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Metodo dei minimi quadrati. Metodo dei minimi quadrati Teoria dei minimi quadrati. Metodo dei minimi quadrati. Ipotesi: m punti sperimentali (coppie ( x j , y j )) Equazione polinomiale di grado n data dalla somma di n funzioni φ dipendenti da x Obiettivo:

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Presentation Transcript
metodo dei minimi quadrati
Metodo dei minimi quadrati
  • Metodo dei minimi quadrati
  • Teoria dei minimi quadrati
metodo dei minimi quadrati1
Metodo dei minimi quadrati

Ipotesi:

  • m punti sperimentali (coppie (xj, yj))
  • Equazione polinomiale di grado n data dalla somma di n funzioni φ dipendenti da x

Obiettivo:

  • Trovare i valori dei parametri αi minimizzando lo scarto fra i valori sperimentali e quelli previsti dal modello, al fine di ottenere un modello che, data x, permetta di stimare y

generica funzione di x

metodo dei minimi quadrati2
Metodo dei minimi quadrati

Termine da minimizzare:il quadrato dello scarto tra i dati sperimentali e quelli previsti dal modello

scarto della j-esima coppia

metodo dei minimi quadrati3
Metodo dei minimi quadrati

il termine da minimizzare è una funzione positiva dipendente dai parametri αi, perciò per determinare i parametri αi per i quali la funzione ha un minimo, si cercano gli αi tali per cui tutte le derivate prime parziali siano nulle

metodo dei minimi quadrati4
Metodo dei minimi quadrati

per semplificare la formulazione del problema si definisce un vettore colonna φi in cui il j-esimo elemento corrisponde alla funzione φi calcolata nel punto sperimentale xj.

raggruppando le n colonne φi si ottiene la matrice B, di m righe e n colonne

metodo dei minimi quadrati5
Metodo dei minimi quadrati

definito il vettore colonna d dei valori sperimentali yj e il vettore colonna α dei parametri αi, l’equazione (1) diventa:

NB: L’OBIETTIVO È TROVARE α dati Be d

metodo dei minimi quadrati6
Metodo dei minimi quadrati

se la matrice Bè ortogonale, il prodotto BTBrestituisce una matrice diagonale i cui elementi sono rappresentati dalle norme della sua base, perciò si può scrivere nel modo seguente:

si può operare una trasformazione di base in modo da ortogonalizzare la matrice B, in modo da poter calcolare il vettore α

ma Bnon è ortogonale

metodo dei minimi quadrati7
Metodo dei minimi quadrati

per ortogonalizzare si utilizza una procedura iterativa:- la prima componente della nuova base è identica a quella della vecchia base- ciascuna ulteriore componente della nuova base è identica a quella della vecchia base MENO il prodotto scalare fra la vecchia componente e le nuove appena trovate, in modo che tutte le componenti della nuova base siano tra loro indipendenti

nel nuovo sistema si ottiene

ortogonalizzazione di Gram-Schmidt

metodo dei minimi quadrati8
Metodo dei minimi quadrati

seguendo la procedura iterativa dell’ortogonalizzazione di Gram-Schmidt si ottiene:

si può introdurre un ulteriore termine:

βi,p

si può riscrivere il risultato

dell’ortogonalizzazione come

αi’ è diverso da αi!!

metodo dei minimi quadrati9
Metodo dei minimi quadrati

Per risalire agli α iniziali si procede nel seguente modo:

αi’ è diverso da αi!!

metodo dei minimi quadrati10
Metodo dei minimi quadrati

Caso lineare:

  • Modello
  • Ortogonalizzazione
  • Param. del mod. ortog.
  • Modello ortog.
metodo dei minimi quadrati11
Metodo dei minimi quadrati

Retta dei minimi quadrati (I ordine)

  • Modello
  • Modello ortogonalizzato
  • Parametri del modello
esercizio 1 applicazione dei minimi quadrati al caso del i ordine
Esercizio 1: applicazione dei minimi quadrati al caso del I ordine
  • Sono state eseguite delle prove su un dispositivo gomma-metallo al fine di stimarne la rigidezza longitudinale. I risultati ottenuti sono i seguenti:
esercizio 2 applicazione dei minimi quadrati al caso del secondo ordine
Esercizio 2: applicazione dei minimi quadrati al caso del secondo ordine
  • Un proiettile viene sparato con un angolo incognito e la distanza che raggiunge lungo l’asse di sparo viene misurato utilizzando una videocamera ad alta velocità. Si devono determinare la velocità iniziale e il valore di decelerazione.