Definicja

1. Wartość bezwzględna liczby rzeczywistejopracowała: monika kulczak, kl. I e gimnazjum nr 4 w krośnie

2. Definicja Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej x (inaczej moduł liczby rzeczywistej x) jest oznaczana przez |x| i zdefiniowana w sposób następujący: • wartość bezwzględna z liczby nieujemnej jest równa danej liczbie, • wartość bezwzględna z liczby ujemnej jest równa liczbie do niej przeciwnej. Definicja algebraiczna wyraża się następującym wzorem: x, dla x ≥0 -x, dla x<0 Przykłady: |7|=7, |-3|=3, |0|=0. W sensie geometrycznym wartość bezwzględna jest miarą odległości. I tak |a| oznacza odległość na osi liczbowej punktu o współrzędnej a od punktu 0. Natomiast |a - b| oznacza odległość na osi liczbowej punktów o współrzędnych a i b.

3. Własności Wartość bezwzględna posiada wiele przydatnych własności. Dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y: • |x| ≥ 0 • |x| = |-x | • |x + y| ≤ |x| + |y| • | x - y | ≥ |x| - |y| • ||x| - |y|| ≤ | x + y | • ||x| - |y|| ≤ | x - y | • |x| = 8. |x| = |y| x = y lub x = -y. Ponadto dla a > 0 prawdziwe są związki; • |x| ≤ a -a ≤ x ≤ a • |x| < a -a < x < a • |x| ≥ a x ≤ -a lub x ≥ a • |x| > a x < -a lub x > a .

4. Przykładowe zadania Zadanie 1. Oblicz x, wiedząc, że: |x| = 0,8. Rozwiązanie : |x| = 0,8 x = 0,8 lub x = - 0,8. Zadanie 2. Wiemy, że |a|= |b|. Czy liczby a i b muszą być równe? Rozwiązanie: Z własności wartości bezwzględnej wiemy, że : |a| = |-a| i |b| = |-b|. Stąd jeśli |a| = |b| , to a = b lub a = -b.

5. Zadanie 3. Co powiesz o wartości bezwzględnej x, jeżeli wiesz, że x (-5 ; 5) ? Rozwiązanie: x (-5 ; 5) , czyli -5 < x < 5. Tak więc |x| < 5. Zadanie 4. Co powiesz o wartości bezwzględnej x, jeżeli wiesz, że : x (-∞ ; -7 7 ; +∞) ? Rozwiązanie: x (-∞ ; -7 7 ; +∞), czyli x ≤ -7 lub x ≥ 7. Tak więc możemy zapisać, że: |x| ≥ 7.

6. Zadanie 5. Rozwiąż równanie: |x| - 2x = 4 Rozwiązanie: Rozpatrujemy dwa przypadki: I. Gdy x ≥ 0, to |x| = x. Tak więc nasze równanie ma postać: x – 2x = 4 x = -4 Ponieważ założyliśmy, że x ≥ 0, więc w tym przypadku równanie nie ma rozwiązania. II. Gdy x < 0, to |x| = -x. Tak więc równanie ma postać: -x – 2x = 4 -3x = 4 x = -1 Tu nie ma sprzeczności z założeniem. Ostatecznie rozwiązaniem naszego równania jest tylko liczba -1 .

7. Zadanie 6. Jakie liczby spełniają nierówność: |x - 2| ≤ 3, gdy x jest liczbą: a) całkowitą, b) rzeczywistą. Rozwiązanie: Musimy rozważyć dwa przypadki: I. Gdy x – 2 ≥ 0, czyli x ≥ 2, to |x - 2| = x - 2. Równanie nasze ma więc postać: x – 2 ≤ 3 x ≤ 5 Otrzymujemy, że: 2 ≤ x ≤ 5. II. Gdy x – 2 < 0, czyli x < 2, to |x - 2| = - x + 2. Równanie nasze ma postać: -x + 2 ≤ 3 x ≥ -1 Otrzymujemy, że: -1 ≤ x < 2. Ostatecznie rozwiązanie naszej nierówności to: -1 ≤ x ≤ 5. W odniesieniu do punktów a i b zadania mamy: a) gdy x jest l. całkowitą, to rozwiązaniem są liczby -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5. b) gdy x jest l. rzeczywistą, to x -1 ; 5 .

