ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟีเรียร์(Limit Superior and Limit Inferior)

ลิมิตซูพีเรียร์ พิจารณาเมื่อ มีขอบเขตบนและเมื่อ ไม่มีขอบเขตบน กรณีที่ มีขอบเขตบนจะมีจำนวนจริง M ที่ sn M, ทุก n

สำหรับแต่ละ nกำหนดเซต { sn, sn+1, sn+2, … } เช่น n = 1 ได้ { s1, s2, s3, … } n = 2 ได้ { s2, s3, s4, … } เป็นต้น ซึ่งแต่ละเซตเป็นเซตที่มีขอบเขตบน ให้ Mn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } เนื่องจาก { sn, sn+1, sn+2, … }  { sn+1, sn+2, sn+3, … } ทำให้ Mn  Mn+1ทุก n ดังนั้น เป็นลำดับไม่เพิ่ม ลำดับไม่เพิ่มอาจเป็นลำดับที่ลู่เข้าหรือลำดับที่ลู่ออกสู่ –อย่างใดอย่างหนึ่ง

บทนิยาม 3.5.1ให้ เป็นลำดับจำนวนจริงที่มีขอบเขตบน และMn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } ลิมิตซูพีเรียร์ของลำดับ แทนด้วย sup sn ถ้า เป็นลำดับลู่เข้า แล้วให้ sup sn = Mn ถ้า เป็นลำดับลู่ออกสู่ –แล้วให้ sup sn = –

ตัวอย่าง 1 = เป็นลำดับที่มีขอบเขตบน Mn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } = 1 ทุก n เป็นลำดับลู่เข้า sup sn = Mn = 1

ตัวอย่าง 2 คือ 1, –2, , - 4 , , -6 เป็นลำดับที่มีขอบเขตบน Mn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } และลำดับ คือ 1, , , , , , ,... ซึ่งลู่เข้า ดังนั้น sup sn = Mn = 0 

ตัวอย่าง 3คือ –1, –2, –3, –4, –5, … เป็นลำดับที่มีขอบเขตบน Mn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } = –n , n เป็นลำดับลู่ออกสู่ – sup sn = –

บทนิยาม 3.5.2ถ้าเป็นลำดับจำนวนจริงที่ไม่มี ขอบเขตบนแล้วให้ sup sn =  ตัวอย่าง 4คือ 1, 2, 1, 4, 1, 6, … เป็นลำดับที่ไม่มีขอบเขตบน ดังนั้น sup sn = 

ทฤษฎีบท 3.5.3ถ้าเป็นลำดับจำนวนจริงและ เป็นลำดับลู่เข้าแล้ว sup sn = sn การพิสูจน์ให้ sn = L สำหรับ  > 0 จะมีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้ | sn – L | <  , n  k L –  < sn < L +  , n  k สำหรับ n  k จะมี L + เป็นขอบเขตบนของเซต { sn, sn+1, sn+2, … } แต่ L – ไม่เป็นขอบเขตบนของเซต { sn, sn+1, sn+2, … }

L – < Mn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } L + , n  k { Mn } เป็นลำดับไม่เพิ่มที่ลู่เข้าและโดยบทแทรก 3.4.4 ทำให้ L –  Mn L +  L –  sup sn L +  เนื่องจากเป็นจำนวนจริงบวกใดๆ ดังนั้นย่อมได้ว่า sup sn = L 

บทนิยาม 3.5.4ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริงที่มีขอบเขตล่างและ mn = g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } ลิมิตอินฟีเรียร์ แทนด้วย inf sn 1. ถ้า เป็นลำดับลู่เข้าแล้วให้ inf sn = mn 2. ถ้า เป็นลำดับลู่ออกสู่ แล้วให้ inf sn = 

บทนิยาม 3.5.5ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริงที่ไม่มีขอบเขตล่าง แล้วให้ inf sn = – ตัวอย่าง 5 = เป็นลำดับที่มีขอบเขตล่าง mn = g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } = –1 ทุก n เป็นลำดับลู่เข้า inf sn = mn = –1 

ตัวอย่าง 6 คือ 2, 4, 6, 8, 10, … เป็นลำดับที่มีขอบเขตล่าง mn = g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } = 2n , n เป็นลำดับลู่ออกสู่ inf sn =  ดังนั้น

ตัวอย่าง 7 คือ 1, –2 , 1, –4, 1, –6, … เป็นลำดับที่ไม่มีขอบเขตล่าง inf sn = – ดังนั้น

= ตัวอย่าง 8 เป็นลำดับที่มีขอบเขต sup sn = Mn = 0 mn = 0  inf sn =

ทฤษฎีบท 3.5.6ถ้า เป็นลำดับจำนวนจริงที่ลู่เข้าแล้ว inf sn = sn ทฤษฎีบท 3.5.7ถ้า เป็นลำดับจำนวนจริง แล้ว inf sn = supn

