalúa la función f , en los valores indicados’ • f(5) = 2 ( 5 ) + 1 = 11 par ordenado ( 5 , 11) Práctica • f(1) = ______ • f(7) = ______ • f(4) = ______

37. Respuesta • f(1) = 3 ( 1, 3 ) • f(7) = 15 ( 7, 15 ) • f(4) = No existe • El 4 no pertenece al Dominio de esta función.

38. ¿Cuáles son los elementos de esta relación ? • ¿Cuál es el RECORRIDO ?

39. Sea f(x) = 2x +1una función cuyo Dominio es { 1 , 3 , 5 , 7 }. • ¿Cuáles son los elementos que describen a la función f ? • { ( 1,3) , (3,7) , (5,11) , (7,15) } • ¿Cuál es el RECORRIDO ? • { 3, 7, 11, 15 }

40. Ejemplo 2 Sea h(x) = x2 + 2 y su Dominio dado por {1,2,3} a) ¿Es el par ordenado ( 2, 4 ) elemento de esta relación? b) Indica cuáles son los elementos de esta relación. c) Indica el Recorrido

41. Ejemplo 2 Sea h(x) = x2 + 2 y su Dominio dado por {1,2,3} a) ¿Es el par ordenado ( 2, 4 ) elemento de esta relación? NO es elemento de esa función porque h(2) = 6. b) Indica cuáles son los elementos de esta relación. { (1,3), (2,6) , (3,11) } c) Indica el Recorrido { 3, 6, 11 }

42. Práctica Sean f(x) = 5x , g(x) = x - 3 , h(x) =x2 + 2x , q(x) = -x ; funciones cuyo Dominio es dado por el conjunto que incluye a todo número real que produzca numeros reales en el Recorrido. Evalúa en los valores indicados: a) f(-3) = f(0) = b) g(15) = g(-5)= c) h( 3) = h( -2) = d) q(4) = q(-7) =

43. Respuestas - Práctica f(x) = 5x , g(x) = x - 3 , h(x) =x2 + 2x , q(x) = -x a. f(-3) = -15 f(0) = 0 b. g(15) = 12 g(-5)=-8 c. h( 3) = 15 h( -2) = 0 d.. q(4) = -4 q(-7) = 7

44. Cuando no se especifica cuál es el Dominio de lafunción entonces es implícito que consiste en el conjunto de todo número real para el cual esté definida la función en los números reales. • Al evaluar una función el resultado para la variable dependiente y , debe ser un número real.

45. Ejemplo en el que se debe tener cuidado: g(1) = 1 g(16) = 4 g(-4) = 2i El resultado NO es un número real por lo tanto -4 no puede ser parte del DOMINIO.

46. Cociente Diferencial • Llamamos a la expresión dada por el cociente diferencial de f(x). • El cociente diferencial es equivalente a la fórmula de la pendiente de la línea que pasa por los puntos

47. Halla el cociente diferencial de la función • Primer paso: Evaluar f(x+h) • Segundo paso: Sustituir en la fórmula • Tercer paso: Simplificar

48. Halla el cociente diferencial de la función • Primer paso: Evaluar f(x+h) Repasar

49. Halla el cociente diferencial de la función • Primer paso: Evaluar f(x+h) • Segundo paso: Sustituir en la fórmula • Tercer paso: Simplificar

50. Prueba de la línea vertical • Función uno a uno: prueba de la línea horizontal • Comportamiento y características de la función dada su gráfica • Función con Dominio Restringido