Stabile Hochzeiten, Zuweisungsspiele und beides gleichzeitig

1. Stabile Hochzeiten, Zuweisungsspiele und beides gleichzeitig Oder: Tarifverträge vs. Kapitalismus pur Winfried Hochstättler Hui Jin Robert Nickel

2. Übersicht • Stabile Hochzeiten • Männer machen Angebot – Frauen lehnen ab • Zuweisungsspiele • Die Ungarische Methode • Beides gleichzeitig • Zwei Algorithmen

3. Übersicht • Stabile Hochzeiten • Männer machen Angebot – Frauen lehnen ab • Zuweisungsspiele • Die Ungarische Methode • Beides gleichzeitig • Zwei Algorithmen

4. Stabile Hochzeiten • In einem Dorf sollen n Männer mit n Frauen verheiratet werden • Jeder Mann i bewertet jede Frau j mit einer Zahl aij. • Jede Frau j bewertet jeden Mann i mit einer Zahl bij . • Präferenzlisten • Im Falle einer Heirat von erhält i den Payoff und j den Payoff Männer Frauen Wenn jeder einen Partner gefunden hat, dann findet die Hochzeit statt

5. Stabile Hochzeiten • Eine Hochzeit ist instabil, wenn es ein Paar gibt, so dass i und j lieber miteinander verheiratet wären, als mit ihren momentanen Partnern. • Für das Paar gilt: und • Ein Paar heißt blockierend, wenn gilt und • Eine Hochzeit ohne blockierende Paare ist stabil.

6. Men Propose – Women Dispose • Algorithmus von Gale und Shapley (1962): • Männer freien die beste Frau, die sie noch nicht abgelehnt hat. • Jede Frau sucht sich den besten Freier aus und lehnt die anderen ab. • Wenn jede Frau nur noch einen Antrag hat, wird geheiratet.

7. Übersicht • Stabile Hochzeiten • Männer machen Angebot – Frauen lehnen ab • Zuweisungsspiele • Die Ungarische Methode • Beides gleichzeitig • Zwei Algorithmen

8. Zuweisungsspiele • Wir wollen zwischen n Firmen und n Arbeitern vermitteln. • Aus einer Kooperation zwischen einer Firma und einem Arbeiter entsteht ein Gewinn (Mehrwert) • Suche ein perfektes Matching, das den Gesamtmehrwert maximiert • Spalte den Mehrwert einer Kante auf in • Ähnliche Daten wie in Stabile Hochzeiten Firmen Arbeiter

9. Gewichtetes Bipartites Matching • Im Falle einer Matching-Kante gilt Gleichheit in (D) • u und v sind die Payoffs der Firmen bzw. Arbeiter • Der Mehrwert durch eine Kooperation kann beliebig unter den Partnern aufgeteilt werden. • In einem gegebenen perfekten Matching kann Payoff zwischen u und v hin und her geschoben werden

10. Blockierende Paare und stabile Outcomes • Interpretation von : • i und j verdienen im Moment zusammen weniger als sie es in einer Partnerschaft tun würden (z.B. das Paar ) • Ein solches Paar heißt blockierend • Gibt es keine blockierenden Paare in und ist M ein dazu „passendes“ Matching, dann heißt stabiles Outcome. 4 3 4

11. Die Ungarische Methode • Starte mit leerem Matching und dual zulässigem Payoff: • Digraph G der dichten Kanten bzgl. : Ein Pfad von einer ungematchten Firma zu einem ungematchten Arbeiter heißt augmentierend.

12. Ungarische Methode II • Wenn es keinen augmentierenden Pfad gibt: • Betrachte die Komponente zu einer ungematchten Firma • Setze • Verringere Firmenpayoffs und vergrößere Arbeiterpayoffs in C um  bis neue Kante im dichten Graphen erscheint

13. Etwas Literatur • Gale und Shapley (1962) • Algorithmus für Stabile Hochzeiten (Men Propose – Women Dispose) • Kuhn (1955) • Ungarische Methode für das Bipartite Matching • Shapley und Shubik (1972) • Das Zuweisungsspiel • Existenz von stabilen Outcomes (lineare Programmierung) • Roth und Sotomayor (1991) • Frage nach verallgemeinertem Modell, das die obigen als Spezialfall enthält • Eriksson und Karlander (2000) • Vorstellung eines Modells • Pseudopolynomieller Algorithmus zur Berechnung eines stabilen Outcomes • Sotomayor (2000) • „Nicht-konstruktiver“ Beweis für Existenz von stabilen Outcomes

14. Übersicht • Stabile Hochzeiten • Männer machen Angebot – Frauen lehnen ab • Zuweisungsspiele • Die Ungarische Methode • Beides gleichzeitig • Zwei Algorithmen

15. Das Modell • Firmen und Arbeiter sind entweder • flexibel (Gehalt kann ausgehandelt werden) • oder arbeiten nach Tarif (festes Gehalt) • Der Graph enthält flexible Kanten (beide Partner flexibel)und Tarifkanten (mindestens einer ist tariflich gebunden) • Aufteilung der Produktivität in einerflexiblen Partnerschaft: Tarifpartnerschaft:

16. Stabile Outcomes • Ein Outcome heißt zulässig, wenn • werden aus finanziert • Eine Kante heißt blockierendes Paar in wenn Tarifkante ist mit und oder flexibel ist und • D.h. i und j verbessern sich, wenn sie kooperieren. • Es existiert immer ein Outcome ohne blockierende Paare (stabiles Outcome) – EriksKarl2000,Soto2000

17. Ein Algorithmus • Augmentierungs-Digraph : Matching-Kanten favorite blocking pairs Dichte freie Kanten: Tarifkanten mit • Algorithmus: • Suche Weg von ungematchter Firma zu - ungematchtem Arbeiter - Spieler aus R - Firma mit Payoff 0 • Wenn das nicht geht: - ungarisches Payoff-Update

18. Eigenschaften • Invarianten des Algorithmus: • Gematchte Firmen haben keine blockierenden Partner • ist zulässiges Outcome • Stabiler virtueller Payoff • sinkt monoton • wächst monoton • Komplexität: • wächst monoton • Eine Firma mit Payoff Null ist aus dem Rennen • Jede Tarifkante wird höchstens einmal Matchingkante

19. Ein anderer Algorithmus • Augmentierungs-Digraph : • favorite partners: Kanten, die bzw. maximieren • Abbildung bildet immer eine Firma auf einen ihrer Lieblingspartner ab • Algorithmus: • Arbeiter mit mehreren Tarifangeboten lehnen alle außer dem besten ab • Suche Pfad von mehrfach gemapptem Arbeiter - zu ungemapptem Arbeiter oder - Arbeiter mit Tarifangebot • Wenn das nicht mehr geht: - ungarisches Payoff-Update

20. Eigenschaften • Invarianten des Algorithmus: • Jede Firma macht immer genau ein Angebot • Firmenpayoffs können anhand der -Kanten berechnet werden • sinkt monoton • wächst monoton • Komplexität: • wächst monoton • Jede Tarifkante wird höchstens einmal Matchingkante • Andere Eigenschaften • Benutzt gleichen Graphen wie erster Algorithmus, aber mit anderer Orientierung • Liefert anderen Ansatz für Kardinalitätsmatching

21. Vielen Dank für die Aufmerksamkeit Und noch viel mehr Dank für eventuelle Fragen