Liceo Classico Scientifico “Giosuè Carducci” Nola (Na) Presenta:

1. Liceo Classico Scientifico “Giosuè Carducci”Nola (Na)Presenta:

2. “Tanti AuguriTivissimi” …anzi…No! “Tanti AuguriVivissimi”Trasmettere senza... la paura di sbagliare

3. INTRODUZIONE

5. Quindi occorre una tecnica per correggere eventuali errori (oltre a codificare e decodificare in tempi rapidi). La teoria dei codici si occupa esattamente del problema prospettato, ossia, il problema matematico della trasmissione di dati attraverso canali disturbati. Il fondatore della “teoria dei codici correttori d’errore” è Richard Wesley Hamming (1915-1996). Tale teoria rientra in un ambito più ampio che è quello della teoria dell’Informazione il cui padre è considerato Claude E. Shannon (1916-2001).

6. Ci sono due modi per affrontare il problema: Includere abbastanza informazione aggiuntiva in modo da poter ricostruire il messaggio originario (correzione dell’errore); Includere meno informazione aggiuntiva, in modo da accorgersi che c’è stato un errore, senza per questo essere in grado di correggerlo (rilevazione dell’errore).

7. CODICE DI HAMMING PER LA CORREZIONE DEGLI ERRORI

8. Supponiamo di dover inviare dei messaggi consistenti in numeri da 0 a 15 scritti in base 2. Si tratta, quindi, di quaterne di cifre 0 e 1. Cioè il nostro codice ha per alfabeto l’insieme F2={0,1}. Indichiamo con F24 l’insieme, costituito da M=24=16 elementi, di tutte le stringhe di ordine 4 che si possono ricavare utilizzando il sistema binario.

9. Supponiamo di voler trasmettere un messaggio (a1, a2, a3, a4) corrispondente a uno dei numeri precedenti. Per salvaguardarci da eventuali errori trasmettiamo la 7-pla: costituita dalle prime quattro cifre, rispettivamente, uguali ai caratteri del messaggio da trasmettere e da altre 3 cifre “ridondanti” ottenute sommando alternativamente tre delle prime quattro (nel modo indicato nella 7-pla). Le somme naturalmente vanno calcolate in F2. Ad esempio, invece di trasmettere 0100 trasmettiamo 0100011. Assegnate due stringhe di uguale lunghezza, il numero di bit che in esse differiscono prende il nome di distanza di Hamming. Il minimo “d” delle distanze fra tutte le possibili coppie di stringhe si definisce distanza di Hamming di un codice.

10. In effetti questo allungamento, ottenuto con l’aggiunta delle 3 cifre (ridondanti) ci permette di scoprire eventuali errori nella trasmissione del messaggio. Se (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7) è una parola del nostro codice ed è trasmessa correttamente, ricordando la 7-pla della relazione precedente, si avrà: Da cui ricaviamo il sistema: Questo sistema si dice “sistema delle condizioni di parità” del codice che stiamo considerando. In questo codice la distanza di Hamming è: d=3. Ciò permette di identificare due errori e correggerne uno. Possiamo verificare l’asserto procedendo sperimentalmente

11. Se il sistema è soddisfatto il messaggio è corretto. Se il messaggio non verifica il sistema e supponiamo di sapere, o di ritenere assai probabile, che non vi sia più di un errore di trasmissione, siamo in grado anche di individuare esattamente l’errore commesso. Infatti, se vi è uno e un solo errore, si verifica uno solo dei seguenti sette casi possibili:

