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MATEMÁTICAS A. CS II. TEMA 1 Sistemas de ecuaciones lineales. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN. TEMA 1.7 * 2º BCS. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN. Es similar al método de Gauss. Se emplea en la resolución de sistemas lineales de tantas ecuaciones como incógnitas.

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matem ticas a cs ii

MATEMÁTICAS A. CS II

TEMA 1

Sistemas de ecuaciones lineales

Apuntes 2º Bachillerato C.S.

m todo de gauss jordan

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

TEMA 1.7 * 2º BCS

Apuntes 2º Bachillerato C.S.

m todo de gauss jordan1
MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
  • Es similar al método de Gauss. Se emplea en la resolución de sistemas lineales de tantas ecuaciones como incógnitas.
  • Se emplean las mismas reglas de sistemas equivalentes que en el Método de Gauss.
  • OBJETIVO: Conseguir que los coeficientes de la diagonal principal de un sistema sean unos y el resto de los coeficientes valgan cero.
  • Sea: a.x + b.y + c.z = d
  • a´.x + b’.y + c’.z = d’
  • a”.x + b”.y + c”.z = d”
  • Opero mediante el Método de Gauss, obteniendo:
  • a.x + b.y + c.z = d
  • + e.y + f.z = g
  • h.z = j

Apuntes 2º Bachillerato C.S.

slide4

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

  • Aplico el método de Jordan:
  • Resto a la 2º fila la 3º fila multiplicada por f / h
  • Resto a la 1º fila la 3º fila multiplicada por c / h
  • Queda:
  • a.x + b.y = k
  • + e.y = p
  • h.z = j
  • Resto a la 1º fila la 2º fila multiplicada por b / e
  • Queda:
  • a.x = q  x = q / a
  • e.y = p  y = p / e
  • h.z = j  z = j / h

Apuntes 2º Bachillerato C.S.

aplicaci n de gauss jordan
Aplicación de Gauss-Jordan
  • 1.-Una empresa fabricó tres tipos de estanterías: A, B y C. Para ello se utilizaron unidades de madera, plástico y aluminio, tal como figura en la siguiente tabla:
  • TIPOS MADERA PLÁSTICO ALUMINIO
  • A 1 unidad 1 unidad 2 unidades
  • B 1 unidad 1 unidad 3 unidades
  • C 1 unidad 2 unidades 5 unidades
  • La empresa tenía en existencia 400 unidades de madera, 600 de plástico y 1500 de aluminio. Sabiendo que utilizó todas sus existencias, calcular cuántas estanterías de cada tipo fabricó.

Apuntes 2º Bachillerato C.S.

slide6
RESOLUCIÓN:
  • Llamemos x, y, z al número de estanterías de tipo A, B y C respectivamente.
  • El sistema de ecuaciones quedará así:
  • x + y + z = 400
  • x + y +2z = 600
  • 2x + 3y + 5z = 1500
  • Lo resolvemos utilizando la matriz ampliada, compuesta por los coeficientes y los términos independientes:
  • 1 1 1 400
  • 1 1 2 600
  • 2 3 5 1500

Apuntes 2º Bachillerato C.S.

slide7

Aplicando el método de Gauss:

  • A la tercera fila o ecuación la resto dos veces la primera fila o ecuación.
  • F3 = F3 – 2F1
  • A la segunda fila o ecuación la resto la primera fila o ecuación.
  • F2 = F2 - F1
  • 1 1 1 400
  • 0 0 1 200
  • 0 1 3 700
  • Permutamos las dos últimas filas:
  • 1 1 1 400
  • 0 1 3 700
  • 0 0 1 200
  • Vemos que el sistema ha quedado escalonado.

Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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Aplicando el método de Jordan:

  • A la primera fila o ecuación la resto la tercera fila o ecuación.
  • F1 = F1 – F3
  • A la segunda fila o ecuación la resto tres veces la tercera fila o ecuación.
  • F2 = F2 – 3.F3
  • 1 1 0 200
  • 0 1 0 100
  • 0 0 1 200
  • Por último a la primera fila la resto la segunda.
  • F1 = F1 – F2
  • 1 0 0 100 x = 100
  • 0 1 0 100 y = 100
  • 0 0 1 200 z = 200
  • Vemos que x = 100, y = 100 , z = 200

Apuntes 2º Bachillerato C.S.

aplicaci n de gauss jordan1
Aplicación de Gauss-Jordan
  • 2.- La suma de las tres cifras de un número es 14. La cifra de las centenas y la de las decenas suman la de las unidades. Si invertimos el orden de las cifras el número aumenta en 396 unidades. ¿De qué número se trata?.
  • Resolución:
  • Sea N = zyx el número pedido
  • Sea x = la cifra de las unidades.
  • Sea y = la cifra de las decenas.
  • Sea z = la cifra de las centenas.
  • Tenemos:
  • x+y+z = 14  x + y + z = 14
  • z+y=x  x – y – z = 0
  • xyz=zyx+396  100.x+10.y+z = 100.z + 10.y + x + 396

Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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El sistema de ecuaciones quedará así:
  • x + y + z = 14
  • x – y – z = 0
  • 99.x – 99.z = 396
  • Lo resolvemos utilizando la matriz ampliada, compuesta por los coeficientes y los términos independientes:
  • 1 1 1 14
  • 1 -1 -1 0
  • 99 0 -99 396
  • Aplicando el método de Gauss:
  • F3 = F3 – 99F1 y F2 = F2 - F1
  • 1 1 1 14
  • 0 – 2 – 2 – 14
  • 0 – 99 – 198 – 990

Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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Dividiendo entre - 2 la segunda y entre – 99 la tercera, queda:

  • 1 1 1 14
  • 0 1 1 7
  • 0 1 2 10
  • A la tercera fila o ecuación la resto la segunda fila o ecuación.
  • F3 = F3 – F2
  • 1 1 1 14
  • 0 1 1 7
  • 0 0 1 3
  • Aplicando el método de Jordan:
  • A la primera fila la resto la segunda y a la segunda la resto la primera:
  • 1 0 0 7  x = 7
  • 0 1 0 4  y = 4
  • 0 0 1 3  z = 3
  • Solución: N = 347

Apuntes 2º Bachillerato C.S.