1 2 berechnen von wahrscheinlichkeiten 1 2 1 summen und komplement rregel n.
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1.2. Berechnen von Wahrscheinlichkeiten 1.2.1. Summen- und Komplementärregel

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1.2. Berechnen von Wahrscheinlichkeiten 1.2.1. Summen- und Komplementärregel. 1.2.1. Summen- und Komplementärregel. In einer Urne befinden sich Kugeln mit den Zahlen von 1 bis 20. Es sei E 1 … die gezogene Zahl ist durch 4 teilbar.

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1 2 1 summen und komplement rregel
1.2.1. Summen- und Komplementärregel

In einer Urne befinden sich Kugeln mit den Zahlen von 1 bis 20.

Es sei

E1 … die gezogene Zahl ist durch 4 teilbar

Da jede Kugel (jedes Ergebnis) die Wahrscheinlichkeit von hat, ist

die Wahrscheinlichkeit von .

1 2 1 summen und komplement rregel1
1.2.1. Summen- und Komplementärregel

ELEMENTARE SUMMENREGELBetrachtet man bei einem Zufallsversuch mehrere Ergebnisse und fragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass eines dieser Ergebnisse eintritt, so fasst man diese Ergebnisse zu einem Ereignis zusammen.Hat ein Ereignis E die Ergebnisse a1 bis an, so giltP (E) = P (a1) + P (a2) + … + P (an)

1 2 1 summen und komplement rregel2
1.2.1. Summen- und Komplementärregel

Weiterhin sei

E2 … die gezogene Zahl ist durch 7 teilbar

E1 und E2 haben keine gemeinsamen Elemente. Berechnet man die Wahrscheinlichkeit für (E … die gezogene Zahl ist durch 4 oder 7 teilbar), so gilt

1 2 1 summen und komplement rregel3
1.2.1. Summen- und Komplementärregel

Es sei

E3 … die gezogene Zahl ist durch 6 teilbar

E1 und E3 haben das Ergebnis „12“ gemeinsam. Berechnet man die Wahrscheinlichkeit für (E … die gezogene Zahl ist durch 4 oder 6 teilbar), so gilt

1 2 1 summen und komplement rregel4
1.2.1. Summen- und Komplementärregel

ALLGEMEINE SUMMENREGEL für

1 2 1 summen und komplement rregel5
1.2.1. Summen- und Komplementärregel

Betrachtet man

E4 … die gezogene Zahl ist gerade und

E5 … die gezogene Zahl ist ungerade,

so schließen sich die beiden Ereignisse gegenseitig aus und es gilt .

E4 ist also das Gegenereignis von E5. Deswegen ist P (E4) + P (E5) = 1

1 2 1 summen und komplement rregel6
1.2.1. Summen- und Komplementärregel

KOMPLEMENTÄRREGELWenn und ,dann gilt P (E1) + P (E2) = 1

1 2 2 baumdiagramme1
1.2.2. Baumdiagramme

In einem Behälter befinden sich 5 rote und 2 blaue Kugeln. Nacheinander werden daraus drei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

r

Eine solche Darstellung heißt ein BAUMDIAGRAMM.

b

r

r

r

b

b

r

r

b

b

b

r

1 2 3 abh ngige und unabh ngige zufallsversuche1
1.2.3. Abhängige und unabhängige Zufallsversuche

Zufallsversuche können mehrfach hintereinander durchgeführt werden. Solche Zufallsversuche heißen MEHRSTUFIG. Dabei unterscheidet man UNABHÄNGIGE und ABHÄNGIGE Zufallsversuche.

1 2 3 abh ngige und unabh ngige zufallsversuche2
1.2.3. Abhängige und unabhängige Zufallsversuche

UNABHÄNGIGKEIT

Bei manchen Zufallsexperimenten ist ein Versuchsergebnis unabhängig vom Ergebnis des vorher durchgeführten Experiments. Das Versuchsergebnis wird nicht beeinflusst durch das Ergebnis des vorhergehenden Experimentes.

