Tema 3 la derivada aplicaciones y representaci n gr fica de funciones
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Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones. Números críticos Estrategia para localizar extremos Teorema de Rolle Teorema del Valor Medio Regla de Bernouilli-Hôpital Funciones crecientes y decrecientes Criterio de crecimiento y decrecimiento

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Tema 3 la derivada aplicaciones y representaci n gr fica de funciones l.jpg

Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones

  • Números críticos

  • Estrategia para localizar extremos

  • Teorema de Rolle

  • Teorema del Valor Medio

  • Regla de Bernouilli-Hôpital

  • Funciones crecientes y decrecientes

  • Criterio de crecimiento y decrecimiento

  • El criterio de la primera derivada

  • Aplicación del criterio de la 1ª derivada

  • Concavidad y convexidad

  • Criterio de concavidad

  • Aplicación del criterio de concavidad

  • Puntos de inflexión

  • El criterio de la 2ª derivada

  • Aplicación del criterio de la 2ª derivada

  • Problemas de aplicación de máximos y mínimos

  • Análisis de gráficas

  • Índice

  • La derivada y la recta tangente

  • Definición de derivada

  • Derivadas laterales

  • Derivabilidad y continuidad

  • Ritmos de cambio

  • Reglas básicas de derivación

  • Derivadas de orden superior

  • La regla de la cadena

  • Extremos de una función

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva

1


La derivada y el problema de la recta tangente l.jpg

y

(c+Dx , f(c+Dx))

Cambio en y

f(c+Dx)-f(c)

Cambio en x

Pendiente de la recta secante

Dx

x

Recta secante que pasa por

(c, f(c)) y (c+Dx , f(c+Dx))

Si f está definida en un intervalo abierto que

contiene a c y además existe el límite

Definición

entonces, la recta que pasa por (c,f(c)) con pendiente

m se llama recta tangente a la gráfica de f en

el punto (c,f(c))

La Derivada y el problema de la recta tangente

(c ,f(c))

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Recta secante

Recta tangente

Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones

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Definici n de derivada l.jpg

Notaciones de la derivada

Derivada de y

con respecto de x

La derivada de f en x viene dada por

Definición de derivada

Definición

supuesto que exista ese límite

Una función es derivable en x si su derivada en x existe, y derivable en un intervalo abierto (a,b) si es derivable en todos y cada uno de los puntos de ese intervalo

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Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones

3


Derivadas laterales l.jpg

Fórmula alternativa para la derivada

(x,f(x))

(c, f(c))

deben existir

x-c

f(x)-f(c)

c

x

Derivada por la izquierda

Derivada por la derecha

Derivadas laterales

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Una función es derivable en un intervalo cerrado [a,b] si es derivable en (a,b) y además existen la derivada por la derecha en a y la derivada por la izquierda en b

Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones

4


Derivabilidad y continuidad l.jpg

Derivable  continua

Si f es derivable en x=c, entonces es continua en x=c

Es posible que una función sea continua en x=c sin ser derivable

Ejemplos

Continua  Derivable

2

Continua en x=0

1

2

-3

-2

-1

Continua en x=2 pero

no es derivable en x=2

1

2

3

-1

-2

No es continua en x=0

 No es derivable en x=0

La recta tangente en x=0 es vertical. Por tanto, f no es derivable en x=2

Derivabilidad y continuidad

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Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones

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Ritmos de cambio l.jpg

S(t) función de posición: Da la posición (respecto del origen) de un objeto como función del tiempo t

Dt: lapso de tiempo

Ds: cambio de posición

Obtenemos la velocidad instantánea cuando t=1, aproximando por las velocidades medias sobre pequeños intervalos de tiempo [1 , 1+Dt] , tomando límite cuando Dt0

La función velocidad es la derivada de la función posición.

La posición de un objeto en caída libre es:

S0 altura inicial , v0 velocidad inicial, g-9,8 m/s2 aceleración gravedad

La derivada sirve para calcular el ritmo de cambio de una variable con respecto a otra

  • Ritmos de crecimiento de poblaciones

  • Ritmos de producción

  • Flujo de un líquido

  • Velocidad y aceleración

Ritmos de cambio

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Reglas b sicas de derivaci n l.jpg

Reglas básicas de derivación

  • Regla de la constante

  • Regla de las potencias

  • Regla del múltiplo constante

  • Reglas de suma y diferencia

  • Derivadas de las funciones seno y coseno

  • Regla del producto

  • Regla del cociente

  • Derivadas de funciones trigonométricas

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Derivadas de orden superior l.jpg

Podemos definir derivadas de cualquier orden entero positivo

...............

