Számítógépes algebrai problémák a geodéziában

1. Számítógépes algebrai problémák a geodéziában Készítette: Zaletnyik Piroska

2. Bevezetés • Joseph L. Awange, Erik W. Grafarend: Solving Algebraic Computational Problems in Geodesy and Geoinformatics, Springer, 2004 • Geodéziai, geoinformatikai feladatok → nem lineáris algebrai problémák megoldása • Számítógépes algebrai szoftverek ismerete (Mathematica, Maple, Matlab) • Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása → többnyire egyenletek linearizálása, nem zárt képletek, nem egzakt megoldás

3. Nemlineáris, többváltozós egyenletrendszerek megoldása • n=m → zárt formulával megoldható • Gyakorlatban közelítő numerikus módszerek a megbízható, egzakt eljárások nehézkessége miatt • Linearizálás, iterációk, közelítő kezdeti értékek felvétele • Bizonyos esetekben a numerikus módszer instabil, vagy a kezdeti értékek rossz becslése miatt nem konvergál

4. Hagyományos megoldás hiányoságai • Részleges megoldásban használt linearizálás során az egyenlet gyökeinek megtalálásában vétett kis hiba, a számítások kiterjesztésekor a teljes megoldásra, nagymértékben növekedhet • A nem lineáris hatásokat figyelmen kívül hagyja • Többnyire iteráció szükséges • Nagyon fontos a helyes kezdeti érték felvétel

5. Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása zárt képletekkel • Számítógépek teljesítményének növekedése, algebrai szoftverek • Egzakt eljárások kidolgozása: Gröbner bázisok, Buchberger algoritmus, multipolinomiális rezultáns, Sylvester rezultáns, Macaluay, Strumfels formulák • Alapelv: többváltozós nemlin. egy. rsz.-nél a változók számát egyre lecsökkentik, innen egyszerű gyökkeresés (pl. roots parancs)

6. Túlhatározott egyenletrendszerek • Egzakt megoldások keresése n=m esetében • Ill. egzakt megoldás, amikor n>m • Több mérés, mint ismeretlen (pl. 7 paraméteres koordináta transzformáció) • Megoldás: Gauss-Jacobi kombinatorikus algoritmus

7. Gröbner bázisok eredete • Zárt képletek nemlineáris többváltozós egyenletrendszerek megoldására • W. Gröbner javasolta 1949-ben, tanítványa Buchberger dolgozta ki részletesen 1965-ben (közben tőlük függetlenül 1964-ben Hironaka is alkalmazta ugyanazt) • Buchberger nevezte el Gröbner bázisnak az alkalmazott formulát

8. Gröbner bázisok • Nemlineáris, többváltozós egyenletrsz-ek „legnagyobb közös osztói” • Lineáris egyenletrendszerek Gauss eliminációs megoldásával analóg eljárás

9. Gröbner bázisok f1=0, f2=0

10. Buchberger algoritmus

11. Buchberger algoritmus

12. Buchberger algoritmus

13. Buchberger algoritmus

14. Buchberger algoritmus

15. Sylvester rezultáns • Kétváltozós, homogén polinomok esetében

16. Sylvester rezultáns

17. Gauss-Jacobi kombinatorikus algoritmus • Általában több a mérés, mint az ismeretlenek száma • Lineáris egyenletrendszer esetében alkalmazható a legkisebb négyzeteken alalpuló, lineáris Gauss-Markov modell • Nem lineáris esetben linearizálás szükséges, megfelelő kezdeti értékek felvétele és iteráció

18. Gauss-Jacobi kombinatorikus modell • Nem szükséges linearizálni • Nincs szükség iterációra • Minden paraméter variancia-kovariancia mátrixa számításba vehető • Ki lehet szűrni a durva hibás méréseket • n>m esetben alkalmazható

19. Gauss-Jacobi kombinatorikus modell • Pl. ívmetszés (síkban) kettőnél több mért távolsággal

20. Gauss-Jacobi kombinatorikus • Pl. 3 mért távolság → 2 szükséges az egyértelmű megoldáshoz • Minden 2-es kombináció (jelen esetben 3) kiválasztása, megoldása pl. Gröbner bázisok segítségével • Gauss: megoldás súlyozott számtani közép (súlyok távolságok négyzetétől függenek) • Tőle függetlenül Jacobi is kitalálta a módszert (súlyok: determináns négyzete) • Gauss-Jacobi: megoldandó kérdés maradt a nemlineáris egyenletrendszerek esete

21. Gauss-Jacobi kombinatorikus modell

22. Gauss-Jacobi kombimatorilus modell • Lineáris esetben a megoldás megegyezik a lineáris Gauss-Markov modellel • Ellenkező esetben a variancia-kovariancia mátrix meghatározható nem lineáris hibaterjedési törvények alkalmazásával • Végeredmény a speciális lineáris Gauss-Markov modellel számítható (az egyenletek linearizálására csak a variancia-kovariancia mátrix levezetésekor van szükség)

23. Gauss-Jacobi kombinatorikus megoldás

24. Nem lineáris egyenletrendszerek megoldása

25. GPS helymeghatározás

26. GPS helymeghatározás

27. GPS helymeghatározás

28. GPS helymeghatározás

29. GPS helymeghatározás

30. GPS helymeghatározás

31. GPS helymeghatározás

32. GPS helymeghatározás • Nemlineáris hibaterjedési törvények → variancia-kovariancia mátrix → súlyok számítása a megoldáshoz • A maradék eltérések nagyságrendileg azonosak mind a lineáris Gauss-Markov modell, mind a kombinatorikus Gauss-Jacobi modell esetében • Ha a felhasználó a hagyományos lineáris kiegyenlítést választja, a Gauss-Jacobi megoldás akkor is jól használható a kezdeti értékek jó megválasztásához, a gyors konvergáláshoz

33. Egyéb alkalmazások • Hátrametszés 2 és 3 dimenzióban is • Előmetszés 3 dimenzióban is • GPS meteorológia (pl. refrakciós szögek meghatározása, CHAMP adatok elemzése) • 7 paraméteres koordináta transzformáció • Durva hiba szűrés

34. Összefoglaló • A bemutatott módszerek új eszközei a nemlineáris egyenletrendszerek kezelésének a geodéziában • Egzakt megoldást szolgáltatnak a problémákra. • Nincs szükség linearizálásra (csak a kovariancia mátrix meghatározásához), • se kezdeti érték felvételére, • se iterációkra. • Alkalmazásuk a mai számítógépes algebrai szoftverek használatával nem jelent nehézséget.

35. Köszönöm a figyelmet!