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DERIVADAS

DERIVADAS. Bloque III * Tema 119. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Dada una función f definida en un intervalo [a,b], se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA de la función f en [ a,b ] al cociente: f (b) - f(a) TVM = -----------------

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  1. DERIVADAS Bloque III * Tema 119 Matemáticas Acceso a CFGS

  2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA • Dada una función f definida en un intervalo [a,b], se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA de la función f en [ a,b ] al cociente: • f (b) - f(a) • TVM = ----------------- • b - a • Como se observa en el valor de la TVM no influye el comportamiento de la función a lo largo del intervalo. Pueden existir diversas funciones que tengan la misma TVM en el mismo intervalo. • b – a es la variación o incremento de x, Δx. • f(b) – f(a) es la variación o incremento de f(x), Δf(x) o Δy. • TVM = Δy / Δx = m , pendiente del segmento que une los extremos de la función, o sea (a, f(a)) con (b, f(b)). Matemáticas Acceso a CFGS

  3. y=f(x) • Ejercicio • Sea la función f(x) = x3 – 4x • Hallar la TVM de la función en: • [-4,-2], [0,2] y [-1, 1] • En [-4,-2] • f (- 4) - f(-2) - 48 - 0 • TVM = ----------------- = --------- = 24 • - 4 – (-2) - 2 • En [0, 2] • f (2) – f (0) 0 - 0 • TVM = ----------------- = --------- = 0 • 2 – 0 2 • En [-1, 1] • f (1) – f (-1) - 3 - 3 • TVM = ----------------- = --------- = - 3 • 1 – (-1) 2 -2 -1 0 1 2 x Matemáticas Acceso a CFGS

  4. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA • Tasa de variación INSTANTÁNEA • f (a + h) – f (a) • TVI = lím ------------------------- • h 0 h • En las proximidades de a=0 • (0+h)/2 – 0/2 • TVI [f(x)]= lim ------------------- = ½ • h0 h • (0+h)2/2 – 02/2 • TVI [g(x)]= lim ------------------- = h = 0 • h0 h • √(0+h) – √0 • TVI [g(x)]= lim ----------------- = • h0 h • √h √h √h 1 1 • = lim ----- = lim ------------ =---- = --- = oo • h0 h h0 h. √h √h 0 y 2 h(x) = √x f(x) = x / 2 g(x) = x2/ 8 a=0 4 x Matemáticas Acceso a CFGS

  5. DERIVADA EN UN PUNTO DE UNA FUNCIÓN • Sea la función y = f(x) que se muestra en el gráfico mediante una curva. • Si tomamos los puntos Po y P1 • y los unimos mediante una recta, dicha recta será secante a la función que representa la curva trazada. • La pendiente m de dicha recta será: • Δ y y1 - yo • m1 = ------ = ------------ , • Δ x x1 - xo • es decir el incremento de la ordenada entre el incremento de la abscisa • Imaginemos que el punto P1 se traslada hasta el punto P2. P1 y1 P2 Po yo xo x1 Matemáticas Acceso a CFGS

  6. Tanto la abscisa como la ordenada han cambiado, han disminuido de valor, y la recta secante también ha variado de posición. • La pendiente m de la nueva secante será: • Δ y y2 - yo • m2 = ------ = ------------- , • Δ x x2 - xo • es decir el incremento de la ordenada entre el incremento de la abscisa. • Observar que si el nuevo punto Pn tomado se va acercando más y más al punto Po, tanto el incremente de la ordenada como el de la abscisa tiende a cero. P1 P2 y2 Po yo xo x2 Matemáticas Acceso a CFGS

  7. La recta secante terminará convertida en una RECTA TANGENTE, pues será tangente a la función en el punto estudiado Po = (xo, yo) • La pendiente de esa recta tangente será: • yn - yo 0 • m = lím ------------- = [----] • xxo xn - xo 0 • f(xo+h) – f(xo) 0 • m = lím ------------------- = ---- • h0 h 0 • A ese límite concreto, si existe, es lo que llamamos DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO ( en Po ) • Se denota así: f ’(xo) y1 y2 Po yo xo x2 x1 Matemáticas Acceso a CFGS

  8. Ejemplos • EJEMPLO 1 • Sea la función y = 3 x + 4 • Hallar f ´(1) • f(1+h) – f(1) 3(1+h) + 4 – ( 3.1+ 4) • f ’(1) = lím ----------------- = lím ------------------------------ = • h0 h h0 h • 3 + 3.h + 4 – 3 – 4 3,h • = lím ----------------------------- = lim ------- = 3 • h0 h h0 h • f ’(1) = 3 Matemáticas Acceso a CFGS

  9. Ejemplos • EJEMPLO 2 • Sea la función y = – 2.x + 3 • Hallar f ´(3) • f(3+h) – f(3) – 2 (3+h) + 3 – ( – 2.3+ 3) • f ’(3) = lím ----------------- = lím ------------------------------------- = • h0 h h0 h • – 6 – 2h + 3 + 6 – 3 – 2.h • = lím --------------------------- = lim --------- = – 2 • h0 h h0 h • f ’(3) = – 2 Matemáticas Acceso a CFGS

  10. Ejemplos • EJEMPLO 3 • Sea la función y = - x2 + 4x • Hallar f ’(1) • f(1+h) – f(1) – (1+h)2 + 4.(1+h) – (– 1+ 4) • f ’(1) = lím ----------------- = lím ---------------------------------------- = • h0 h h0 h • – 1– 2.h – h2 + 4 + 4h + 1 – 4 • = lím ----------------------------------------- = • h0 h • 2h - h2 • = lím ---------- = 2 – h = 2 – 0 = 2  f ’(1) = 2 • h0 h Matemáticas Acceso a CFGS

  11. Ejemplos • EJEMPLO 4 • Sea la función y = 3.x2 – 4 • Hallar f ’(2) • f(2+h) – f(2) 3(2+h)2 – 4 – (3.22 – 4) • f ’(2) = lím ----------------- = lím --------------------------------- = • h0 h h0 h • 3.(4 + 4h + h2) – 4 – 12 + 4 • = lím -------------------------------------- = • h0 h • 12h + 3h2 • = lím ------------- = 12 + 3h = 12 + 3.0 = 12  f ’(2) = 12 • h0 h Matemáticas Acceso a CFGS

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