DERIVADA DÍA 38 * 1º BAD CS

1. DERIVADADÍA 38 * 1º BAD CS

2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA • Dada una función f definida en un entorno del punto a, se llama TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA de la función f en x = a al límite de las tasas de variación media cuando los intervalos considerados son cada vez más pequeños: • f (a + ▲x) - f(a) • TVI = lím ------------------------- • ▲x 0 ▲x • También: • f (a + h) – f (a) • TVI = lím ------------------------- • h 0 h • Pues bien, la Tasa de Variación Instantánea en x=a es lo que llamamos DERIVADA de una función f(x) en un punto, en x=a.

3. DERIVADA EN UN PUNTO DE UNA FUNCIÓN • Sea la función y = f(x) que se muestra en el gráfico mediante una curva. • Si tomamos los puntos Po y P1 • y los unimos mediante una recta, dicha recta será secante a la función que representa la curva trazada. • La pendiente m de dicha recta será: • Δ y y1 - yo • m1 = ------ = ------------ , • Δ x x1 - xo • es decir el incremento de la ordenada entre el incremento de la abscisa • Imaginemos que el punto P1 se traslada hasta el punto P2. P1 y1 P2 Po yo xo x1

4. Tanto la abscisa como la ordenada han cambiado, han disminuido de valor, y la recta secante también ha variado de posición. • La pendiente m de la nueva secante será: • Δ y y2 - yo • m2 = ------ = ------------- , • Δ x x2 - xo • es decir el incremento de la ordenada entre el incremento de la abscisa. • Observar que si el nuevo punto Pn tomado se va acercando más y más al punto Po, tanto el incremente de la ordenada como el de la abscisa tiende a cero. P1 P2 y2 Po yo xo x2

5. Observar que si el nuevo punto Pn tomado se va acercando más y más al punto Po, tanto el incremente de la ordenada como el de la abscisa tiende a cero. • La recta secante terminará convertida en una RECTA TANGENTE, pues será tangente a la función en el punto estudiado Po = (xo, yo) • La pendiente de esa recta tangente será: • yn - yo 0 • m = lím ------------- = [----] • xxo xn - xo 0 • m = resultado de la indeterminación, si lo hay. P1 P2 P3 P4 Po yo xo

6. La pendiente de esa recta tangente será: • f(x) – f(xo) 0 • m = lím --------------- = ---- • xxo x - xo 0 • A ese límite concreto es lo que llamamos DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO ( en Po ) • Se denota así: f ’(xo) • La derivada de una función en un punto es un número, no una expresión algebraica. • La derivada de una función en un punto es el valor de la pendiente de la recta que es tangente a la función en dicho punto. y1 y2 Po yo xo x2 x1

7. PENDIENTE Y DERIVADA • Sea la función y = - x2 + 4x • El vértice ( Máximo relativo) estará en V(2, 4) • La tangente a la parábola en el vértice será una recta horizontal y por tanto m=0 • Conclusión: Aquellos puntos de la función cuya derivada valga cero, serán los Máximos y Mínimos relativos de dicha función. • Asimismo en aquellos puntos cuya derivada sea negativa (m<0), la función será DECRECIENTE. Y si su derivada es positiva (m>0), la función será CRECIENTE. m<0 m=0 m>0 0 2 4

8. Regla de los cuatro pasos • Calculemos la derivada de una función en un punto, en x=a • Sea la función y = x2 + 4x • En x=a • f(a+h) – f(a) • f ’(a) = lím ----------------- = • h0 h • Primer paso: Calculamos las imágenes. • f(a+h) = (a+h)2 + 4.(a+h) = a2 + 2.a.h + h2 + 4a + 4h • f(a) = a2 + 4.a • Segundo paso: Calculamos la diferencia. • f(a+h) – f(a) = a2 + 2.a.h + h2 + 4a + 4h – a2 – 4.a = • = 2.a.h + h2 + 4h = h.(2.a + h + 4)

9. Regla de los cuatro pasos • Tercer paso: Calculamos el cociente • h.(2.a + h + 4) • ------------------- = 2.a + h + 4 • h • Cuarto paso: Calculamos el límite del cociente • Lím (2.a + h + 4) = 2.a + 0 + 4 = 2.a + 4 • Luego f ’(a) = 2.a + 4 • Si a = 0  f ’(0) = 2.0 + 4 = 4 • Si a = 1  f ’(1) = 2.1 + 4 = 6 • Si a = -2  f ’(-2) = 2.(-2) + 4 = -4+4 = 0 • Etc.

10. EJEMPLO DE APLICACIÓN 1 • Sea la función y = - x2 + 4x • En x=1 • f(1+h) – f(1) • f ’(1) = lím ----------------- = • h0 h • - (1+h)2 + 4.(1+h) – ( - 1+ 4) • = lím ----------------------------------- = • h0 h • -1-2h-h2 + 4 + 4h + 1 - 4 • = lím --------------------------------- = • h0 h • 2h - h2 • = lím ---------- = 2 – 0 = 2 • h0 h • f ’(1) = m = 2 > 0  Creciente m<0 m=0 m>0 0 2 4

11. … EJEMPLO DE APLICACIÓN • Sea la función y = - x2 + 4x • En x=3 • f(3+h) – f(3) • f ’(3) = lím ----------------- = • h0 h • - (3+h)2 + 4.(3+h) – (- 9+ 12) • = lím ----------------------------------- = • h0 h • -9-6h-h2 + 12 + 4h + 9 - 12 • = lím ----------------------------------- = • h0 h • - 2h - h2 • = lím ---------- = - 2 – 0 = - 2 • h0 h • f ’(3) = m = - 2 < 0  Decreciente m<0 m=0 m>0 0 2 4

12. … EJEMPLO DE APLICACIÓN • Sea la función y = - x2 + 4x • En x=2 • f(2+h) – f(2) • f ’(2) = lím ----------------- = • h0 h • - (2+h)2 + 4.(2+h) – (- 4+ 8) • = lím ----------------------------------- = • h0 h • - 4 - 4h -h2 + 8 + 4h + 4 - 8 • = lím ----------------------------------- = • h0 h • - h2 • = lím ---------- = - h = - 0 • h0 h • f ’(2) = m = 0  Máx o Mín m<0 m=0 m>0 0 2 4

13. EJEMPLO DE APLICACIÓN 2 • Sea la función y = 3 x + 4 • En x=1 • f(1+h) – f(1) • f ’(1) = lím ----------------- = • h0 h • 3(1+h) + 4 – ( 3.1+ 4) • = lím ------------------------------ = • h0 h • 3 + 3.h + 4 – 3 – 4 • = lím ----------------------------- = • h0 h • 3.h • = lím ---------- = 3 • h0 h • f ’(1) = m = 3 > 0  Creciente en x = 1 y = 3x+4 x y 0 4 1 7 m>0 0 1 2

14. EJEMPLO DE APLICACIÓN 3 • Sea la función y = - 2 x + 3 • En x=1 • f(1+h) – f(1) • f ’(1) = lím ----------------- = • h0 h • - 2(1+h) + 3 – (-2.1+3) • = lím ------------------------------ = • h0 h • - 2 – 2.h + 3 + 2 – 3 • = lím ----------------------------- = • h0 h • - 2.h • = lím ---------- = - 2 • h0 h • f ’(1) = m = - 2 < 0  Decreciente en x = 1 y = - 2.x + 3 x y 0 3 1 1 m<0 0 1 2