Ejemplo

Derivadas de orden superior

a (t) es la segunda derivada de s (t)

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Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones

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La regla de la cadena y sus aplicaciones l.jpg

Aplicaciones

  • Regla general para potencias

  • Derivación de funciones con radicales

  • Derivación de cocientes con numeradores constantes

  • Aplicación de la regla de la cadena a funciones trigonométricas

  • Aplicaciones reiteradas de la regla de la cadena

Si y = f(u) es una función derivabe de u, y si además u=g(x) es una función derivable de x, entonces y=f(g(x)) es una función derivable, con

La Regla de la cadena y sus aplicaciones

Regla de la cadena

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Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones

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Extremos de una funci n l.jpg

Máximo relativo

(0,0)

1. Si existe un intervalo abierto que contiene a c y en el que f(c) es máximo, entonces f(c) se llama un máximo relativo de f.

2. Si existe un intervalo abierto que contiene a c y en el que f(c) es mínimo, entonces f(c) se llama un mínimo relativo de f.

Mínimo relativo

(2,-4)

máximo

(2,5)

Sea f definida en un intervalo I que contiene a c

1. f(c) es el mínimo de f en I,

si f(c)  f(x) para todo x en I.

2. f(c) es el máximo de f en I,

si f(c)  f(x) para todo x en I.

El máximo y mínimo de una funcion en un intervalo son los valores extremos

Extremos de una función

-

-

-

-

-

-

5

3

1

-

-

-

-

-

-

-

1 2 3

-2 -1

f continua en [-1,2]

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N meros cr ticos l.jpg

Sea f definida en c. Si f´(c)=0 o si f´ no está definida en c, se dice que c es un número crítico de f.

Números críticos

f´(c)=0 Tangente

horizontal

f´(c) no está definido

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c

c

c es un número crítico de f

LOS EXTREMOS RELATIVOS SOLO OCURREN EN LOS NÚMEROS CRÍTICOS:

Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en x=c, c es un número crítico de f

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Estrategia para localizar extremos relativos en un intervalo cerrado l.jpg

Ejemplo

Hallar los extremos de

en el intervalo [-1,3]

f´(0) no está definido 

x=0 punto crítico

f(a) punto críticopunto crítico f(b)

f(-1)=-5 f(0)=0 f(1)=-1 f(3)-0,24

mínimo máximo

f´(x)=0  x=1 punto crítico

Estrategia para localizar extremos relativos en un intervalo cerrado

Para hallar los extremos relativos

de una función continua f en un

intervalo cerrado [a,b] :

1. Hallar los números críticos de f en [a,b]

2. Evaluarf en cada número crítico de (a,b)

3. Evaluarf en a y en b

4. El más grande de esos valores es el máximo. El más pequeño es el mínimo.

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Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones

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Teorema de rolle l.jpg

Sea f continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Si

f(a) = f(b)

Existe al menos un número c en tal que f´(c)=0

Teorema de Rolle

Máximo relativo

Máximo relativo

f es continua en [a,b]

y derivable en (a,b)

f es continua

en [a,b]

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a c b

a c b

El teorema de Rolle asegura que existe al menos un punto entre

a y b en el que la gráfica de f tiene tangente horizontal

Si se suprime la hipótesis de dervabilidad f tiene un número crítico en (a,b), pero quizá no tenga en el tangente horizontal

Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones

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Teorema del valor medio l.jpg

Sea f continua en el intervalo cerrado [a,b]

y derivable en el intervalo abierto (a,b),

existe un número c en (a,b) tal que

  • Importante teorema del Cálculo;

    útil para demostrar otros teoremas

  • Geométricamente garantiza la existencia de una recta tangente paralela a la secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

  • En términos de ritmo de cambio asegura que debe haber algún punto en (a,b) en el que el ritmo instantáneo de cambio es igual al ritmo medio de cambio en [a,b]

Teorema del Valor Medio

Pendiente de la recta tangente = f´(c)

Recta tangente

Recta secante

(b, f(b))

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(a, f(a))

a c b

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Regla de bernouilli h pital l.jpg

La regla de Hôpital también es válida cuando:

Sean f y g continuas y derivables en un entorno reducido del punto c.