การพิสูจน์ (1) ถ้ามีขอบเขต mn = g.l.b.{ sn, sn+1, sn+2, … }  l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } = Mn mn inf sn sup sn Mnดังนั้น (2) ถ้าไม่มีขอบเขต sup sn = หรือ ดังนั้น inf sn = – inf sn จาก (1), (2) นั่นคือ sup sn 

ทฤษฎีบท 3.5.8ถ้า เป็นลำดับจำนวนจริง sup sn = inf sn = L และ L แล้ว เป็นลำดับลู่เข้า และ sn = L การพิสูจน์ให้ > 0 เนื่องจาก L = sup sn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … }

จะมีจำนวนเต็มบวก k1ที่ทำให้ | l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } – L | <  , n k1 l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } < L +  , n k1 ทำให้ sn < L +  , n k1 inf sn เนื่องจาก L = = g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … }

จะมีจำนวนเต็มบวก k2ที่ทำให้ | g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } – L | <  , n k2 L –  < g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } , n k2 ทำให้ L – < sn , n k2 ให้ k = max { k1, k2 } ทำให้ L – < sn < L + , n k ดังนั้น | sn – L | < , n k นั่นคือ sn = L

ทฤษฎีบท 3.5.9ถ้า เป็นลำดับจำนวนจริง และ sup sn =  = inf sn แล้วลำดับ เป็นลำดับลู่ออกสู่บวกอนันต์ การพิสูจน์ให้ M > 0 เนื่องจาก inf sn =  จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่งทำให้ g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } > M , n  k sn g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } , n  k ดังนั้น sn > M , n  k นั้นคือ ลู่บวกออกสู่อนันต์

ทฤษฎีบท 3.5.10 ถ้า และ เป็นลำดับ จำนวนจริงและเป็นลำดับ ที่มีขอบเขตถ้า sn tn , n แล้ว (1) sup sn sup tn (2) inf sn inf tn

การพิสูจน์เนื่องจาก sn tn , n Mn= l.u.b.{ sn, sn+1, sn+2, … }  l.u.b.{ tn, tn+1, tn+2, … } = Mn และ เป็นลำดับไม่เพิ่มที่ลู่เข้าและจาก ทฤษฎีบท 3.4.4 ดังนั้น sup sn sup tn

mn = g.l.b.{ sn, sn+1, sn+2, … }  g.l.b.{ tn, tn+1, tn+2, … } = mn และ เป็นลำดับไม่ลดที่ลู่เข้าและจากทฤษฎีบท 3.4.4 ดังนั้น inf sn inf tn 

ทฤษฎีบท 3.5.11 ถ้า และ เป็นลำดับ จำนวนจริงและเป็นลำดับ ที่มีขอบเขตแล้ว (1) sup ( sn + tn )  sup sn + sup tn (2) inf ( sn + tn )  inf sn + inf tn

การพิสูจน์ (1) เนื่องจากและ เป็นลำดับ ที่มีขอบเขต ให้ Mn = l.u.b.{ sn, sn+1, sn+2, … } sk Mn ( k  n ) Pn = l.u.b.{ tn, tn+1, tn+2, … } tk Pn ( k  n ) พิจารณาผลบวกของลำดับกับ

จะได้ว่า sk + tk Mn + Pn ( k  n ) ดังนั้น Mn + Pnเป็นขอบเขตบนของ { sn+ tn, sn+1+ tn+1, sn+2+ tn+2, … } โดยทฤษฎีบท 3.4.4 และทฤษฎีบท 3.4.1 l.u.b.{ sn+ tn, sn+1+ tn+1, sn+2+ tn+2, … }  Mn + Pn l.u.b.{ sn+ tn, sn+1+ tn+1, sn+2+ tn+2, … } (Mn + Pn) นั้นคือ sup ( sn + tn )  sup sn + sup tn สำหรับการพิสูจน์ (2) สามารถทำได้ในทำนองเดียวกันกับ (1)  = Mn + Pn

ทฤษฎีบท 3.5.12ให้ เป็นลำดับจำนวนจริงและเป็น ลำดับที่มีขอบเขต ถ้า sup sn = M แล้วสำหรับ  > 0 (1) sn < M + สำหรับทุกค่าของ n ยกเว้นเพียงบางค่า มีเป็นจำนวนจำกัด (2) sn > M – สำหรับ n มีเป็นจำนวนอนันต์

การพิสูจน์ (1) สมมติข้อความ (1) ไม่จริง จะมี > 0ที่ทำให้ sn  M + สำหรับ n มีเป็นจำนวนอนันต์ ดังนั้นแต่ละ n , จะมี sk  { sn, sn+1, sn+2, … } ซึ่ง sk  M +  ทำให้ l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } M +  , n l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … }  ( M +  ) sup sn M + 

ทำให้ M M +  เกิดการขัดแย้ง นั่นคือทุก  > 0 , sn < M + สำหรับทุกค่าของ n ยกเว้นเพียงบางค่า และมีเป็นจำนวนจำกัด

