Pure mathematicians do it in theory.

1. 7. Teoría de Residuos Pure mathematicians do it in theory.

2. Puntos singulares Un punto singular z0de una función f (z) es un punto donde f (z) no es analítica. Singularidad no aislada Singularidad aislada aisladas noaislada

3. Parte principal (Recordatorio) Supongamos que z = z0 es una singularidad aislada de f(z) y que su serie de Laurent válida para 0 < |z – z0| < R es: Parte principal Nota: Observa que el desarrollo tiene como centro al punto singular (por eso es válido en 0 < |z – z0| < R).

4. Singularidades aisladas Hay dos tipos de singularidades aisladas: polos de orden m y esenciales. En ambos casos podemos desarrollar la función f(z) en serie de Laurent con centro en la singularidad z0 y la serie convergerá para 0<|z-z0| < R. Si z0 es un polode orden m: La serie de Laurent “se para” en la m-ésimapotencia negativa Si z0 es un singularidad esencial: La serie de Laurent es infinitaen potencias negativas El centro z0 es un punto singular.

5. Clasificación de las singularidades aisladas (i) Si la parte principal es cero, z = z0 se denomina singularidad evitable. (ii) Si la parte principal contiene un número finito de términos, entonces z = z0 se denomina polo. Si el último coeficiente es bm, m  1, entonces decimos que es un polo de orden m. Un polo de orden 1 se llama polo simple. (iii) Si la parte principal contiene infinitos términos, z = z0 se denomina singularidad esencial.

6. La serie de Laurent con centro z0=1 está formada simplemente por los dos términos , válidos para 0 < |z-1| < . z0=1 Es un polo de orden 3. Ejemplos Clasificar la singularidad de la función La serie de Laurent con centro z0= 0 es simplemente el término 1/z , válida para 0 < |z|<  . z0= 0 es un polo simple. Clasificar la singularidad de la función

7. Ejemplos Clasificar la singularidad de la función z0 = 0 es un polo de orden 3. 0<|z|<  Clasificar la singularidad de la función z0 = -i es una singularidad esencial. 0<|z+i|< 

8. Ejemplos z = 0 es una singularidad evitable. z = 0 es un polo simple. z = 1 es un polo de orden 2.

9. El punto z = 0 es una singularidad aislada de f y la serie de Laurent contiene infinitos términos. Viendo el desarrollo, ¿podemos decir que z = 0 es una singularidad esencial? ¿Dónde es válido el desarrollo anterior? Es válido en para 1 < |z| < . Y necesitamos el desarrollo para 0 < |z| < 1: Donde vemos que se trata de un polo simple.

10. Ceros Decimos que z0 es un cero de f(z) si f(z0) = 0. Una función analítica tiene un cero de orden n en z = z0 si: Ejemplo: la función f(z) = z sin z2 tiene un cero de orden 3 en z = 0.

11. Observa que si las funciones f y g son analíticas en z = z0 y f tiene un cero de orden n en z = z0 y g(z0)  0, entonces la función F(z) = g(z)/f(z) tiene un polo de orden n en z = z0. Por ejemplo: El denominador tiene ceros de orden 1 en z = 1 y z = −5, y un cero de orden 4 en z = 2. Puesto que el numerador no se hace cero en ninguno de estos puntos, F(z) tiene un polo simple en z = 1 y z = −5 y un polo de orden 4 en z = 2.

15. Residuos El residuo de una función f(z) en z = z0 es el coeficiente del término 1/(z-z0)en la expansión en serie de Laurent de f(z): el coeficiente b1. Ejemplo: El residuo de f(z) en z = z0 se denota como:

16. C ¿Porqué es importante el residuo? Paraf (z) analítica dentro de un anillo, tenemos: n = 1 Así: Nos permite calcular integrales ...

17. Ejemplo Observemos que por la fórmula integral de Cauchy: Integrarla función en sentido positivo para |z |=2. punto singular z = 1 centro

18. Tomemos como centro z0=1 centro z0=1 punto singular La serie de Laurent posee un sólo término. como antes. Why did the mathematician name his dog "Cauchy?" Because he left a residue at every pole.