Si g no se anula en ningún punto del entorno y las funciones f´y g´no se anulan simultáneamente en ningún punto,

en caso de existir

Regla de Bernouilli- Hôpital

también existe

y ambos coinciden:

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Funciones crecientes y decrecientes l.jpg

Una función f es creciente en un intervalo si para cualquier par de número x1, x2 del intervalo

x1  x2 f(x1)  f(x2)

creciente

decreciente

Una función f es decreciente en un intervalo si para cualquier par de número x1, x2 del intervalo

x1 x2 f(x1)  f(x2)

constante

f´(x) 0

f´(x) =0

f´(x)  0

La derivada está realacionada con la pendiente de la función

Observación

Funciones crecientes y decrecientes

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Criterio de crecimiento y decrecimiento l.jpg

Sea f continua en [a,b] y derivable en (a,b) [Con a,b, reales,  o - ]

1. f´(x)  0,  x (a,b)  f es creciente en [a,b]

2. f´(x)  0,  x (a,b)  f es decreciente en [a,b]

3. f´(x) = 0,  x (a,b)  f es constante en [a,b]

Ejemplo

Hallar los intervalos abiertos en los que f es creciente o decreciente

Nótese que f es continua en toda la recta real. Para hallar sus números críticos, igualamos a cero su derivada

Hacer f´=0

Factorizar

Números críticos

Intervalo

Valor prueba

Signo de f´(x)

Conclusión

- x  0

0x  1

1 x  

x=1/2

x=-1

x=2

f´(-1)=60

f´(1/2)=-3/4  0

f´(2)=60

creciente

decreciente

creciente

Criterio de crecimiento y decrecimiento

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El criterio de la primera derivada l.jpg

Sea c un número crítico de una función f definida en un intervalo abierto(a,b) que contiene a c. Si f es derivable en ese intervalo, excepto quizá en c, entonces f(c) puede clasificarse así:

1. Si f´(x) cambia en c de negativa a positiva, f(c) es un mínimo relativo de f

2. Si f´(x) cambia en c de positiva a negativa, f(c) es un máximo relativo de f

(-)

mínimo relativo

(+)

(+)

(-)

máximo relativo

f´(x)  0

f´(x)  0

f´(x) 0

f´(x)  0

a

c

b

a

c

b

(+)

(-)

(-)

(+)

f´(x)  0

f´(x)  0

f´(x)  0

f´(x)  0

Ni máximo ni mínimo

a

c

b

a

c

b

El criterio de la primera derivada

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Aplicaci n del criterio de la primera derivada l.jpg

Derivando, simplificando y factorizando

(-1,2)

Mínimo

relativo

(1,2)

Mínimo

relativo

x = 1 Números críticos, f´(x)=0

x = 0 0 no está en el dominio de f

Intervalo

Valor prueba

Signo de f´(x)

Conclusión

-1x  0

- x -1

0x  1

1 x  

x=1/2

x=-1/2

x=-2

x=2

f´(-2)  0

f´(1/2) 0

f´(2)0

f´(-1/2)  0

decreciente

decreciente

creciente

creciente

Ejemplo

Hallar los extremos relativos de

Aplicación del criterio de la primera derivada

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Concavidad y convexidad l.jpg

Concavidad y Convexidad

Sea fderivable en un intervalo abierto I. La gráfica de f es

cóncava en I si f´es creciente en I y

convexa en I si f´es decreciente en I.

convexa

f´ decreciente

cóncava

f´ creciente

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La gráfica de f queda por debajo de su recta tangente

La gráfica de f queda por encima de su recta tangente

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Criterio de concavidad l.jpg

Para aplicar este criterio:

  • Localizar los x en los que f´´(x)=0

  • Localizar los x en los que f´´(x) no está definida

  • Ensayar el signo de f´´ en cada uno de los intervalos de prueba

Sea funa función cuya segunda derivada existe en un intervalo abiertoI.

Criterio de concavidad

1. Si f´´(x)  0 para todo x en I, la gráfica de f es cóncava en I

2. Si f´´(x)  0 para todo x en I, la gráfica de f es convexa en I

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Aplicaci n del criterio de concavidad l.jpg

f es contínua en toda la recta real.

