introducci n a la trigonometr a y a las funciones trigonom tricas l.
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Introducci ón a la trigonometría y a las funciones trigonométricas. Shirley Bromberg Raquel Valdés. Un poquito de historia.

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Presentation Transcript
introducci n a la trigonometr a y a las funciones trigonom tricas

Introducción a la trigonometríaya las funciones trigonométricas

Shirley Bromberg

Raquel Valdés

un poquito de historia
Un poquito de historia

Trigonometríaes una palabra de etimología griega, aunque no es una palabra griega. Se compone de trigononque significa triánguloymetriaque significamedición. Y se habla de ella como matemática práctica.

slide3
La trigonometría resuelve el siguiente problema: conocidos algunas de las componentes de un triángulo, determinar las restantes

La geometría (teórica) nos dice cuándo ciertos datos determinan que salvo por posición un triángulo de lados dados, la trigonometría (práctica) nos dice cómo calcular los restantes.

slide4

Comencemos con triángulos rectángulos.

Si conocemos dos de los lados del triángulo, como el Teorema de Pitágoras afirma que

c

b

a2 + b2 = c2,

a

conocemos el tercer lado.

Eso sí, debemos saber si los

lados que conocemos son catetos

o la hipotenusa.

slide5

Resolución de triángulos rectángulos.

Pero no tenemos ninguna información acerca de los ángulos. A continuación comenzaremos a abordar este problema.

Dividimos los catetos en r partes iguales, y formamos una retícula. Los catetos de los triángulos de las esquinas miden a/r, b/r y su hipotenusa será, por el Teorema de Pitágoras igual a c/r.

NOTEMOS que la hipotenusa pasa por los puntos de la retícula. Los triángulo de las esquinas tienen los mismos ángulos.

las observaciones anteriores permiten resolver el siguiente
Las observaciones anteriores permiten resolver el siguiente

Problema

¿ Cuál será la altura del árbol que proyecta una sombra de 4 m si se encuentra al lado de Alberto que mide 1.75 m y proyecta una sombra de 3.5 m ?

slide7

Sigamos con el problema de encontrar los ángulos en triángulos rectángulos.

Vamos a escoger triángulos “normalizados”, que representen a cada triángulo rectángulo.

Tomaremos triángulos con hipotenusa unitaria.

slide8

Construcción de triángulos de hipotenusa unitaria

c

b

1

b/c

de

pasamos a

1

a

a/c

a2 + b2 = c2

(a/c)2 + (b/c)2 = 1

relacionamos ngulos y longitudes con tablas de cuerdas
Relacionamos ángulos y longitudes conTablas de Cuerdas

cuerda

En un comienzo, a cada ángulo se

asoció lacuerdasubtendida por él

en una circunferencia de radio fijo.

tablas de cuerdas
Tablas de cuerdas

Razonando con la figura al

lado se muestra que

tablas de cuerdas11
Tablas de cuerdas

Para conseguir nuevos valores se

usa la identidad

y se obtienen tablas de cuerdas que

van de 5o en 5o.

slide13

La figura muestra las funciones trigonométricas asociadas a un ángulo agudo ubicado en una circunferencia

cotangente

coseno

cosecante

tangente

radio

seno

secante

slide18
Todas las funciones trigonométricas de un ángulo agudo pueden expresarse a partir de una de ellas, a modo de ejemplo tomemos sen

=

=

=

=

=

identidades trigonom tricas
Identidades Trigonométricas

La identidad fundamental

es consecuencia del

Teorema de Pitágoras

1

sen

cos

identidades trigonom tricas20
Identidades Trigonométricas

Si es el ángulo complementario

de , hay un triángulo rectángulo

que los tiene como ángulos agudos

y se tiene que

1

sen

cos

identidades trigonom tricas21
Identidades Trigonométricas

En una diapositiva anterior

demostramos que

1

o bien, tomando

funciones trigonom tricas de ngulos arbitrarios
Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios

Para calcular el seno (o el coseno) de un ángulo agudo , colocamos un triángulo rectángulo como en la figura.

