1 / 31

PERSAMAAN DIFFERENSIAL

PERSAMAAN DIFFERENSIAL. Adalah : hubungan antara variabel bebas x, variabel bebas y dan turunannya. Bentuk Umum :

koko
Download Presentation

PERSAMAAN DIFFERENSIAL

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. PERSAMAAN DIFFERENSIAL Adalah : hubungan antara variabel bebas x, variabel bebas y dan turunannya. Bentuk Umum : Persamaan differensial (PD) menyatakan hubungan dinamik, maksudnya hubungan tersebut memuat besaran2 yang berubah, dan oleh karena itu PD sering muncul dalam persoalan2 ilmu pengetahuan dan teknik. Orde PD ditentukan oleh turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan tsb, sedangkan derajat PD ditentukan oleh pangkat dari turunan tertinggi.

  2. Contoh :

  3. SOLUSI DARI PERSAMAAN DIFFERENSIAL Untukmencarisolusidari PD, harusmencarifungsi yang memenuhipersamaanitu, artinya yang memuatpersamanitumenjadibenar. Hal iniberartiharusmengolahpersamaantersebutsehinggasemuakoefisiendifferensialhilang, yang adahanyahubunganantaravariabel x dan y saja, yaitu : F ( x , y ) = 0

  4. Contoh : maka : y = 2x2atau y = 2x2 + x , atau y = 2x2 –5x + 3 merupakanjawabdari PD diatas. Terlihatbahwa PD diatasmempunyaijawabantidak tunggal. Secaraumumsolusidari PD diatasdapatditulis : y = 2x2 + c1x + c2 dimana c1dan c2adalahkonstanta ,

  5. JENIS-JENIS PD ORDE SATU YANG KHUSUS • Bentuk umum : M( x , y ) dx + N( x , y ) dy = 0 1. PD Variabel Terpisah Bentuk PD : f(x) dx + g(y) dy = 0 • Solusi umum PD : • contoh : (x+1) dx + (y2 –3) dy = 0

  6. 1. Reduksi ke PD Variabel Terpisah Bentuk PD : f1(x) g1(y) dx + f2(x) g2(y) dy = 0 direduksi dengan mengalikan : PD diatas menjadi : karena telah menjadi PD variabel terpisah, maka solusi PD diatas :

  7. Contoh : 1. y(x-1) dx + (y+2)x dy = 0 2. xy dx + (1 + x2) dy = 0 3. 4. cos y dx + (1 + e–x) sin y dy = 0

  8. Latihan :  1. (1 + ex)dy + (1 + e-y)dx = 0 2. xln x dy + (ey + e-y)dx = 0 3. tg x dy – ctg y dx = 0 4. 2(1 + x2)dy – (1 – y2)dx = 0 5. (1 + x2) dy + (1 + y2) dx = 0

  9. 3. PD Homogen Suatufungsi f(x,y) dikatakanhomogenberderajat n , jika : f(λx, λy) = λn f(x,y) PD : M( x , y ) dx + N( x , y ) dy = 0 Dikatakan PD Homogenderajat n jika : M(x,y) dan N(x,y) adalahfungsihomogen yang berderajatsama. Untukmencarisolusidari PD homogenkitalakukan transformasi : y = vxdandy = v dx + x dv dengantransformasitsbdiperolehsuatu PD dalam x dan v denganvariabelterpisah.

  10. Contoh : 1. subtitusikan y = vx dan dy = v dx + x dv, sehingga diperoleh :

  11. 2. 3. 4.

  12. Latihan :  1. (x2 + y2)dx – 2xydy = 0 2. y(x2 + y2)dx – x{x + (x2 + y2)}dy = 0 3. (x3 + y3)dx + 3xy2dy = 0 4. (xsin - ycos )dx + xcos dy = 0 5. xdy – ydx - (x2 – y2)dx = 0

  13. 4. PERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK Suatu PD : M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dikatakan PD Eksakjika ada suatufungsi F(x,y) sehingga : dF = M(x,y) dx + N(x,y) dy …….(1) Rumusdifferensial : Makadari (1) dan (2) diperoleh :

  14. Untuk memeriksa apakah suatu PD merupakan PD eksak adalah : Untuk mencari solusi dari PD Eksak dapat melalui persamaan (3) atau persamaan (4). Dari persamaan (3) Untuk mencari c(y) turunkan F(x,y) terhadap y