Hallamos f´y f´´

f´´ 0

Cóncava

f´´ 0

Cóncava

f´´  0

Convexa

x = 1

Intervalo

Valor prueba

Signo de f´´(x)

Conclusión

-1x  1

- x -1

1 x  

x=0

x=-2

x=2

f´´(-2)  0

f´´(2)0

f´´(0)  0

cóncava

cóncava

convexa

Ejemplo

Hallar los intervalos abiertos para los que la gráfica es cóncava o convexa

Aplicación del criterio de concavidad

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Puntos de inflexi n l.jpg

Si (c,f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f, entonces

o bien f´´(c)=0 o f´´(x) no está definida en x = c

Ejemplo

Hallar los ptos. de inflexión y discutir la concavidad de

Hallamos f´y f´´

Cóncava

f está definida y es continua en todos los reales

Cóncava

Convexa

x = 0, x = 2

Posibles ptos. de inflexión

Intervalo

Valor prueba

Signo de f´´(x)

Conclusión

0x  2

- x 0

2 x  

x=1

x=-1

x=3

f´´(-1)  0

f´´(3) 0

f´´(1)  0

cóncava

cóncava

convexa

Puntos de Inflexión

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El criterio de la segunda derivada l.jpg

Sea f una función tal que f´(c)=0 y cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto que contiene a c.

1. f´´(c)  0, entonces f(c) es un mínimo relativo

2. f´´(c)  0, entonces f(c) es un máximo relativo

Si f´´(c) = 0, este criterio no decide y ha de recurrirse al criterio de la primera derivada

El criterio de la segunda derivada

cóncava

convexa

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c

c

f´(c) = 0,

f´´(c)  0

f´(c) = 0,

f´´(c)  0

 f(c) es mínimo

 f(c) es máximo

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Aplicaci n del criterio de la segunda derivada l.jpg

(1,2)

Máximo relativo

Calculamos la derivada

Los números críticos de f :

x = -1, 1, 0

(-1,-2)

Mínimo relativo

Punto

Signo de f´´

Conclusión

Criterio de la

1ª derivada

(-1,-2)

f´´(-1) = 30  0

Mínimo relativo

f´´(1) = -30  0

Máximo relativo

( 1, 2 )

El criterio no decide

Como f crece a la izda

y dcha de x=0, no es máximo ni mínimo

( 0, 0 )

f´´(0 ) = 0

Ejemplo

Hallar los extremos relativos de

Aplicación del criterio de la segunda derivada

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Problemas de aplicaci n de m ximos y m nimos l.jpg

Estrategia

x número de cabezas de más

a partir de 20

1. Asignar signos a todas las magnitudes

B(x)=(20+x)(120-5x)

Beneficio que deseamos maximizar

3. Reducir la ecuación primaria a una ecuación

con solo una variable independiente. Esto puede

exigir ecuaciones secundarias que relacionen las

variables independientes de la ecuación primaria

B´(x)= (120-5x)+(20+x)(-5)=

-10x+20= 0  x=2

4. Determinar el dominio de la ecuación primaria.

Esto es, hallar valores para los que la ecuación

primaria tiene sentido

5. Determinar el máximo o mínimo mediante las

técnicas de Cálculo estudiadas

Un ganadero desea trasladar al matadero su producción de cerdos.

El transportista cobra 1,20 € por cabeza si traslada en cada camión 20 cerdos exactamente, mientras que si traslada más de 20 le descuentan 5 céntimos por cada uno que pase de 20. Hallar el número de cerdos que el transportista propondrá trasladar al ganadero para obtener el máximo beneficio

Problemas de aplicación de máximos y mínimos

2. Escribir una ecuación primaria para la

magnitud que debe ser optimizada

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva

B´´(x)= -10  0 , x=2máximo

Se transportarán 22 cerdos

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An lisis de gr ficas l.jpg

Análisis de Gráficas

Conceptos estudiados útiles al analizar gráficas de funciones

  • Dominio y recorrido

  • Intersección con los ejes

  • Simetrías

  • Continuidad

  • Asíntotas

  • Derivabilidad

  • Extremos relativos

  • Concavidad y convexidad

  • Puntos de inflexión

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Bibliograf a l.jpg

Bibliografía

Cálculo y Geometría Analítica

Larson, Hostetler, Eduards. Volumen 1, 1999 (6ª edición),

Ed. McGraw-Hill

Ejercicios y problemas

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva

Problemas de Matemáticas

para ingeniería técnica agrícola y veterinaria

Alejandre, Allueva,González. Tomo 1, 2000

Ed. Copy Center Zaragoza (C/. Doctor Cerrada nº 2)

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