Dane INFORMACYJNE

Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Gimnazjum im.Dr.Maksymiliana Krybusa w Książu Wielkopolskim • ID grupy: 98/80_mf_g1 • Opiekun: Barbara Staszak • Kompetencja: matematyka i fizyka • Temat projektowy: Historia liczb • Semestr/rok szkolny: III /2010/2011

Historia liczby

Narodziny cyfry Dokładną metrykę cyfry trudno ustalić, cyframi posługiwały się narody Azji ( Hindusi, Chińczycy, Babilończycy), narody Ameryki ( Majowie)kraje Afryki (Egipcjanie) i Europejczycy (Grecy, Rzymianie)

Narodziny cyfry • Jednak dla nas najważniejsze są cyfry, z którymi związane są dzieje naszej kultury: babilońskie, rzymskie i hinduskie. • Cyfry znajdujemy w najstarszych dokumentach, ale rzeczywistą datę „urodzenia” cyfry nie znamy. Szacuje się to na okres IV – III tysiąclecia p.n.e.

System Karbowy • Potrzeba liczenia pojawiła się wraz z posiadaniem przedmiotów. Człowiek pierwotny nie odczuwał jej. Jako myśliwy nie mógł posiadać zbyt wiele. Rzeczy należało przenosić, więc jeśli czegoś było za dużo, po prostu pozostawiano to w miejscu obozowania. Duża liczba przedmiotów spowalniała myśliwego, więc malały jego szanse na zdobycie pożywienia, a mógł również przez to sam stać się ofiarą. Jednak pewien prosty system liczenia pojawił się około 30.000 lat p.n.e. Był to system karbowy. Polegał on na żłobieniu w kościach karbów, których ilość oznaczała określoną liczbę. System ten stosowany jest w ograniczonej formie do dnia dzisiejszego, więc można go nazwać najdłużej używanym wynalazkiem człowieka.

Kość z karbami • W 1937 roku dokonano niezwykłego odkrycia. Znaleziono (Karl Absolon) na Morawach kość młodego wilka (była to kość promieniowa). Wilk był młody, ale kość była stara. Liczyła sobie 30 000 lat i były na niej widoczne nacięcia. Najpierw 25 nacięć(grupowanych po pięć), dwa dłuższe nacięcia i jeszcze 30 nacięć.

Kość z karbami • Najwcześniejszy znany przyrząd do rachowania ma 35 000 lat. Jest to kość udowa pawiana, z wyżłobionymi 29 rowkami, znaleziona w Afryce, w górach Lebembo- na terenie Suazi.

Kość z karbami • O wiele bardziej skomplikowanym przykładem jest kościany trzonek znaleziony (J. de Heinzelin) w pobliżu jez. Edwarda. Znalezisko pochodzi sprzed ok. 9 000 lat.

Kość z karbami • Zliczanie za pomocą karbów przetrwało tysiąclecia. • W Europie zachodniej posługiwano się laskami z zapisem długu jeszcze w XIX wieku. Rozszczepiano taką laskę: jedną część otrzymywał dłużnik, a drugą wierzyciel. • W r. 1834 pożar gmachu angielskiego parlamentu spowodowany był paleniem w piecach takimi laskami. Do zliczania służy też: rysy na kamieniach, muszelki, twarde owoce, patyczki, ziarna kakao, gliniane kulki, zęby słonia, węzły i części ciała.

