Programação Linear

1. Programação Linear

2. Problemas de Optimização • São problemas em que se procura a melhor solução (a que dá menor prejuízo, maior lucro, a que é mais eficiente, etc.) • Alguns destes problemas resolvem-se procurando máximos ou mínimos de uma função, outros resolvem-se por outros processos, tais como Método de Programação Linear.

3. Programação Linear • É um ramo da Matemática que estuda formas de resolver problemas de optimização cujas condições podem ser expressas por inequações lineares, isto é, inequações do primeiro grau. • Um problema de programação linear que tenha só duas variáveis pode ser resolvido graficamente, representando as soluções de cada uma das inequações por um semiplano e em seguida procurando o ponto do polígono obtido que corresponde à solução óptima.

5. Passos a seguir na resolução de um problema de Programação Linear: • 1º Passo: Organizar os dados; • 2º Passo: Identificação das variáveis de decisão. As decisões a tomar são representadas por variáveis x, y, …  • 3º Passo: Identificação da função objectivo;   A base de um problema de programação é maximizar ou minimizar uma função: função objectivo, que satisfaz um conjunto de condições (restrições). As restrições lineares definem um polígono convexo, formado por um conjunto de pontos a admissíveis – região admissível;  • 4º Passo: Identificação das restrições. As restrições são representadas por inequações do 1ºgrau; • 5º Passo: Representação gráfica das restrições. O conjunto das restrições define um domínio plano, designado por região admissível; • 6º Passo: Determinação da solução óptima; • 7º Passo: Calcular o valor da função objectivo nos vértices da região admissível e confirmar a solução obtida graficamente.

6. 2 3 4 5 6 7 Problema Uma fábrica de confecções produz dois modelos de camisas de luxo. Uma camisa do modelo A necessita de 1 metro de tecido, 4 horas de trabalho e custa 120€. Uma camisa do modelo B exige 1,5 metros de tecido, 3 horas de trabalho e custa 160€. Sabendo que a fábrica dispõe diariamente de 150 metros de tecido, 360 horas de trabalho e que consegue vender tudo o que fabrica, quantas camisas de cada modelo será preciso fabricar para obter um rendimento máximo?

7. P 1º Passo: Organizar os dados 120 1 4 160 3 1,5 150 360 Uma camisa do modelo B exige 1,5 metros de tecido, 3 horas de trabalho e custa 160€. Sabendo que a fábrica dispõe diariamente de 150 metros de tecido, 360 horas de trabalho Uma camisa do modelo A necessita de 1 metro de tecido, 4 horas de trabalho e custa 120€.

8. P 2º Passo: Identificar as variáveis • x – nº de camisas de modelo A • y – nº de camisas de modelo B

9. P Organizar os dados 120 1 x 4 (4x) (1x) (120x) 160 y (1,5y) 3 (3y) 1,5 (160y) 150 360 • x – nº de camisas de modelo A • y – nº de camisas de modelo B

10. P 3º Passo: Definir Função objectivo • Rendimento Máximo: • Vende-se x camisas do modelo A Ganha-se 120 x • Vende-se y camisas do modelo B Ganha-se 160 y R= 120 x + 160 y Função objectivo

11. P 4º Passo: Escrever as Restrições x - é a quantidade, em metros, de tecido gasto para confeccionar as camisas do modelo A. 1,5y - é a quantidade, em metros, de tecido gasto na confecção das camisas do modelo B. 150 - é a quantidade de tecido, em metros, de que a fábrica dispõe diariamente. 4x é o número de horas necessárias para confeccionar as camisas do modelo A 3y é o número de horas necessárias para fabricar as camisas do modelo B 360 é o número total de horas de trabalho diário. O número de camisas de cada modelo tem de ser não negativo.

12. P 4º Passo: Escrever as Restrições Escrever, sempre que possível, cada uma das restrições em ordem a y

13. P 5º Passo: Definir Região admissível (Região de validez) 120 110 100 • Região de validez é o polígono convexo definido pelas restrições do problema. 90 80 70 60 50 40 30 20 10 20 40 60 80 100 120 140 30 30 60 60

14. P 6º Passo: Resolver o problema analiticamente • Para resolvermos analiticamente temos de aceitar algumas regras: • Se um problema de programação linear tem uma solução, esta está localizada num dos vértices da região admissível. • Se um problema de programação linear tem múltiplas soluções, pelo menos uma delas está localizada num dos vértices da região admissível. • Em qualquer dos casos o valor correspondente da função objectivo é único. D A B C

15. P Resolução analítica • As coordenadas dos quatro vértices são: A(30,80), B(90,0), C(0,0) e D(0,100). • Para cada um dos pares teremos de obter o valor da função objectivo, eliminando o par (0,0). A solução óptima será então x = 30 e y = 80 E o rendimento máximo será de 16400€.

16. P 7º Passo: Resposta Resposta: Será preciso fabricar, por dia, 30 camisas do modelo A e 80 do modelo B para que a fábrica tenha o máximo de rendimento.