slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Potenciál játékok A játékoknál minden játékosnak saját nyereménye van és azt kívánják maximálni. PowerPoint Presentation
Download Presentation
Potenciál játékok A játékoknál minden játékosnak saját nyereménye van és azt kívánják maximálni.

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 17

Potenciál játékok A játékoknál minden játékosnak saját nyereménye van és azt kívánják maximálni. - PowerPoint PPT Presentation


  • 90 Views
  • Uploaded on

Potenciál játékok A játékoknál minden játékosnak saját nyereménye van és azt kívánják maximálni. A potenciál játékoknál létezik egy V(s 1 , …, s N ) potenciálfüggvény, ami mindegyik x játékosra kielégíti az alábbi feltételt ( N -személyes játék esetén):.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Potenciál játékok A játékoknál minden játékosnak saját nyereménye van és azt kívánják maximálni.' - kin


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

Potenciál játékok

A játékoknál minden játékosnak saját nyereménye van és azt kívánják maximálni.

A potenciál játékoknál létezik egy V(s1, …, sN) potenciálfüggvény, ami mindegyik x játékosra kielégíti az alábbi feltételt (N-személyes játék esetén):

ahol ux(sx;s-x) az x játékos nyereménye, ha sx stratégiát követ, miközben a többiek stratégiaprofilját s-x-szel jelöljük.

A potenciálfüggvény fontos tulajdonsága, hogy a stratégiáját változtató játékos nyereményváltozásából épül fel.

Ez a feltétel általában erős megszorítást jelent a nyeremények lehetséges értékeire, mert a potenciálváltozás összege zárt hurkok mentén 0.

A játékcsalád különleges tulajdonsága, hogy megfelelő evolúciós (dinamikai) szabály esetén a rendszerben a lehetséges stratégiaprofilok valószínűségét a Boltzmann-Gibbs sokasággal írhatjuk le, vagyis érvényesek lesznek az egyensúlyi statisztikus fizika és a termodinamika törvényei.

slide2

Általános tulajdonságok kétszemélyes játékoknál

1) A bimátrixot mátrixra képezzük le:

2) Linearitás és egy tetszőlegesen megválasztható konstans:

3) additivitás, azaz ha

4) szimmetrikus játéknál

slide3

Általános tulajdonságok (folytatás)

5) Ha a kétszemélyes szimmetrikus játéknál (A=B) a nyereménymátrix szimmetrikus,

azaz, ha A=A+, akkor V=A .

6) A potenciál nem változik, azaz V=V’ , ha

ez a tulajdonság jelentősen növeli a potenciál játékok halmazát.

7) Egy játék akkor és csak akkor potenciál játék, ha annak minden 2x2-es részjátéka potenciál játék. Ez a Kirchhoff törvények következménye.

8) Párkölcsönhatások összegzésével is felépíthető egy sokszereplős potenciál játék, pl.:

ahol az összegzés az xy játékos párokra történik és Jxy egy csatolási állandó.

Egy x játékos több y játékostárssal is részt vehet a játékban.

slide4

Minden szimmetrikus kétszemélyes kétstratégiás játék potenciál játék

Gráf reprezentáció: pontok = tiszta stratégia profilok (mikroállapotok)

élek = lehetséges átmenetek, ha csak egy játékos vált stratégiát

Stratégia pár: (fehér és/vagy fekete) pont-pár,

Nyeremény pár: (Aij, Bji)

A változtató játékos nyereményének változása az élek mentén. Összegük 0 a hurok mentén.

S

S

1-T

1-T

A potenciál létezik, ha

Ugyanez társadalmi dilemmák szokásos jelölésében:

Folyamábra: A nyilak a magasabb potenciált jelölik.

Nincs irányított hurok.