Beispiele: Werfen eines Würfels, Werfen einer Münze; Drehen eines Glücksrades, Ziehen einer Kugel mit Zurücklegen

1 2 3 abh ngige und unabh ngige zufallsversuche3
1.2.3. Abhängige und unabhängige Zufallsversuche

ABHÄNGIGKEIT

Bei manchen Zufallsexperimenten ist ein Versuchsergebnis abhängig vom Ergebnis des vorher durchgeführten Experiments. Das Versuchsergebnis wird beeinflusst durch das Ergebnis des vorhergehenden Experimentes.

Beispiele: Ziehen eines Loses aus einer Lostrommel, Ziehen einer Kugel ohne Zurücklegen

1 2 4 wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen zufallsversuchen1

r

b

r

r

r

b

b

r

r

b

b

b

r

1.2.4. Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen

Für das Beispiel aus 1.2.2. findet man folgende Wahrscheinlichkeiten:

E1 = {r; r; r}

E2 = {r; r; b}

E3 = {r; b; r}

E4 = {r; b; b}

E5 = {b; r; r}

E6 = {b; r; b}

E7 = {b;b; r}

1 2 5 pfadregeln1
1.2.5. Pfadregeln

Für das Beispiel aus 1.2.2. soll berechnet werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit drei rote Kugeln gezogen werden.

PFADREGEL 1: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades im Baumdiagramm.

Für das Ereignis E1 aus 1.2.2. bedeutet das:

1 2 5 pfadregeln2
1.2.5. Pfadregeln

Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind bei den drei gezogenen Kugeln mindestens zwei rote dabei?

Das trifft auf die Ereignisse E1; E2; E3; und E5 zu.

PFADREGEL 2: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die für dieses Ereignis günstig sind.

1 2 6 bedingte wahrscheinlichkeiten1
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Mehr Abiturientinnen als Abiturienten

52,4 % der 244600 Jugendlichen, die am Ende des vergangenen Schuljahres ihre Schule mit der allgemeinen Hochschulreife verließen, waren Frauen. In den neuen Ländern und Berlin liegt der Frauenanteil mit 59,1 % deutlich höher als im früheren Bundesgebiet (50,8 %).

1 2 6 bedingte wahrscheinlichkeiten2
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Bei diesem Zufallsexperiment werden zwei Merkmale mit jeweils zwei Ausprägungen beobachtet.

1 2 6 bedingte wahrscheinlichkeiten3
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen.

1 2 6 bedingte wahrscheinlichkeiten4
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen.

52,4 % der insgesamt 244600 Abiturientinnen und Abiturienten sind Frauen.

1 2 6 bedingte wahrscheinlichkeiten5
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen.

Demzufolge sind es 116430 Männer. Das entspricht 47,6 %.

1 2 6 bedingte wahrscheinlichkeiten6
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen.

Zu lösen ist die Gleichung

Man erhält mit x = 197458 die Anzahl der Abiturienten aus Westdeutschland.

1 2 6 bedingte wahrscheinlichkeiten7
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen.

Also kommen 47142 Abiturienten aus Ostdeutschland. Das sind 19,3 %.

1 2 6 bedingte wahrscheinlichkeiten8
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen.

Von den 47142 Absolventen aus Ostdeutschland sind 59,1 % Frauen. Es sind also 27861 Frauen und 19281 Männer. Das sind 11,4 % bzw. 7,9 % des Grundwertes.

1 2 6 bedingte wahrscheinlichkeiten9
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen.

Durch Subtraktion lassen sich die fehlenden absoluten Häufigkeiten ermitteln.