System Karbowy • Początkowo dla wyrażenia jednostek stosowano pojedyncze kreski. • Liczbę 18 zapisywano tak: • \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Jednak zapis ten jest mało czytelny. Aby więc zwiększyć czytelność zapisu liczb co piątą kreskę stawiano pod innym katem od pozostałych. • Teraz liczbę 18 zapisywano tak: • \ \ \ \/ \ \ \ \/ \ \ \ \/ \ \ \

System Karbowy • Ilość kresek (karbów) jest taka sama, ale dzięki zaburzeniom łatwiej jest się zorientować w wartości liczby - są to trzy pełne piątki i trzy jednostki. Człowiek pierwotny, jeśli miał nazwy dla liczb, mógł to przeczytać jako trzy razy po pięć i trzy. Jeśli w liczbie tak zapisanej występowało dużo piątek, to co drugą piątkę zapisywano jeszcze inaczej, mianowicie tak: • \ \ \ \/ \ \ \ X \ \ \ \/ \ \ \

System Rzymski • System karbowy wyewoluował w znany nam dzisiaj system rzymski. Rzymianie, jako ludzie praktyczni, uprościli zapis karbowy odrzucając niepotrzebne kreski po lewej stronie. • W efekcie zapis liczby 18 wyglądał teraz tak: • XVIII • Rzymianie wymyślili dalsze reguły. Reguły te możemy zapisać następująco:

System Rzymski • Liczby zapisujemy jako sumę cyfr o następujących wartościach: • I - jeden • V - pięć • X- dziesięć • L - pięćdziesiąt • C -sto od łacińskiego "centum" • D - pięćset • M - tysiąc od łacińskiego "milum"

System Rzymski • Cyfry wypisujemy od strony lewej do prawej poczynając od największej . Teraz można już zapisywać w zgrabny sposób różne liczby: • 12 - XII • 29 - XXVIIII • 1999 - MDCCCCLXXXXVIIII

System Rzymski • Jeśli przed cyfrą starszą stoi cyfra młodsza, to należy ją odjąć od starszej . Rzymianom nie podobało się, iż muszą zapisywać liczbę 4 jako IIII, liczbę 9 jako VIIII itd. Wprowadzili więc pozorne uproszczenie systemu . Teraz prościej można przedstawiać powyższe liczby: • 4 - IV • 9 - IX • 1999 - MCMXCIX

System Rzymski • Jeśli nad cyfrą umieszczono kreskę, to cyfra ta oznaczała liczbę tysięcy. Reguła ta pozwala zapisywać względnie duże liczby bez konieczności pisania wielu cyfr M. Na przykład liczbę 36.984 rzymski rachmistrz zapisywał następująco: • XXXVICMLXXXIV

System Rzymski • Rzymianie byli naprawdę bardzo dumni ze swojego systemu zapisu liczb. Przetrwał on w ograniczonej formie nawet do dzisiaj przy zapisie dat lub numeracji rozdziałów, klas, sal, pięter, godzin itp. Jednak pomimo tych usprawnień system rzymski był ograniczony. • Jak bowiem zapisać w tym systemie na przykład taką liczbę: • 1233456789023456894587 ?

System Babiloński • Cywilizacja babilońska rozkwitła w Mezopotamii wypierając wcześniejsze cywilizacje Sumerów i Akadyjczyków. Piętno Babilonu odcisnęło się na wielu cywilizacjach świata starożytnego, a jego echo jest obecne nawet w naszej kulturze współczesnej. Babilończycy rozwinęli jako pierwsi system pozycyjny o podstawie 60, do dzisiaj dzielimy godziny na sześćdziesiąt minut, minuty na sześćdziesiąt sekund. Cechą systemu pozycyjnego jest ograniczona ilość cyfr. Te same cyfry są używane wielokrotnie w zapisie liczby. Wartość cyfry zależy od jej pozycji - stąd nazwa system pozycyjny.