Tiszta Nash egyensúly = pont kimenő élek nélkül

Sorrendi potenciál játék: hasonló folyamábra.

slide5

Nemszimmetrikus 2x2-es potenciál játékok

A társadalmi dilemmák jelölését használva a potenciál létezik és alakja:

ha a+b+c=0

Két hangolható paraméter (pl. a és b)

Ellenpélda (snóbli, vagy matching pennies):

folyamábra:

Ha (a+b+c) ≠ 0, akkor a játék

A snóbli képviseli azt a 2x2-es kölcsönhatást, ami „kavar” az állapottérben.

slide6

Szimmetrikus 3x3-as potenciál játékok

A potenciál származtatásánál csak az aszimmetrikus résszel kell foglalkozni. (Kirchhoff törvények)

A potenciál létezik, ha a+b+c=0, és ekkor

Egyébként a G=(A,A) játék szétcsatolható, azaz

A kő-papír-olló játék a játékok egy másik olyan 3x3-as játék, ahol nincs potenciál, és folyamábrája irányított hurkot tartalmaz.

slide7

Folyamábra a potenciál játékoknál

A nyilak a jobb egyéni választás irányába mutatnak

Nincs irányított hurok

Példa: koordinációs játék négy személlyel,

mindegyikük két lehetőség közül választ

állapottér: 4-dimenziós „kocka”

egyszerre csak egy játékos változtat

Tiszta Nash egyensúly(ok) megtalálása:

Véletlen kezdőállapotban a véletlenül választott játékosok új véletlen stratégiát választanak, ha az nekik megéri. Előbb-utóbb a rendszer elér egy olyan állapotot, ahonnan már senkinek sem éri meg eltérni, vagyis nincs kifelé mutató él, ami egy NE.

Ugyanez a sorrendi potenciál játékokra is igaz.

Maximális potenciál = NE = Nash egyensúly

Több tiszta Nash egyensúly is létezhet.

gráfelméleti tételek

slide8

Térbeli potenciál játékok

N azonos játékost egy négyzetrács x pontjain helyezünk el. Periodikus határfeltétel biztosítja az eltolási szimmetriát.

x játékos stratégiái:

A potenciál az első szomszédok közötti kétszemélyes potenciál játékból épül fel:

Ising modell: σx= -1, +1 (spin fel, spin le) állapotok

Energia:

J: csatolási állandó (J > 0: ferromágneses)h: külső mágneses tér

Rács gáz modell: nx=0, 1

slide9

Sztochasztikus dinamika

A „logit” szabály a nagyobb egyéni nyeremény illetve a magasabb U(s) potenciál irányába tereli a rendszert hasonlóan a Glauber,

vagy Metropolis dinamikákhoz,

amelyek a magasabb U potenciállal jellemzett állapot valószínűségét növelik.

Mindegyik rendszer a Boltzmann eloszlásba fejlődik, azaz s valószínűsége:

ami kielégíti a részletes egyensúly feltételét minden lehetséges oda-vissza átmenet esetében

A részletes egyensúly és a Boltzmann eloszlás változatlanul megmarad, ha az oda-vissza átmenetek w(s→s’ ) és w(s’→s) valószínűségét ugyanazzal a szorzófaktorral megváltoztatjuk.

Analógia a közlekedő edényekkel.

slide10

A teljes potenciál, aminek változása megegyezik a stratégiáját változtató játékos nyereményváltozásával (ez a hajtóerő):

hasonlít az Ising modell energiájára (H=-Utotal), ha

Kinetikus Ising modell: (a Hamiltonian nem definiálja a mozgást!)

Glauber-dinamika: (kölcsönhatás egy külső hőtartállyal)

egy spin átfordul az x helyen, azaz sx→ s’x

megváltozik a spinek eloszlása {s} → {s}’

változik a rendszer energiája: H → H’

Az elemi folyamat valószínűsége csak az energiakülönbségtől függ és kielégíti a részletes egyensúly feltételét a termodinamikai egyensúlyban:

Az oda- és visszaugrálás gyakorisága azonos a termodinamikai egyensúlyban.

slide11

Boltzmann-eloszlás származtatása az entrópia-maximum elvből

Entrópia:

Feltételek: normalizálás:

átlagos potentiál:

A variációszámítás szabályai szerint a következő egyenletrendszert kell megoldani

Majd az αandβ Lagrange multiplikátorok megválasztásával kielégítjük a feltételeket.