  15. Dari persamaan (4) Untuk mencari c(x) turunkan F(x,y) terhadap x

  16. Contoh : 1. (x2 – y) dx – x dy = 0 Untuk mencari c(x) turunkan F(x,y) terhadap x Jadi,

  17. 2. (x2 + y2) dx + 2xy dy = 0 3. (2x + ey) dx + x ey dy = 0 4. (x + y cos x) dx + sin x dy = 0 5. (x + y + 1) dx + (x – y + 3) dy = 0 6. ( 3y – 2x + 4) dx – ( 4x – 3y – 2 ) dy = 0

  18. 5. REDUKSI KEPERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah PD tidak eksak dan dapat ditemukan suatu fungsi I(x,y) sedemikian sehingga PD : I(x,y) { M(x,y) dx + N(x,y) dy } = 0 merupakan PD eksak, maka fungsi I(x,y) dinamakan factor integrasi dari PD tersebut. • Ada beberapa jenis faktor integrasi antara lain : 1. Jika suatu fungsi dari x saja, maka adalah faktor integrasi dari PD tsb.

  19. 2. Jikasuatufungsidari y saja makaadalahfaktorintegrasidari PD tsb. 3. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 merupakan PD HomogendanxM + yN ≠ 0 , maka , adalahfaktorintegrasidari PD tsb. 4. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dapatditulis dlmbentuk : y f(x,y) dx + x g(x,y) = 0 , dimana f(x,y) ≠ g(x,y) , makaadalahfaktorintegrasi dari PD tersebut.

  20. Contoh: 1. (2y –x3) dx + x dy = 0 2. 3x2y2 dx + (4x3y – 12 ) dy = 0 3. (x2 + y2 + x) dx + xy dy = 0 4. (x2 + 3y2 ) dy – 2xy dx = 0 5. (xy + y2) dx – x2 dy = 0 6. (x2y3 + 2y) dx + (2x - 2x3y2 ) dy = 0

  21. Latihan : 1. (x2 – y) dx – xdy = 0 2. (x + ycos x)dx + sin x dy = 0 3. (1 + e2)dr + 2re2 d = 0 4. (4x3y3 + x-1)dx + (3x4y2 – y-1)dy = 0 5. {x (x2 + y2) – y}dx + {y (x2 + y2)- x}dy = 0

  22. 6. PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER ORDE PERTAMA Bentuk umum : Persamaan ini mempunyai faktor integrasi : Solusi umum dari PD ini adalah :

  23. Contoh : 1. P(x) = 1 , Q(x) = 2 + e2x FaktorIntegrasi : I = makasolusinya : Jadi , 2. 3.

  24. 7. PERSAMAAN DIFFERENSIAL BERNOULLI • Bentuk umum : • Dengan transformasi : akan menghasilkan persamaan differensial linier orde satu : yang mempunyai solusi umum :

  25. Contoh : 1. 2. 3. 4.

  26. PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE PERTAMA DERAJAT TINGGI Bentuk umum : atau F(x,y,p2,….,pn) = 0 dimana p = dy/dx Ada beberapa cara untuk menyelesaikannya 1. Jika PD diatas dapat diuraikan menjadi n faktor linier sedemikian shg persamaan dpt ditulis sebagai : (p – F1) (p – F2)….. (p – Fn) = 0 dimana F1, F2, …., Fn adalah fgs x dan y

  27. Langkah2 menentukan solusi umum (1). Uraikan PD tsb menjadi n faktor linier, yaitu : (p – F1) (p – F2)….. (p – Fn) = 0….(*) dimana F1, F2, …., Fn adalah fgs x dan y (2). Selesaikan n persamaan differensial orde satu derajat satu dari (*), yaitu : (p – F1) (p – F2) ………………………………………………………………….. (p – F1)

  28. (3). Solusi umum dari PD merupakan perkalian dari solusi umum setiap PD orde satu derajat satu tersebut, yaitu : f1(x,y,c) . f2(x,y,c) …… fn(x,y,c) . = 0

  29. 2. Jika PD tidakmengandung y, dan x dapatdipisahkan. Bentuk PD : F(x , p) = 0 dan x = f(p) Langkah2 menentukansolusiumum (1). Differensialkan x terhadap p, yaitu : (2).Karenamakashg : (3).Solusiumumdari PD telahdiperoleh x = f(p) p adalah parameter y =

  30. 3. Jika PD tidak mengandung x, dan y dapat dipisahkan. Bentuk PD : F(y , p) = 0 dan y = f(p) Langkah2 menentukan solusi umum : (1). Differensialkan y terhadap p, yaitu : (2). Karena maka sehingga : (3). Solusi umum dari PD telah diperoleh y = f(p) p adalah parameter x =

  31. contoh : 1. x2p2 + xy p – 6y2 = 0 2. 7p3 + 3p2 = x 3. p3 + 5p2 + 7p = y 4. x4p4 - 5x2y2 + 4y4 = 0

More Related