12. 1) X1+ X3 + X4 + X5 = 0 Errata 5)X1+ X3 + X4 + X5 = 0 Errata X1+ X2 + X4 + X6 = 0 Errata X1+ X2 + X4 + X6 = 0Esatta X1+ X2 + X3 + X7 = 0 Errata X1 + X2 + X3 + X7 = 0Esatta 2)X1+ X3 + X4 + X5 = 0Esatta 6)X1+ X3 + X4 + X5 = 0Esatta X1+ X2 + X4 + X6 = 0 Errata X1 + X2 + X4 + X6 = 0 Errata X1+ X2 + X3 + X7 = 0 Errata X1+ X2 + X3 + X7 = 0Esatta 3)X1+ X3 + X4 + X5 = 0 Errata 7)X1+ X3 + X4 + X5 = 0Esatta X1 + X2 + X4 + X6 = 0 EsattaX1 + X2 + X4 + X6 = 0Esatta X1+ X2 + X3 + X7 = 0 Errata X1+ X2 + X3+ X7 = 0 Errata 4)X1+ X3 + X4 + X5 = 0 Errata X1 + X2 + X4 + X6 = 0 Errata X1+ X2 + X3 + X7 = 0Esatta

13. Naturalmente se l’errore è segnalato dal quinto posto in poi, il numero trasmesso (la cui identificazione è data solo dalle prime 4 cifre) può comunque essere individuato correttamente in quanto l’errore commesso riguarda una delle ultime tre cifre (che costituiscono solo il codice di controllo di errori). In effetti il codice considerato è anche in grado di autocorreggersi! In ogni caso, se sappiamo che c’è un solo errore, il sistema considerato precedentemente, ci consente anche di individuare dove è stato commesso l’errore e, quindi, di correggerlo. Infatti, trattandosi di codice binario, se sappiamo dov’è l’errore, per correggerlo basta cambiare il simbolo che occupa il posto incriminato. Si potrebbe applicare la stessa procedura a casi in cui i dati da trasmettere siano in numero superiore a 15, con messaggi costituiti da più di 4 bit e aumentando opportunamente il numero di equazioni del “sistema delle condizioni di parità”.

14. APPLICAZIONI

15. Un primo esempio concreto dell’importanza della correzione degli errori nella trasmissione dei dati si presentò alla fine degli anni 60. Le sonde spaziali Mariner e Voyager furono spedite nello Spazio per fotografare Marte e Giove e inviare le loro immagini sulla Terra. Ogni foto era divisa in quadratini di 0,1 mm2 e, per ognuno di essi, il computer di bordo inviava un segnale corrispondente alla tonalità di grigio rilevata in una scala da 0 (bianco) a 63 (nero). Nel sistema binario ogni segnale corrispondeva, quindi, ad una stringa di 6 bit che rappresentava una delle 64 tonalità di grigio. In tale situazione cosa succederebbe se vi fossero degli errori nella trasmissione dei dati a causa di qualche interferenza? Senza i codici di correzione di errori, le foto giungerebbero alterate e darebbero sicuramente delle informazioni errate. Ciò potrebbe compromettere i risultati di importanti scoperte e vanificare progetti costati miliardi di dollari.

16. Per avere un esempio pratico dell’utilizzo dei codici correttori d’errore è stato creato un programma apposito che tramite l’inserimento dei caratteri da codificare controlla e corregge l’errore presente.

17. F I N E RINGRAZIAMENTI • L’elenco dei ringraziamenti sarebbe troppo lungo. Ma vogliamo ringraziare, per tutti, il prof. Catello Tenneriello che con la sua pazienza e competenza ci ha guidati in questa esaltante esperienza. • Speriamo, per il futuro, di ritrovarci in altre occasioni che, come questa, ci facciano crescere e migliorare sia sotto l’aspetto umano che culturale. • GRAZIE A TUTTI PER LA CORTESE ATTENZIONE. • Il lavoro è stato curato da: Valeria Braghieri, Antonino Brunetto, Francesca Caliendo, Stefano Cangiano, Emanuele D’Aniello, Maddalena Daniele, Domenico De Lucia, Luigi Fedele, Vincenzo Gambale, Guido Gucci, Marco Guerriero, Sara Maffettone, Alessandra Muzio, Pasquale Napolitano, Carmen Nappi, Francesco Pacia, Caterina Paradiso, Manuel Sabatino, Sandro Vecchione.