[…]

System Babiloński • W systemie babilońskim podstawa wynosi 60, więc cyfry będą mnożone przez kolejne potęgi liczby 60. Aby lepiej to zrozumieć, rozważmy następujący przykład liczby babilońskiej: • Poszczególne cyfry tej liczby to 3, 25 i 57. Pytanie brzmi: jaką liczbę przedstawia ten zapis babiloński. Zgodnie z tym, co powiedzieliśmy o obliczaniu wartości liczby w systemie pozycyjnym, możemy zapisać: • 3 × 602 + 25 × 601 + 57 × 600 = 3 × 3600 + 25 × 60 + 57 × 1 = 10800 + 1500 + 57 = 12357

System Grecki • Grecy rozwinęli w starożytności wspaniałą kulturę, którą podziwiamy do dzisiaj. Uczeni greccy zajmowali się różnymi dziedzinami wiedzy, znacznie ją wzbogacając. Matematycy odkrywali własności liczb i figur. Twierdzenia słynnych uczonych greckich są do dzisiaj prawdziwe i stosowane. • Grecy wymyślili różne systemy liczbowe. Grecy byli jedną z pierwszych kultur, która zastosowała w praktyce system zapisu słów oparty na alfabecie (słowo alfabet pochodzi przecież od greckich liter - alfa i beta). Liczebniki greckie oznaczane były kolejnymi literkami alfabetu.

System Grecki • Liczebniki greckie od 1 do 9

System Grecki • Kolejne liczby tworzone były przez dodawanie odpowiednich liczebników. Na przykład: • Taki system pozwala bezproblemowo zapisywać liczby od 1 do 999.

System Grecki • Z większymi wartościami Grecy poradzili sobie podobnie jak później Rzymianie, stosując cyfry młodsze od 1 do 9 z dodatkowym znakiem "iota", który umieszczano przed liczebnikiem jako indeks górny lub dolny. • Liczebniki greckie od 1000 do 9000 • Teraz możemy już zapisywać liczby od 1 do 9999.

System Grecki • W jaki sposób jednak starożytni Grecy zapisywali liczby większe od 9999? Oparli system zapisu takich liczb na miriadzie, która miała wartość 10.000. Symbolem miriady był znak M, ponad którym umieszczano małymi literkami liczbę od 1 do 9999 oznaczającą konieczność pomnożenia tej liczby przez miriadę, czyli 10000. Oto odpowiednie przykłady:

System Grecki • W ten sposób można już zapisywać dosyć duże liczby. Oczywiście matematycy greccy wykazali wiele pomysłowości i inwencji w tworzeniu różnych systemów zapisu coraz większych liczb (np. system potęg miriad zaproponowany przez Apolloniusza).

System Egipski • Powszechnie znany jest fakt, iż Egipcjanie do zapisu słów stosowali hieroglify, czyli obrazki przedstawiające różne przedmioty, postacie czy zwierzęta. Podobnie było z liczbami. System zapisu liczb opierał się na siedmiu hieroglifach przedstawiających kolejne potęgi liczby 10

System Egipski • Aby zapisać w tym systemie określoną wartość, należało powtórzyć odpowiednią liczbę razy właściwe liczebniki. Sposób żmudny, ale skuteczny. • Zobaczmy dwa przykłady: • liczba 276 i liczba 4622

System Majów • Starożytni Majowie jako pierwsi na Ziemi odkryli dwie fundamentalne dla matematyki idee - system pozycyjny oraz koncepcję zera. Wynalezienie systemu pozycyjnego przypisuje się kulturze hinduskiej, lecz z badań historycznych wynika jasno, iż Majowie znali i stosowali system pozycyjny przynajmniej 300 lat wcześniej niż Hindusi.

System Majów

System Majów • Do zapisu cyfr Majowie używali tylko trzech symboli, podobnie jak Babilończycy . Znak kropki oznaczał jednostkę. Pozioma kreska oznaczała piątkę (tyle mamy palców u ręki). Muszla oznaczała zero. Wartość liczby w tym systemie obliczamy mnożąc cyfry przez kolejne potęgi podstawy, czyli 20, i sumując te iloczyny częściowe.

System Majów • Podstawą systemu liczbowego Majów była liczba 20. Otóż w ciepłym klimacie Ameryki Majowie nie mieli potrzeby noszenia obuwia. Każdy człowiek posiada dwadzieścia palców - dziesięć u rąk i dziesięć u nóg. Prawdopodobnie ta własność naszego ciała wpłynęła na wybór podstawy systemu liczenia.

System Majów Pierwszą czynnością będzie zidentyfikowanie poszczególnych cyfr. Cyfry Majów były zapisywane od góry na dół. Spotyka się również zapis poziomy, ale wtedy cyfry są obrócone o 90 stopni. (2 5 5 ) = 12, (2 5) = 7, (4 5 5 5 ) = 19. Teraz, znając podstawę systemu Majów, możemy przystąpić do obliczeń: 12 × 202 + 7 × 201 + 19 × 200 = 12 × 400 + 7 × 20 + 19 = 4800 + 140 + 19 = 4959

System Majów • Zwróćmy uwagę, iż system Majów nie ma żadnego ograniczenia co do wielkości zapisywanych liczb. Przewyższa on więc systemy rzymski, egipski oraz grecki. • Kultury antyczne, pomimo posiadania wybitnych matematyków, nie odkryły idei systemu pozycyjnego. • Zrobili to Majowie.

System Majów • Kształt cyfr Majów sugeruje, iż stosowali oni do obliczeń prostą wersję liczydła, gdzie kamyczki (kropki) oznaczały jednostki, a patyczki (kreski) piątki. Sumowanie polegało na odpowiednim dodawaniu poszczególnych symboli (kropek - kamyków, kresek - patyczków), a następnie zastępowaniu ich symbolami wyższymi. Gdy ilość jednostek (kamyk) osiągnęła wartość 5, to zastępowano ją kreseczką (patyczek). Jeśli ilość piątek wyniosła 4 (=20), to patyczki zastępowano muszlą, a do następnej pozycji dodawano kamyczek.

System Arabski • Pierre-Simon Laplace (1749-1827), wielki matematyk francuski, napisał kiedyś następujące słowa: • Genialna metoda wyrażania każdej możliwej liczby przy użyciu zbioru dziesięciu symboli (z których każdy posiada wagę pozycji oraz wartość bezwzględną) powstała w Indiach. Dzisiaj pomysł ten wydaje się tak prostym, iż jego znaczenie i istota nie są już doceniane. Prostota tego pomysłu leży w sposobie, w jaki ułatwia on wykonywanie obliczeń, co umieściło arytmetykę na czele użytecznych wynalazków, a znaczenie tego wynalazku może być bardziej docenione, gdy zdamy sobie sprawę, iż dokonał on się poza dwoma największymi umysłami starożytności, Archimedesem i Apoloniuszem.

Indie – kolebka wspóŁczesnej numeracji W północnych Indiach, około V wieku narodził się system, który był przodkiem naszego. Narody europejskie poznały je dzięki Arabom. Hindusi prawdopodobnie wprowadzili początkowo tylko cyfry od 1 do 9, które miały nazwy: eka, dvi, tri, katur, pańca, sat, sapta, asta, nava.

Indie – kolebka wspóŁczesnej numeracji Hindusi odkryli także system pozycyjny. Reguła pozycyjna dotyczyła słów (które wymawiano odwrotnie niż teraz). Zaczęło się od nazwania pustego miejsca w zapisie liczby, sunya (pusty), np. liczba 301 była czytana tak: eka, sunya, tri (jeden, pusto, trzy). Wskazuje to, że początkowo pozostawiano w liczbie miejsce puste, co stawało się źródłem przeoczeń i pomyłek. Później wpadli na pomysł zapełnienia wolnego miejsca kółeczkiem. Tak tłumaczy to Al-Chwarizmi: „Postaw kółeczko, żeby miejsce nie było puste”. Arabowie przełożyli sanskryckie „sunya” – puste na „as-sifir”, co tłumaczone na łacinę oddali podobne dźwiękowo „zephytum”, z którego wyłoniło się „zero”.

Indie – kolebka wspóŁczesnej numeracji „As-sifir” jest rodzicem jeszcze jednego naszego wyrazu. Niektórzy tłumacze z arabskiego nadali mu brzmienie „cifra” i wyjaśnili: „0” nazywa się cifra, jest to znak nicości (figure nihili). W tym znaczeniu było ono używane w wielu krajach do XVI wieku. Pod koniec wieków średnich znaczenie wyrazu „cyfra” uległo zmianie: tak zaczęto nazywać wszystkie arabskie znaki liczbowe.

Arabowie i hinduski system liczenia Cyfry, którymi obecnie się posługujemy, pochodzą od Hindusów, ale narody europejskie poznały je dzięki Arabom. Gdy numeracja pozycyjna i metody rachunkowe rodem z Indii dotarły do Arabów, pisano z początku dziewięć indyjskich cyfr. Zero było podobne do litery O, za Al-Chwarizmi, który nawiązywał do arabskiej litery ha, pisanej w postaci kółka. W imperium kalifów z biegiem stuleci cyfry indyjskie stały się znanymi nam cyframi "arabskimi".

Arabowie i hinduski system liczenia Jak system hinduski rozprzestrzenił się po Europie? Otóż to Arabowie przenieśli "ogień" matematyki przez tysiąc lat jej nieobecności w Europie (I-XI wiek). Arabowie od ucieczki Mahometa z Mekki do Medyny (622 rok) zaatakowali cały świat. Podbili południowe wybrzeże Morza Śródziemnego, Sycylię, Sardynię, Hiszpanię, Półwysep Arabski, Persję. W Europie zatrzymali się dopiero pod Poitiers (732 rok).

Arabowie i hinduski system liczenia Jedynie zero ciągle snuło wątpliwości. „Awans” zera, uznanie go za liczbę, dokonywał się powoli. Znaczną rolę odegrały tu dążenia do ukształtowania rachunków liczbowych w sposób możliwie przejrzysty – było to konieczne wobec wzmagającego się ruchu handlowego – i skłoniło np. do mnożenia przez 0.

Arabowie i hinduski system Rysunek pokazuje jakim przeobrażeniom ulegały cyfry, które dziś każdy z nas zna.

Arabowie i hinduski system Tak rozpoczęło się rozpowszechnianie nowej numeracji, a poprzez system pozycyjny ułatwiała ona obliczenia, tym bardziej spodobała się ona matematykom. Może nie nastąpiło by to tak szybko gdyby nie wielkie dzieła Al-Chwarizmiego, a w tym praca o liczbach indyjskich dotycząca sposobów wykonywania działań pisemnych w systemie dziesiątkowym, w tłumaczeniu na łacinę miało tytuł ”Algorithmi de numero Indorum”.

Liczydła sznurowe – peruwiańskie quipu quipo (a. quipu) [wym. kipo, kipu], kipu, urządzenie składające się z głównego sznura, z przywiązanymi do niego mniejszymi różnokolorowymi sznurkami (wiązanymi w supełki), używane przez dawnych Peruwiańczyków do rachunków i rejestrowania ważniejszych wydarzeń.

abak • Abakus lub abak (łac. abacus, gr. ábaks) – deska z wyżłobionymi rowkami, które symbolizowały kolejne potęgi dziesięciu. Ułatwiało liczenie, używane w Rzymie i Grecji od 440 p.n.e. do XVIII wieku - prekursor liczydła i maszyn liczących . Był używany także w innych krajach Europy . Obliczeń dokonywano poprzez wkładanie i przekładanie kamyków w rowkach. Zasada liczenia była taka sama jak na liczydle. Jedną z odmian abaku, stanowiącą poważne udoskonalenie, przypisywali Rzymianie pitagorejczykom i nazwali mensa pythagoreana. Chińczycy używali liczydła zwanego suanpan . Jest ono wytworem własnym pomysłowości chińskiej. Odmiana japońska nosi nazwę soroban .

Abak

Dane INFORMACYJNE