1 2 6 bedingte wahrscheinlichkeiten10
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
  • Aus der Vierfeldertafel lassen sich z.B. ablesen:
  • Wahrscheinlichkeit, dass eine Person aus dem Osten kommt:
  • Wahrscheinlichkeit, dass eine Person aus dem Osten kommt und weiblich ist:
1 2 6 bedingte wahrscheinlichkeiten11
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Gesucht sind folgende Wahrscheinlichkeiten:

  • Falls eine Person aus dem Osten kommt: mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es dann eine Frau?
  • Falls eine Person weiblich ist: mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt sie dann aus Ostdeutschland?
1 2 6 bedingte wahrscheinlichkeiten12
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Hier werden die Wahrscheinlichkeiten an Bedingungen geknüpft.

  • Falls eine Person aus dem Osten kommt: mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es dann eine Frau?Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung, dass A eintritt:
  • Falls eine Person weiblich ist: mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt sie dann aus Ostdeutschland?Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung, dass B eintritt:
1 2 6 bedingte wahrscheinlichkeiten13
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Für solche Berechnung kann man den Satz von Bayes verwenden.

SATZ: Satz von BayesSind A und B Ereignisse mit P(A) ≠ 0, dann gilt

1 2 6 bedingte wahrscheinlichkeiten14
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Falls eine Person aus dem Osten kommt: mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es dann eine Frau?(Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung, dass A eintritt: )

1 2 6 bedingte wahrscheinlichkeiten15
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Falls eine Person weiblich ist: mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt sie dann aus Ostdeutschland?(Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung, dass B eintritt: )

1 2 6 bedingte wahrscheinlichkeiten16
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Aufgaben dieser Art lassen sich auch durch zwei Baumdiagramme lösen.

{O;w}

w

{w;O}

O

O

w

{O;m}

m

W

{w;W}

w

{W;w}

{m;O}

O

W

m

m

{W;m}

{m;W}

W

1 2 6 bedingte wahrscheinlichkeiten17
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

{O;w}

w

{w;O}

O

0,591

O

w

{O;m}

0,524

m

W

{w;W}

w

{W;w}

{m;O}

O

0,508

W

m

m

{W;m}

{m;W}

W

1 2 6 bedingte wahrscheinlichkeiten18
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Ereignis und Gegenereignis haben zusammen die Wahrscheinlichkeit 1.

{O;w}

w

{w;O}

O

0,591

O

w

0,409

{O;m}

0,524

m

W

{w;W}

w

{W;w}

{m;O}

O

0,508

0,476

W

m

0,492

m

{W;m}

{m;W}

W

1 2 6 bedingte wahrscheinlichkeiten19
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Analog zur Vierfeldertafel ist P(W) = 0,807.

{O;w}

w

{w;O}

O

0,591

O

w

0,409

{O;m}

0,524

m

W

{w;W}

w

{W;w}

0,807

{m;O}

O

0,508

0,476

W

m

0,492

m

{W;m}

{m;W}

W

1 2 6 bedingte wahrscheinlichkeiten20
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Der Rest wird nach den Pfadregeln berechnet.

{O;w}

w

{w;O}

O

0,591

O

w

0,409

{O;m}

0,524

m

W

{w;W}

w

{W;w}

0,807

{m;O}

O

0,508

0,476

W

m

0,492

m

{W;m}

0,397

0,397

{m;W}

W

1 2 6 bedingte wahrscheinlichkeiten21
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Der Rest wird nach den Pfadregeln berechnet.

0,114

{O;w}

w

0,114

{w;O}

O

0,591

0,218

O

w

0,409

0,782

0,193

0,079

{O;m}

0,524

m

0,410

W

{w;W}

0,410

w

{W;w}

0,079

0,807

{m;O}

O

0,508

0,476

0,166

W

m

0,492

0,834

m

{W;m}

0,397

0,397

{m;W}

W

1 2 6 bedingte wahrscheinlichkeiten22
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten lassen sich direkt ablesen.

0,114

{O;w}

w

0,114

{w;O}

O

0,591

0,218

O

w

0,409

0,782

0,193

0,079

{O;m}

0,524

m

0,410

W

{w;W}

0,410

w

{W;w}

0,079

0,807

{m;O}

O

0,508

0,476

0,166

W

m

0,492

0,834

m

{W;m}

0,397

0,397

{m;W}

W