persamaan differensial n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
PERSAMAAN DIFFERENSIAL PowerPoint Presentation
Download Presentation
PERSAMAAN DIFFERENSIAL

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 31

PERSAMAAN DIFFERENSIAL - PowerPoint PPT Presentation


  • 188 Views
  • Uploaded on

PERSAMAAN DIFFERENSIAL. Adalah : hubungan antara variabel bebas x, variabel bebas y dan turunannya. Bentuk Umum :

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PERSAMAAN DIFFERENSIAL


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
persamaan differensial

PERSAMAAN DIFFERENSIAL

Adalah : hubungan antara variabel bebas x, variabel

bebas y dan turunannya.

Bentuk Umum :

Persamaan differensial (PD) menyatakan hubungan dinamik, maksudnya hubungan tersebut memuat besaran2 yang berubah, dan oleh karena itu PD sering muncul dalam persoalan2 ilmu pengetahuan dan teknik.

Orde PD ditentukan oleh turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan tsb, sedangkan derajat PD ditentukan oleh pangkat dari turunan tertinggi.

solusi dari persamaan differensial
SOLUSI DARI PERSAMAAN DIFFERENSIAL

Untukmencarisolusidari PD, harusmencarifungsi yang memenuhipersamaanitu, artinya yang memuatpersamanitumenjadibenar.

Hal iniberartiharusmengolahpersamaantersebutsehinggasemuakoefisiendifferensialhilang, yang adahanyahubunganantaravariabel x dan y saja,

yaitu :

F ( x , y ) = 0

contoh
Contoh :

maka :

y = 2x2atau

y = 2x2 + x , atau

y = 2x2 –5x + 3

merupakanjawabdari PD diatas.

Terlihatbahwa PD diatasmempunyaijawabantidak

tunggal.

Secaraumumsolusidari PD diatasdapatditulis :

y = 2x2 + c1x + c2

dimana c1dan c2adalahkonstanta ,

jenis jenis pd orde satu yang khusus
JENIS-JENIS PD ORDE SATU YANG KHUSUS
  • Bentuk umum :

M( x , y ) dx + N( x , y ) dy = 0

1. PD Variabel Terpisah

Bentuk PD : f(x) dx + g(y) dy = 0

  • Solusi umum PD :
  • contoh :

(x+1) dx + (y2 –3) dy = 0

slide6

1. Reduksi ke PD Variabel Terpisah

Bentuk PD :

f1(x) g1(y) dx + f2(x) g2(y) dy = 0

direduksi dengan mengalikan :

PD diatas menjadi :

karena telah menjadi PD variabel terpisah,

maka solusi PD diatas :

contoh1
Contoh :

1. y(x-1) dx + (y+2)x dy = 0

2. xy dx + (1 + x2) dy = 0

3.

4. cos y dx + (1 + e–x) sin y dy = 0

slide8

Latihan : 

1. (1 + ex)dy + (1 + e-y)dx = 0

2. xln x dy + (ey + e-y)dx = 0

3. tg x dy – ctg y dx = 0

4. 2(1 + x2)dy – (1 – y2)dx = 0

5. (1 + x2) dy + (1 + y2) dx = 0

3 pd homogen
3. PD Homogen

Suatufungsi f(x,y) dikatakanhomogenberderajat n ,

jika :

f(λx, λy) = λn f(x,y)

PD : M( x , y ) dx + N( x , y ) dy = 0

Dikatakan PD Homogenderajat n jika :

M(x,y) dan N(x,y) adalahfungsihomogen yang

berderajatsama.

Untukmencarisolusidari PD homogenkitalakukan

transformasi :

y = vxdandy = v dx + x dv

dengantransformasitsbdiperolehsuatu PD dalam x dan

v denganvariabelterpisah.

contoh2
Contoh :

1.

subtitusikan y = vx dan dy = v dx + x dv,

sehingga diperoleh :

slide11

2.

3.

4.

slide12

Latihan : 

1. (x2 + y2)dx – 2xydy = 0

2. y(x2 + y2)dx – x{x + (x2 + y2)}dy = 0

3. (x3 + y3)dx + 3xy2dy = 0

4. (xsin - ycos )dx + xcos dy = 0

5. xdy – ydx - (x2 – y2)dx = 0

4 persamaan differensial eksak
4. PERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK

Suatu PD : M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dikatakan PD Eksakjika ada suatufungsi F(x,y) sehingga :

dF = M(x,y) dx + N(x,y) dy …….(1)

Rumusdifferensial :

Makadari (1) dan (2) diperoleh :

slide14

Untuk memeriksa apakah suatu PD merupakan PD eksak

adalah :

Untuk mencari solusi dari PD Eksak dapat melalui

persamaan (3) atau persamaan (4).