8. Zadanie 7. Rozwiąż nierówność: |x| + |2 - x| < 4 Rozwiązanie: Rozpatrujemy cztery przypadki: I. |x| = x , dla x ≥ 0 i |2 - x| = 2 – x , dla 2 – x ≥ 0 x ≤ 2 Czyli dla 0 ≤ x ≤ 2 nasza nierówność ma postać: x + 2 – x < 4 2 < 4 Tak więc nierówność jest spełniona dla każdego 0 ≤ x ≤ 2. II. |x| = x , dla x ≥ 0 i |2 - x| = -2 + x , dla 2 – x < 0 x > 2 Czyli dla x > 2 nierówność ma postać: x – 2 + x < 4 2x < 6 x < 3 Tak więc nasza nierówność jest spełniona dla 2 < x < 3.

9. III. |x| = -x , dla x < 0 i |2 - x| = 2 – x , dla 2 – x ≥ 0 x ≤ 2 Czyli dla x < 0 nasza nierówność ma postać: -x + 2 – x < 4 -2x < 2 x > -1 Tak więc nierówność jest spełniona dla każdego -1 < x < 0. IV. |x| = -x , dla x < 0 i |2 - x| = -2 + x , dla 2 – x < 0 x > 2 Otrzymujemy sprzeczność, gdyż nie możliwe jest, aby jednocześnie zachodziły warunki: x < 0 i x > 2. W tym przypadku nierówność nie zachodzi dla żadnego x. W ten sposób otrzymujemy, że nierówność jest spełniona, gdy zachodzi pierwszy lub drugi, lub trzeci przypadek, a więc x (-1 ; 3).

10. Zadanie 8. Dla każdej trójki liczb rzeczywistych a, b, c (różnych od zera) tworzymy liczbę: Oblicz, ile może wynosić taka suma. Rozwiązanie: Zauważmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x mamy: 1, dla x>0 -1, dla x<0 Tak więc suma jest sumą liczb 1 lub -1 w różnych kombinacjach. Łatwo sprawdzamy, że suma ta może być tylko równa 4 lub 0 lub -4.

11. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 1. Podaj zbiór rozwiązań następujących równań i nierówności: a) |x| = 3 b) |x| = -5 c) |x| < 2 d) |x| ≥ 3 e) |x - 1| < 1 Odpowiedzi Zadanie 2. Zapisz podane nierówności w skrócony sposób (używając symbolu wartości bezwzględnej): a) -2 ≤ a ≤ 2 b) 1 < x < 3 Odpowiedzi

12. Zadanie 3. Które z poniższych zdań jest prawdziwe dla dowolnych liczb a, b: a) jeżeli a = b, to │a│=│b│ b) jeżeli │a│=│b│, to a = b c) a ≥ │a│ d) a ≤ │a│ Odpowiedzi Zadanie 4. Wyrażenie m + │m│ zapisz w najprostszej postaci, nie używając symbolu wartości bezwzględnej, gdy: a) m ≥ 0 b) m < 0 Odpowiedzi Zadanie 5. Wyrażenie │x│+ │x + 1│ + │x - 2│ zapisz w najprostrzej postaci, wiedząc, że 1 < x < 2. Odpowiedź

13. Zadanie 6. Rozwiąż następujące równania: a) │x│- x = 2 b) │x│= 0,5x – 1 Odpowiedzi Zadanie 7. Rozwiąż następujące równania. Pamiętaj o rozważeniu wszystkich przypadków. a) │2x + 2│= │x│+ 3 b) │x│- 2 = │x + 2│ Odpowiedzi Zadanie 8. Rozwiąż podane nierówności: a) │2x - 3│< 2 b) │0,5x + 1│> 1,5 c) │x - 1│+ x < 1 d) │x│- │x - 1│> 0 Odpowiedzi

14. Bibliografia • Encyklopedia Matematyka pod red. A. Nawrot Sabiak, Greg, Kraków 2008 • P. Kosowicz, Słownik Matematyka, Greg, Kraków 2006 • A. Ehrenfeucht, O. Stande, Algebra, WSiP, Warszawa 1986 • Z. Krawcewicz, Zadania dla uczniów klas V – VIII uzdolnionych matematycznie, WSiP, Warszawa 1976 • Matematyka z wesołym kangurem (Kadet i Junior), Aksjomat, Toruń 1995