El seno (o coseno) del ángulo es la ordenada (o la abscisa) del punto de intersección de la hipotenusa con el círculo.

Pero no es necesario tener todo el rectángulo, basta

con tener la recta que une con el origen.

funciones trigonom tricas de ngulos arbitrarios23
Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios

DEFINIMOS para un ángulo , medido a partir de la recta contra las manecillas del reloj:

l

l

la ordenada de

la abscisa de

funciones trigonom tricas de ngulos arbitrarios24
Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios

l

La tangente de un ángulo , medido a partir de la recta contra las manecillas del reloj, es la longitud (orientada) señalada

l

funciones trigonom tricas de ngulos arbitrarios25
Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios

I

II

l

VI

III

¿Cómo obtuvimos la última hilera de la tabla?

medida absoluta de ngulos radianes
Medida absoluta de ángulos:RADIANES

El círculo unitario también nos permite usar longitudes para medir ángulos, aprovechando que el ángulo es proporcional al arco que subtiende. Un ángulo de un radián es el ángulo que subtiende un arco de longitud uno.

1

medida absoluta de ngulos radianes27
Medida absoluta de ángulos:RADIANES

Como la circunferencia unitaria mide 2, un cuarto de circunferencia mide /2 y como un ángulo recto sub-tiende un cuarto de circunferencia, el ángulo recto mide /2 radianes.

medida absoluta de ngulos radianes28
Medida absoluta de ángulos:RADIANES

90o

Como

/2

Entonces si Rad es la medida de un ángulo

en radianes y Grad la medida en grados,

actividad i
Actividad I…

Construir un triángulo cuyos lados sean de longitud 3, 4 y 5 . Comparar los distintos triángulos que se obtienen.

Nota: cada quien es libre de escoger la escala

actividad i31
…Actividad I

Con la escala proporcionada, medir la razón entre pares de lados del triángulo diseñado

Medir en centímetros los lados del triángulo diseñado y obtenga la razón entre los pares de lados

actividad ii
Actividad II…
  • Para cada uno de los triángulos rectángulos proporcionados, midan las siguientes razones, según el ángulo marcado con el círculo rojo:
  • Cateto opuesto e hipotenusa
  • Cateto adyacente e hipotenusa
  • Cateto opuesto y cateto adyacente
problema
Problema

En una circunferencia de centro O y radio 5 está

trazada una cuerda que mide 3.5 ¿cuánto mide

el ángulo central asociado?

En la misma circunferencia, halle la longitud de

la cuerda subtendida por un ángulo de 72o.

5

O

problema35
Problema

Una cuerda de 100m de largo se estira un metro más

y se sostiene del centro (ver la figura). ¿ A qué altura

se encuentra el punto C?

Dé una medida aproximada

del ángulo .

101m

C

100m

pregunta
Pregunta

¿ cuáles son los valores máximo

y mínimo de la función seno ?

¿ cuáles son los valores máximo

y mínimo de la función coseno ?

c

a

¿alguno de los catetos puede ser

mayor que la hipotenusa?

b

¿ cuáles son los valores máximo

y mínimo de la función tangente ?

problema37

···

15

30

45

60

75

90

105

120

135

150

Problema

Con apoyo del círculo unitario, construya

la gráfica de la función sen

(0,1)

(-1,0)

(0,1)

(-1,-1)

problema38
Problema…
  • Trace los triángulos rectángulos definidos por las siguientes ternas de puntos:
    • (0,0), (8,0), (8,6)
    • (0,0), (-4,0), (-4,3)
    • (0,0), (-3,0), (-3,-4)
    • (0,0), (8,-6), (8,0)
  • En cada uno de los triángulos trazados, ubique el ángulo formado entre la hipotenusa y el eje de las abscisas.
  • Calcule el seno, coseno y tangente de tal ángulo.