(2) สมมติข้อความ (2) ไม่จริง จะมี > 0ที่ทำให้ sn > M – สำหรับ n บางค่ามีเป็นจำนวนจำกัด ทำให้มีจำนวนเต็มบวก k ซึ่ง sn  M – , n  k ดังนั้น M – เป็นขอบเขตบนของ { sn, sn+1, sn+2, … } , n  k และ l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } M –  sup sn M –  ทำให้ M  M – เกิดการขัดแย้ง นั่นคือทุก > 0 , sn > M – สำหรับค่าของ n มีจำนวนเป็นอนันต์

ทฤษฎีบท 3.5.13ให้ เป็นลำดับจำนวนจริงที่มีขอบเขตถ้า inf sn = m แล้วสำหรับ  > 0 (1) sn > m – สำหรับทุกค่าของ n ยกเว้นเพียงบางค่า มีเป็นจำนวนจำกัด (2) sn < m + สำหรับ n มีเป็นจำนวนอนันต์

การพิสูจน์ (1) สมมติข้อความ (1) ไม่จริง จะมี  > 0ที่ทำให้ sn  m – สำหรับ n มีเป็นจำนวนอนันต์ ดังนั้น สำหรับแต่ละ n, จะมี sk { sn, sn+1, sn+2, … } ซึ่ง sk  m –  ทำให้ g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … }  m –  , n g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … }  ( m –  ) inf sn m –  m  m –  เกิดการขัดแย้งนั่นคือทุก > 0 , sn > m – สำหรับทุกค่าของ n อาจยกเว้น เพียงบางค่ามีเป็นจำนวนจำกัด

(2) สมมติข้อความ (2) ไม่จริง จะมี  > 0ที่ทำให้ sn < m + สำหรับ n บางค่ามีเป็นจำนวนจำกัด ทำให้มีจำนวนเต็มบวก k ซึ่ง sn  m + , n  k ดังนั้น m + เป็นขอบเขตล่างของ { sn, sn+1, sn+2, … } , n  k และ g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … }  m +  inf sn m +  m  m +  เกิดการขัดแย้ง นั่นคือทุก > 0 , sn < m + สำหรับ n มีเป็นจำนวนอนันต์

ทฤษฎีบท 3.5.14 ทฤษฎีบทโบลซาโน–ไวแยร์สตราสส์ สำหรับลำดับ (The Bolzano–Weierstrass Theorem for Sequence) ถ้า เป็นลำดับจำนวนจริงที่มีขอบเขต แล้วจะมีลำดับ ย่อยที่เป็นลำดับลู่เข้า การพิสูจน์เนื่องจาก เป็นลำดับที่มีขอบเขต ให้sup sn = M สร้างลำดับย่อยของลำดับ

โดยทฤษฎีบท 3.5.12 (2) จะได้ว่า sn > M – 1 สำหรับ n มีเป็นจำนวนอนันต์ ให้ n1ที่> M – 1 และ sn > M – สำหรับ n มีเป็นจำนวนอนันต์ ให้ n2โดยที่ n1 < n2และ > M – พจน์ต่อๆไปของสร้างในทำนองเดียวกัน โดยที่พจน์ที่ i ของลำดับย่อยนั้น ni > ni–1และ > M – .....()

ต่อไปจะแสดงว่าลำดับย่อย ลู่เข้า ให้  > 0โดยทฤษฎีบท 3.5.12 (1) จะได้ว่า sn < M + สำหรับทุกค่า n ยกเว้นเพียงบางค่าเป็นจำนวนจำกัด ดังนั้นจะมี kที่ทำให้ sn < M + , n  k เลือก k  ซึ่ง < และ nk > kทำให้ < M +  .....()

สำหรับ i  k จะได้ว่า < และ ni > k จาก () และ () จะได้ว่า M –  < M – < < M +  , i  k | – M | <  , i  k นั่นคือ เป็นลำดับลู่เข้าสู่ M 

ทฤษฎีบท 3.5.15ให้ F เป็นเซตย่อยของเซตจำนวนจริง F เป็นเซตปิด ก็ต่อเมื่อ ถ้าเป็นลำดับจำนวนจริงและเป็นลำดับลู่เข้า ที่ xnF สำหรับทุก nแล้วxnเป็นสมาชิกของ F การพิสูจน์ (  )เนื่องจาก เป็นลำดับลู่เข้าให้ xn= x จะแสดงว่า xF สมมติ xF ดังนั้น xF เนื่องจาก Fเป็นเซตเปิดจะมี  > 0 ซึ่งทำให้ ( x – , x +  )  F

เนื่องจาก x = xnจะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่ง | xn – x | < สำหรับ n k ดังนั้น xnF เกิดการขัดแย้งเพราะ xnF สำหรับทุก n ดังนั้น xF

(  )สมมติ F ไม่ใช่เซตปิดดังนั้น Fไม่ใช่เซตเปิด จึงมี y0F สำหรับแต่ละ nสร้างลำดับ โดย ynF ซึ่ง | yn – y0 | < เป็นลำดับใน F ที่ yn = y0F เกิดการขัดแย้ง ดังนั้น F เป็นเซตปิด

ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)