Download
1 / 74
740 likes | 925 Views
CHAPTER 11 單一母體推論. 基礎統計學 STATISTICS FOR MANAGEMENT AND ECONOMICS. 目錄. 11.1 導論 11.2 母體標準差未知時的母體平均數推論 11.3 母體變異數的推論 11.4 母體比例推論 11.5 公式彙整. 11.1 導論. 估計和檢定母體平均數，我們都假設母體標準差已知，一般在應用時母體標準差是未知的 現在我們要提出其他的統計技術 首先，我們要識別估計或檢定的參數 然後確認參數的估計式及其抽樣分配 再利用簡單的數學運算求出信賴區間估計式與檢定統計量. 應用 1.
E N D
CHAPTER 11單一母體推論 基礎統計學 STATISTICS FOR MANAGEMENT AND ECONOMICS
目錄 11.1 導論 11.2 母體標準差未知時的母體平均數推論 11.3 母體變異數的推論 11.4 母體比例推論 11.5 公式彙整
11.1 導論 • 估計和檢定母體平均數，我們都假設母體標準差已知，一般在應用時母體標準差是未知的 • 現在我們要提出其他的統計技術 • 首先，我們要識別估計或檢定的參數 • 然後確認參數的估計式及其抽樣分配 • 再利用簡單的數學運算求出信賴區間估計式與檢定統計量
應用1 • 為了分析ATM的潛在數量與設置的問題，一家銀行針對數以千計的ATM使用者，進行問卷調查，並計算每人每年實際使用的次數。此處所關心的問題是探討ATM使用者的母體，因為銀行業者想要確認每位使用者每年的使用次數，所以呈現的資料是計量資料，其估計參數為每人每年使用的平均次數
應用2 • 測量組裝線完成一項組裝工作所花費時間的實驗中，該組裝線工人工作時間的隨機樣本被測量。此實驗中主管人員所關注的問題在於描述“計量資料” 組裝工作時間的母體。主管人員在這樣的狀況下，欲估計或檢定的參數為母體平均數
應用3 • 尼爾森公司 (A. C. Nielsen)，尼爾森專注在描述電視收視觀眾母體的問題。因此所搜集的資料是屬性資料。當然，此處尼爾森所感興趣的參數是觀看不同節目的觀眾比例
11.2 母體標準差未知時的母體平均數推論 • 當母體標準差 為已知時，信賴區間估計式與檢定統計量可以從樣本平均數抽樣分配獲得，並且表示為下列式子：
11.2 母體標準差未知時的母體平均數推論 • 上述的抽樣分配就無法使用，必須以樣本的標準差s來取代母體的標準差 ，這樣的做法稱為t- 統計量 (t-statistic)，是由數學家高斯特 (William S. Gosset) 在1908年提出學生t (Student t) 分配，簡稱t分配，Gosset並將其定義成下列的式子： 當抽樣母體呈常態分配時，學生t分配存在，茲所以稱為學生t分配，是因為高斯特在發表時，使用“學生”的筆名。
為了計算信賴區間估計值與拒絕域的設定，進行假設檢定時，需要先決定臨界值 (critical value)。在附錄t分配的臨界值表已界定了 的數值，該 的數值為其學生t分配右邊面積為A時的數值 11.2 母體標準差未知時的母體平均數推論
例題11.1 UPS及FedEx等快遞公司在服務及價錢上的較勁，減少成本的方法之一即是保持成本低廉的工資以及依照需求來僱用及縮減員工。問題是往往生手不及老手在生產作業上更具經驗，也因此決定員工需求數目及工作排程是一件困難的工作，目前工作所制定的排程，乃依據新進員工可以在1週內達到有經驗員工90% 以上的工作水準。因此某快遞公司的經理進行一項實驗，他在1小時內觀察50位新進員工，並記錄某路線他們所處理完成的包裹數目( 資料存於XM11-01)，結果列示如下。已知有經驗員工一小時平均可以完成500個包裹，試問此經理對於新進員工平均完成的包裹數目大於450個的信念是否正確？
例題11.1 • 統 計方法確認 對立假設應設成： 虛無假設設成： 檢定統計量為：
及 例題11.1 • 筆算 作答 拒絕域為： 我們需要計算樣本平均數 及樣本標準差s，從資料中我們獲得： 因此，
例題11.1 以及， 因此，
虛無假設的 為450。檢定統計量的值為： 因為1.89大於1.676，所以我們拒絕虛無假設。請參照圖11.5：