19. Ejemplo:Integrar la función en sentido positivo para|z|=3/2. Por la Fórmula Integral de Cauchy: 0

20. Otro ejemplo: Calcular C is positively oriented circle | z – 2| = 1. Integrand is analytic everywhere except z = 2 and z = 0. Find Laurent series of f(z) in the disk 0 < | z – 2 | < 2 Residue of f at the isolated singular point z0

21. ALTERNATIVE METHOD Residue of f at the isolated singular point 2 is the coefficient of 1/(z–2). Solve for A, B, C, D, E by setting coefficients of z, z2, z3, z4 equal to 0. A + E = 0 (A(z– 2) – Az)(z – 2)3 = – 2A(z – 2)3 D – 2A = 0 (– 2A (z – 2) + 2A z)(z – 2)2 = 4A (z – 2)2 4A + C = 0 (– 4A z + 4A (z – 2)) (z – 2) = –8A(z – 2) B – 8A =0 8A z – 8A (z – 2) = 16A = 1 A = 1/16, E = – 1/16

22. Partial Fraction Expansion Review

23. C is positively oriented circle | z – 2| = 1. Integrand is analytic everywhere except z = 2 and z = 0. Find Laurent series of f(z) in the disk 0 < | z – 2 | < 2 Residue of f at the isolated singular point z0 b1 All terms have positive exponents

24. 5. Hallar el residuo de una función compuesta en el punto donde se verifican las siguientes condiciones: Expresamos la segunda condición

26. C Observemos que el residuo nos permite calcular integrales de funciones analíticas f (z) sobre una curva cerrada C cuando f (z) tiene un punto singular dentro de C. donde b1es el residuo dela serie de Laurent que representa a f (z) alrededor de z0en un anillo que contiene a C.

27. Ejemplo: Con C:| z – 2| = 1. La serie de Laurent de f(z) en 0 < | z – 2 | < 2:

28. C ¿De dónde viene el nombre de residuo? para todo n, excepto para n = 1, que vale: De aquí el nombre de “residuo”.

29. ¿Es preciso hallar la serie de Laurent de f(z) para calcular la integral? No, si los puntos singulares z0 son polos. En esos casos hay formas rápidas y simples de hallar el residuo. • Veremos: • Cómo hallar el residuo para un polo simple, z0=1, como en el caso • 2. Cómo hallar el residuo para un polo de orden 2, z0=1, como en el caso • 3. Cómo hallar el residuo para un polo de cualquier orden ...

30. Fórmula para hallar el residuo para un polo simple Sif (z) tiene un polo simple enz0, la serie de Laurent es: Situamos el centro en el punto singular

31. Ejemplo Hallar el residuo deenz=i Comprobémoslo mediante la serie de Laurent:

32. Ejemplo Hallar el residuo en los polos de Comprobarlo a través de la de Laurent:

33. Fórmula para hallar el residuo para un polo de orden 2 Si f (z) tiene un polo de orden 2 en z0, la serie de Laurent es: derivando obtenemos:

34. Ejemplo Hallar el residuo deenz=1 Comprobarlo a través de la serie de Laurent:

35. Ejemplo: f(z) = 1/(z – 1)2(z – 3) tiene un polo simple en z = 3 y un polo de orden 2 en z = 1. Encontrar los residuos:

36. Calcular con C: |z – i|= 2.

37. Evaluar donde el contorno C es el círculo |z|= 2.

38. Fórmula para el residuo para un polo de cualquier orden Sif (z) tiene un polo de orden menz0, la serie de Laurent es: Derivamosm-1 veces. Cuando zz0obtenemos:

39. De otra manera... Un punto singular aislado z0 de una función f es un polo de orden m si y solo si f(z) puede ser escrito en la forma: donde f(z)es analítica y no cero en z0. Entonces: y

40. Demostración: f(z) tiene un polo de orden m en z=z0

41. Si f(z) tiene un polo de orden m en z=z0 entonces tiene una representación en serie de Laurent en la región| z-z0|<R:

46. C Hemos visto que la integral de una función analítica f (z) sobre una curva cerrada Ccuando f (z) tiene un punto singular z0dentro de Ces: donde b1es el residuo def (z) enz0 C El teorema del residuo generaliza este resultado: Seaf (z) una función analítica dentro y sobre un camino cerradoC, excepto para kpuntos singulares dentro deC. Entonces:

47. Evalúa donde(a) El contorno C es el rectángulo definido por x = 0, x = 4, y = −1, y = 1.(b) El contorno C es el círculo |z|= 2. (a) (b)

48. Observa que z = 0 es un polo de orden 3: Ídem con C: |z|= 2.

49. Demostración del teorema del residuo Rodeemos todos los puntos singulares con los círculosC1, C2, Ck. C1 Ck C2 f (z) es analítica en C y aquí dentro excepto en los k puntos singulares. Por el teorema integral de Cauchy para regiones múltiplemente conexas: Las integrales a lo largo de cada uno de esos pequeños círculos son el residuo en cada punto singular dentro del círculo, por tanto:

50. C Ejemplo Integrarla función sobre