Dari persamaan (3)

Untuk mencari c(y) turunkan F(x,y) terhadap y

slide15

Dari persamaan (4)

Untuk mencari c(x) turunkan F(x,y) terhadap x

contoh3
Contoh :

1. (x2 – y) dx – x dy = 0

Untuk mencari c(x) turunkan F(x,y) terhadap x

Jadi,

slide17

2. (x2 + y2) dx + 2xy dy = 0

3. (2x + ey) dx + x ey dy = 0

4. (x + y cos x) dx + sin x dy = 0

5. (x + y + 1) dx + (x – y + 3) dy = 0

6. ( 3y – 2x + 4) dx – ( 4x – 3y – 2 ) dy = 0

5 reduksi kepersamaan differensial eksak
5. REDUKSI KEPERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK

Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah PD tidak eksak dan dapat ditemukan suatu fungsi I(x,y) sedemikian sehingga PD :

I(x,y) { M(x,y) dx + N(x,y) dy } = 0

merupakan PD eksak, maka fungsi I(x,y) dinamakan factor integrasi dari PD tersebut.

  • Ada beberapa jenis faktor integrasi antara lain :

1. Jika suatu fungsi dari x saja,

maka adalah faktor integrasi dari PD tsb.

slide19

2. Jikasuatufungsidari y saja

makaadalahfaktorintegrasidari PD tsb.

3. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 merupakan

PD HomogendanxM + yN ≠ 0 ,

maka , adalahfaktorintegrasidari PD tsb.

4. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dapatditulis

dlmbentuk : y f(x,y) dx + x g(x,y) = 0 , dimana

f(x,y) ≠ g(x,y) , makaadalahfaktorintegrasi

dari PD tersebut.

contoh4
Contoh:

1. (2y –x3) dx + x dy = 0

2. 3x2y2 dx + (4x3y – 12 ) dy = 0

3. (x2 + y2 + x) dx + xy dy = 0

4. (x2 + 3y2 ) dy – 2xy dx = 0

5. (xy + y2) dx – x2 dy = 0

6. (x2y3 + 2y) dx + (2x - 2x3y2 ) dy = 0

slide21

Latihan :

1. (x2 – y) dx – xdy = 0

2. (x + ycos x)dx + sin x dy = 0

3. (1 + e2)dr + 2re2 d = 0

4. (4x3y3 + x-1)dx + (3x4y2 – y-1)dy = 0

5. {x (x2 + y2) – y}dx + {y (x2 + y2)- x}dy = 0

6 persamaan differensial linier orde pertama
6. PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER ORDE PERTAMA

Bentuk umum :

Persamaan ini mempunyai faktor integrasi :

Solusi umum dari PD ini adalah :

contoh5
Contoh :

1.

P(x) = 1 , Q(x) = 2 + e2x

FaktorIntegrasi : I =

makasolusinya :

Jadi ,

2.

3.

7 persamaan differensial bernoulli
7. PERSAMAAN DIFFERENSIAL BERNOULLI
  • Bentuk umum :
  • Dengan transformasi :

akan menghasilkan persamaan differensial linier orde satu :

yang mempunyai solusi umum :

contoh6
Contoh :

1.

2.

3.

4.

persamaan differensial orde pertama derajat tinggi
PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE PERTAMA DERAJAT TINGGI

Bentuk umum :

atau F(x,y,p2,….,pn) = 0 dimana p = dy/dx

Ada beberapa cara untuk menyelesaikannya

1. Jika PD diatas dapat diuraikan menjadi n faktor linier sedemikian shg persamaan dpt ditulis sebagai :

(p – F1) (p – F2)….. (p – Fn) = 0

dimana F1, F2, …., Fn adalah fgs x dan y

slide27

Langkah2 menentukan solusi umum

(1). Uraikan PD tsb menjadi n faktor linier, yaitu : (p – F1) (p – F2)….. (p – Fn) = 0….(*)

dimana F1, F2, …., Fn adalah fgs x dan y

(2). Selesaikan n persamaan differensial orde satu derajat satu dari (*), yaitu :

(p – F1)

(p – F2)

…………………………………………………………………..

(p – F1)

slide28

(3). Solusi umum dari PD merupakan perkalian dari solusi umum setiap PD orde satu derajat satu tersebut, yaitu :

f1(x,y,c) . f2(x,y,c) …… fn(x,y,c) . = 0

slide29

2. Jika PD tidakmengandung y, dan x dapatdipisahkan.

Bentuk PD : F(x , p) = 0 dan x = f(p)

Langkah2 menentukansolusiumum

(1). Differensialkan x terhadap p, yaitu :

(2).Karenamakashg :

(3).Solusiumumdari PD telahdiperoleh

x = f(p) p adalah parameter

y =

slide30

3. Jika PD tidak mengandung x, dan y dapat dipisahkan.

Bentuk PD : F(y , p) = 0 dan y = f(p)

Langkah2 menentukan solusi umum :

(1). Differensialkan y terhadap p, yaitu :

(2). Karena maka sehingga :

(3). Solusi umum dari PD telah diperoleh

y = f(p) p adalah parameter

x =

slide31

contoh :

1. x2p2 + xy p – 6y2 = 0

2. 7p3 + 3p2 = x

3. p3 + 5p2 + 7p = y

4. x4p4 - 5x2y2 + 4y4 = 0