Az algebrai számolás eredménye:

Következmények:

Termodinamika érvényes

Extrémum elvek működnek

Statfiz módszerei használhatóak

slide12

Ising modellel azonos térbeli 2x2-es evolúciós játékok (U=-H)

Társadalmi dilemma jelölésben (D és C stratégiák):

Mágneses Ising modell:

z szomszéd

A paraméterek összehasonlításából:

J>0 : ferromágneses rend

J<0 : anti-ferromágneses (sakktábla) rend

h>0 : homogén spin fel állapot

h<0 : homogén spin le állapot

A J=0 eset „áljátéknak” felel meg

(pl. adományozó vagy közlegelő játékok)

slide13

Jelenségek az Ising modellben négyzetrácson (z=4)

Ferromágneses eset = Koordinációs játék (Linux vagy Windows)

Szimulációk

Rendeződés, ha T<Tc, Rendezetlen állapot, ha T>Tc

Stacionáris állapot: M mágnesezettség, ha sx=1, -1:

□: Monte Carlo szimuláció

-----: Onsager (1944)

2-dimenziós egzakt megoldása

slide14

Rendeződési folyamat antiferromágneses modellnél

vagy az antikoordinációs játéknál, pl.: héja-galamb

Szimuláció Tc felett

Szimuláció Tc alatt

A hosszútávú rendezett állapotot az alrácsmágnesezettség különbségével jellemezzük, azaz a négyzetrácsot két (A és B) alrácsra bontjuk a sakktábla fehér és sötét négyzeteinek megfelelően és a rendparaméter:

Négyzetrácson a ferromágneses és az anti-ferromágneses modell egymásba képezhető, ha

Következmény:

A ferromágneses és anti-ferromágneses rendszerek viselkedése hasonló.

slide15

Kritikus átmenet Tc közelében

Mágnesezettség (H=0):

Fajhő (H=0):

Szuszceptibilitás:

Korrelációs hosszúság:

Mágnesezettség Tc-nél:

Korrelációs fv. Tc-nél

Kitevők közötti összefüggések:

(d a rács térbeli dimenziója)

2d Ising kitevők

Az univerzáliskitevők értékei számos technikai részlettől függetlenek

(pl. rács típusa, koordinációs szám, a kh. és dinamika részletei)

Súlyos következmények a Monte Carlo szimulációs adatok meghatározásnál:

a nagyobb korrelációs hossz, hosszabb relaxációs idő, nagyobb fluktuáció

miatt jelentősen kell növelni a futási időt Tc-hez közeledve

slide16

Doménnövekedés

A tipikus doménméret t1/2 -vel arányos, ha véletlen kezdőállapotból indulunk T<Tc-nél

Szimuláció különböző dinamikáknál

Us : állandósult nyeremény

U(t) : időfüggő nyeremény

Szaggatott vonal : t-1/2

Ezekben az esetekben a felületi feszültség minimalizálása hajtja a doménnövekedést.

A felületi feszültségből származó hajtóerő megszűnhet, amikor párhuzamos (egyenes) doménfalak jönnek létre a tóruszon, amit a periodikus határfeltétel miatt választunk.

Ez a kellemetlenség M meghatározásánál elkerülhető, ha rendezett állapotból indítjuk a rendszert.

A doménnövekedés lelassul Tc közelében (kritikus lelassulás) és nagyon alacsony hőmérsékleten is (a lokális változások ritkulása miatt). T≈0.6 Tcajánlott.

slide17

Házi feladat

6.1. Hányszorosára kell növelni a futási időt Monte Carlo szimuláció esetén a rendparaméter (M) meghatározásánál, ha a (T-Tc) értékét megfelezzük a kritikus pont közelében? Tételezzük fel, hogy ugyanazt a relatív pontosságot kívánjuk elérni.

6.2. Hány független 4-es hurok van a kétszemélyes négystratégiás játékoknál a Kirchhoff törvények szerint, és ezeknél milyen további feltételek egyszerűsítik potenciál létezésének kritériumát, ha a játék szimmetrikus (A=B)?

6.3. Potenciál játék marad-e az önkéntes Fogolydilemma játék, ha a C és D stratégiák mellett megengedjük a távolmaradást, mint harmadik L (loner) stratégiát, és a nyereménymátrix alakja a következő: