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Limite. Autores: Sílvia Maria Medeiros Caporale João Paulo Rezende Karine Angélica de Deus Colaboradores: José Antônio Araújo Andrade Marielle Aparecida Silva. A ideia intuitiva de limite. O estudo de funções exige, em diversas situações, certos cuidados.

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Presentation Transcript
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Limite

Autores:

Sílvia Maria Medeiros Caporale

João Paulo Rezende

Karine Angélica de Deus

Colaboradores:

José Antônio Araújo Andrade

Marielle Aparecida Silva

a ideia intuitiva de limite
A ideia intuitiva de limite

O estudo de funções exige, em diversas situações, certos cuidados.

slide3

A função f: R -> R, definida por, f(x) = x², por exemplo, não tem restrições em seu domínio.

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Observamos que quando o lado do quadrado tende a zero (l -> 0) , a área também tende a zero(A -> 0) sendo este o valor limite dessa aproximação.

Podemos reescrever essa informação usando a notação de limite da seguinte forma:

ou

slide8

ou

Lê-se:

Limite de A, quando x tende a zero é zero,

ou

Limite de l² , quando x tende a zero é zero.

slide9

Essa mesma análise pode ser feita com a função f(x) = x², basta fazer os valores de x se aproximarem de zero e observar o que acontece com a função.

A função está definida tanto para valores negativos quanto para valores positivos

slide10

Por isso podemos fazer x se aproximar de zero, por qualquer um dos lados, ou seja, pela esquerda ou pela direita.

x se aproxima de zero pela esquerda

x se aproxima de zero pela direita

ou seja, x assume valores cada vez mais próximos de zero, mas sempre maiores que zero.

ou seja, x assume valores cada vez mais próximos de zero, mas sempre menores que zero

fa amos ent o nossas aproxima es para a fun o f x x
Façamos então, nossas aproximações para a função f(x) = x².

x se aproxima de zero pela esquerda

Quando x tende a zero pela esquerda

f(x) tende a zero

4

- 2

- 1

1

- 0,5

0,25

- 0,25

0,0625

- 0,05

0,0025

fa amos ent o nossas aproxima es para a fun o f x x1
Façamos então, nossas aproximações para a função f(x) = x².

x se aproxima de zero pela direita

Quando x tende a zero pela direita

f(x) tende a zero

4

2

1

1

0,5

0,25

0,25

0,0625

0,05

0,0025

slide13

Observamos que quando x -> 0, y -> 0 , tanto pela direita como pela esquerda, o limite dessa aproximação é zero, assim como acontecia no caso do quadrado.

Podemos reescrever essa informação usando a notação de limite da seguinte forma:

ou

slide14

ou

Lê-se:

Limite de f(x), quando x tende a zero é zero,

ou

Limite de x² , quando x tende a zero é zero.

defini o de limite um ponto de vista informal
Definição de limite –um ponto de vista informal

Dada uma função f, se tomarmos valores de x tão próximos de b quanto quisermos e f(x) se aproximar cada vez mais de um valor L, dizemos que:

Observação:

O fato de

Não implica na função estar definida no ponto b.

ou

exemplo 1
Exemplo 1:

Seja a função

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Não existe um número L que é limite da função f(x), pois essa cresce sem cota quando x se aproxima de 0.

Portanto, trata-se de um limite infinito.

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Anteriormente para a função f(x) = x^2, mostramos que:

Quando x se aproxima de 0 pela direita, observamos que f(x) também se aproximava de 0.

E quando x se aproxima de 0 pela esquerda, observamos que f(x) também se aproximava de 0.

Podemos denotar essas situações

da seguinte forma:

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Como

Dizemos que

é bilateral

defini o limite bilateral
Definição: Limite bilateral

Então, é um limite bilateral

exist ncia de um limite
Existência de um limite

Dizemos que o limite bilateral de uma função em um ponto b existe, se e somente se, os limites laterais existem e são iguais.

vejamos um exemplo
Vejamos um exemplo...

Explique por que não existe

Os limites laterais existem, mas são diferentes.

como calcular o seguinte limite
Como calcular o seguinte limite?

Observe que bastava substituir o valor x=5 na função f(x)=x²-4x+3

Logo, lim p(x) = p(5)

determine o lim 5x 4
Determine o lim 5x = 4

O método utilizado no último exemplo não funciona para funções racionais em que o denominador é nulo.

slide33

sendo

O limite pode ser

pela direita e

pela esquerda ou

vice-versa.