例題11.1 • 結果解釋 結果顯示有足夠證據推論新進員工完成的包裹平 均數是大於有經驗員工的90% 以上。因此，在此決策下所雇用的員工數應該是有效且能達成滿意的生產力。
11.2.2 估計母體平均數當其母體標準差位知時
例題11.2 過去的十年間，有許多公司致力於增進美國的生產及服務品質。達成生產高品質產品及服務的這些公司會被頒發年度獎勵。有一位投資者相信贏得獎勵的公司比起未獲獎勵的公司表現較佳，為了估計這些贏得獎勵公司的股票投資報酬率，他隨機抽取50家去年獲得品質獎勵的公司，並取得他們的年度投資報酬率( 資料存於XM11-02)，結果列示如下，此投資者想要知道他可以期待報酬率，並以95% 的信賴區間進行估計量的計算
例題11.2 • 統計 方法確認 參數是母體平均數 且其區間估計量為： • 筆算作答 及
例題11.2 因此， 以及 因此，
因為95% 信賴區間估計量為預定的，所以 ，且 。因此，的95% 信賴區間 延續例題11.2 的估計量為： • 結果解釋 我們估計上述的報酬平均數介於12.53% 及17.08% 之間
11.2.3 必要條件的檢查 • 當介紹t分配時，我們指出t統計量是從常態母體中抽取的樣本，假若母體不是極端的非常態，此方法仍然有效 • 但在此時我們建議畫一直方圖來檢測分配
繪出例題11.1及例題11.2的直方圖。兩個直方圖都顯示為近似常態或至少不是極端地非常態繪出例題11.1及例題11.2的直方圖。兩個直方圖都顯示為近似常態或至少不是極端地非常態
11.3 母體變異數的推論 11.3.1 統計量與抽樣分配11.3 母體變異數的推論 11.3.1 統計量與抽樣分配 • 的點估計式就是樣本變異數 ( )， 的點估計式 具有不偏及一致的特性 • 變異數的抽樣分配會因樣本數及 值的不同而改變其型態，然而，不管其樣本數及 值，抽樣分配將會呈現右偏
11.3.1 統計量與抽樣分配 • 數學家已經證明差異平方和 [ 也等於 ] 除以母體變異數稱為卡方分配 (chi-squared distribution)，自由度為 ，統計量為：
11.3.1 統計量與抽樣分配 • 稱為卡方統計量 (X2 -statistic)。X為希臘字母，稱為chi。
11.3.1 統計量與抽樣分配 • 卡方分配 卡方分配為0到 的右偏分配。就像學生t分配，其形狀取決於自由度。圖11.9描繪幾個不同自由度的卡方分配
11.3.1 統計量與抽樣分配 在卡方曲線下，某點以左邊面積等於A的X2值，且被標示為 X2 A。我們不能使用X2 A來代表左方面積A ( 在z及t時可使用 ) 的卡方值，因為卡方統計量永遠大於0。要表示左尾臨界值，須注意如果某一點以左的面積為A，那麼以右的面積必為1-A，這是因為在卡方曲線下( 包括所有隨機分配) 的所有面積必須等於1。因此，代表某一左側面積為A的點
11.3.1 統計量與抽樣分配 圖11.10描繪具 與 的卡方分配。附錄中的 的臨界值，就是表11.5。舉例來說，要尋找自由度為8的卡方分配，以及某點右方的面積為0.05，只要找到表11.6左欄為8的自由度與上列標示 交會的地方即可找到：
若在相同分配中，要找尋出某點以左的面積為0.05，只要找出其右區域為0.95的點你應該可以找到：若在相同分配中，要找尋出某點以左的面積為0.05，只要找出其右區域為0.95的點你應該可以找到：
例題11.3 容器裝填機器被用來包裝不同的液體，包括牛奶、飲料與塗料。理想的狀況下，裝填容量應該只有些微的差距，因為變動性太大會導致容量太少，有欺騙消費者之嫌，而有時容量裝太多，會造成成本的浪費。一家發展新型機器公司的總裁，誇耀該公司的機器可以持續性的填裝1公升 (1,000立方公分) 的容器且控制填裝的變異數少於1立方公分。為了檢驗該說法的真實性，25件1公升裝的樣本被隨機抽出並記錄結果( 資料存檔於XM11-03)，列示如下。為了避免四捨五入的問題，數字以減去1,000的方式表示，在5% 顯著水準下，這些資料是否支持該公司總裁的聲明？
例題11.3 • 統計 方法確認 虛無假設可寫成： 完整的檢定假設列示如下：
例題11.3 檢定統計量： 拒絕域：
例題11.3 • 筆算 作答 因此， 統計量的值為：
