Lezione n° 21: 25-26 Maggio 2009 Problema dell’albero dei cammini minimi

1. Lezioni di Ricerca OperativaCorso di Laurea in Informatica ed Informatica Applicata Università di Salerno Lezione n° 21: 25-26 Maggio 2009 Problema dell’albero dei cammini minimi Anno accademico 2008/2009 Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili

2. Il problema dei cammini minini G=(N,A) destinazione sorgente p 40 7 9 1 2 cij = costo dell’arco (i,j) 15 35 9 10 1 44 21 xij = variabili decisionali 5 4 3 11 28 69 1 21 6 8 1 se xijp 7 5 xij = 7 0 se xijp

3. 40 7 9 1 2 15 35 9 10 1 44 21 5 4 3 11 28 69 1 21 6 8 7 5 7 Modello matematico

4. 40 7 9 1 2 15 35 9 10 1 44 21 5 4 3 11 28 69 1 21 6 8 7 5 7 Modello matematico

5. 40 7 9 1 2 15 35 9 10 1 44 21 5 4 3 11 28 69 1 21 6 8 7 5 7 Modello matematico

6. Il problema dei cammini minini (varianti) • Uno ad uno • Uno a tutti • Tutti a tutti

7. Il problema dei cammini minini G=(N,A) sorgente T 40 7 9 1 2 15 35 9 10 1 44 21 5 4 3 11 28 69 1 21 6 8 7 5 7

8. Etichette dei nodi G=(N,A) d1 d2 d9 40 7 9 1 2 15 35 9 10 d4 1 44 21 d5 5 4 3 11 d3 28 69 1 21 6 8 d6 d8 7 5 7 d7

9. Algoritmo prototipo Passo 1:Inizializzazione. ds=0, Ps=NULL, dk=, Pk=s kN\{s}, Q={s}; Passo 2:Estrai un vertice x da Q (Q= Q \{x}) ed aggiorna quando possibile le etichette dei vertici in FS(x): yFS(x) se dx + cxy < dy allora dy =dx + cxy , Py= x e se y Q inseriscilo in Q (Q= Q {y}) (test di ottimalità)

10. Aggioramento delle etichette yFS(x) se dx + cxy < dy allora dy = dx + cxy e Py= x • x=4, y=5 d4 + c45 < d5 ? d5 = d4 + c45 e P5= 4 • x=4, y=2 d4 + c42 < d2 ? ………………… • x=4, y=9 • d4 + c49 < d9 ? • d9 = d4 + c49 e P9= 4 42 36 5 15 21 7 18 2 4 34 9 67 55

11. Algoritmo prototipo Passo 1:Inizializzazione. ds=0, Ps=NULL, dk=, Pk=s kN\{s}, Q={s}; Passo 2:Estrai un vertice x da Q (Q= Q \{x}) ed aggiorna quando possibile le etichette dei vertici in FS(x): yFS(x) se dx + cxy < dy allora dy =dx + cxy , Py= x e se y Q inseriscilo in Q (Q= Q {y}) (test di ottimalità) Passo 3:Fino a quando Q   ripeti il passo 2 ;

12. Differenti implementazioni Gli algoritmi per l’SPT si distinguono per: • La politica di estrazione del nodo da Q (label setting e label correcting) • La struttura dati utilizzata per implementare Q

13. Algoritmo di Dijkstra (label setting) Dijkstra (G,s) Inizializzazione; (ds=0, Ps=NULL, dk=, Pk=s kN\{s} , Q={s}) while ( Q  ){ x = Extract_min(Q); Test_ottimalità(x,y); con yFS(x); }

14. L’algoritmo di Dijkstra (label setting) G=(N,A)   7 Q 0 40 7 9 1 2 15 35 9 10  1 44 21  9  5 4 3 11 28 69 1 21  6 8  7 5 7 2 7  2 5 1 0 9 7

15. L’algoritmo di Dijkstra (label setting) G=(N,A)  7 47 Q 0 40 7 9 1 2 15 35 9 10  1 22 44 21 9  5 4 3 42 11 28 69 1 21  6 8 4 5  22 9 3 4 42 22 7 5 7 9 2 3 47 42 7  5 9 9 47

16. L’algoritmo di Dijkstra (label setting) G=(N,A) 7 47 Q 0 40 7 9 1 2 15 35 9 10 1 22 44 21 9 5 4 3 42 11 28 69 1 21  6 8 78 6 5 4  78 9 22 4 3 22 42 7 5 7 3 9 47 42  6 9 78 47

17. L’algoritmo di Dijkstra (label setting) G=(N,A) 7 47 Q 0 40 7 9 1 2 15 35 9 10 1 22 44 21 9 5 4 3 42 11 28 69 8 7 1 43 33 21 6 8 3 78 50 8 4 42  33 22 33 7 3 43 42 7 5 7 9 47  43 6 78 50

18. L’algoritmo di Dijkstra (label setting) G=(N,A) 7 47 Q 0 40 7 9 1 2 15 35 9 10 1 22 44 21 9 5 4 3 42 34 11 28 69 8 1 33 21 6 8 3 50 42 34 33 7 43 7 5 7 9 47 43 6 50

19. L’algoritmo di Dijkstra (label setting) G=(N,A) 7 47 44 Q 0 40 7 9 1 2 15 35 9 10 1 22 44 21 9 5 4 3 34 11 28 69 1 21 6 8 3 50 34 33 7 43 7 5 7 9 47 44 43 6 50

20. L’algoritmo di Dijkstra (label setting) G=(N,A) 7 44 Q 0 40 7 9 1 2 15 35 9 10 1 22 44 21 9 5 4 3 34 11 28 69 1 21 6 8 50 48 33 7 43 7 5 7 9 44 43 6 50 48

21. T 40 7 9 1 2 15 35 9 10 1 44 21 5 4 3 11 28 69 1 21 6 8 7 5 7 Il problema dei cammini minini

22. Albero dei Cammini minimi  albero di copertura minimo SPT=22 5 2 5 10 15 0 4 6 1 11 7 3 7

23. 5 2 5 10 15 0 4 6 1 11 7 3 7 Albero dei Cammini minimi  albero di copertura minimo SPT=22 MST=21 2 5 10 4 6 1 11 7 3