Pendahuluan
Download
1 / 79

Pendahuluan - PowerPoint PPT Presentation


  • 193 Views
  • Uploaded on

Pendahuluan. http://www.speakeasy.org/~sdupree/astrophysics/supernova.gif. Apakah astrofisika itu ?. Penerapan ilmu fisika pada alam semesta/benda-benda langit. Informasi yang diterima. Cahaya (gelombang elektromagnet).

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Pendahuluan' - kaseem-rios


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Pendahuluan

Pendahuluan

http://www.speakeasy.org/~sdupree/astrophysics/supernova.gif


Apakah astrofisika itu
Apakah astrofisika itu ?

  • Penerapan ilmu fisika pada alam semesta/benda-benda langit

Informasi yang diterima

Cahaya (gelombang elektromagnet)

Pancaran gelombang elektromagnet dapat dibagi dalam beberapa jenis, bergantung pada panjang gelombangnya ()

  • Pancaran gelombang radio, dengan antara beberapa milimeter sampai 20 meter

  • Pancaran gelombang inframerah, dengan  ≈ 7500 Å hingga sekitar 1 mm (1 Å = 1 Angstrom = 10-8 cm)


Pendahuluan

Panjang gelombang optik terbagi dlm beraneka warna:

  • merah  : 6 300 – 7 500 Å

  • merah oranye  : 6 000 – 6 300 Å

  • oranye  : 5 900 – 6 000 Å

  • kuning  : 5 700 – 5 900 Å

  • kuning hijau  : 5 500 – 5 700 Å

  • hijau  : 5 100 – 5 500 Å

  • hijau biru  : 4 800 – 5 100 Å

  • biru : 4 500 – 4 800 Å

  • biru ungu  : 4 200 – 4 500 Å

  • ungu  : 3 800 – 4 200 Å


Pendahuluan

Pancaran gelombang elektromagnet mulai dari sinar Gamma sampai dengan pancaran radio

http://www.astro.uiuc.edu/~kaler/sow/spectra.html


Pendahuluan

Radio

Gel.Mikro

Infra-merah

UV

Sinar-X

Sinar Gamma

Kasat Mata

Ketinggian

Permukaan Laut

teleskop optik

Jendela Optik

balon, satelit

teleskop radio

satelit

balon, satelit

Jendela Radio

ozon (O3)

molekul ,atom, inti atom

molekul (H2O, CO2)

Pancaran gelombang yang dapat menembus atmosfer Bumi adalah panjang gelombang kasatmata dan panjang gelombang radio

http://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.html


Pendahuluan

Dengan mengamati pancaran gelombang elektromagnet kita dapat mempelajari beberapa hal yaitu,

  • Arah pancaran. Dari pengamatan kita dapat menga-mati letak dan gerak benda yang memancarkannya

  • Kuantitas pancaran. Kita bisa mengukur kuat atau ke-cerahan pancaran

  • Kualitas pancaran. Dalam hal ini kita bisa mempe-lajari warna, spektrum maupun polarisasinya


Pendahuluan

Gerak Dua Benda mempelajari beberapa hal yaitu,


Pendahuluan

Bulan bergerak mengedari bumi mempelajari beberapa hal yaitu,

Buah durian jatuh ke bumi

Apakah ada kesamaan

Antara bumi dan bulan terjadi gaya tarik gravitasi

Antara durian dan bumi terjadi gaya tarik gravitasi

ada !

Hukum Gravitasi Newton

Sebagai hukum yang mengatur gerak dalam alam semesta

?


Pendahuluan

G mempelajari beberapa hal yaitu,m1m2

F =

d2

Hukum Gravitasi Newton

Menurut Newton,

Antara dua benda yang massanya masing-masing m1 dan m2 dan jarak antara keduanya adalah d akan terjadi gaya tarik gravitasi yang besarnya,

Sir Isaac Newton

(1643 – 1727)

. . . . . . . . . (1-1)

bersifat tarik menarik

m1

m2

gaya

F

F

G = tetapan gravitasi

= 6,67 x 10-8 dyne cm2/g2

d


Menentukan massa bumi
Menentukan massa Bumi mempelajari beberapa hal yaitu,

G m1m2

F =

d2

G Mm

F =

R2

Semua benda yang dijatuhkan dekat permukaan Bumi akan bergerak dengan percepatan g = 980,6 cm/s2

Jadi pada benda akan bekerja gaya sebesar,

F = mg

. . . . . . . . . . . . . . . . . (1-2)

percepatan

massa benda

gaya gravitasi

Dari persamaan (1-1) :

massa Bumi

. . . . . . . (1-3)

radius Bumi


Pendahuluan

G mempelajari beberapa hal yaitu,M

G Mm

g =

F =

R2

R2

R

4 

V =

R3

3

4 

Volume bumi =

(a2b)

3

Dari pers. (1-2) :

F = mg

. . . (1-4)

dan pers. (1-3) :

b

Radius bumi di ekuator : a = 6378,2 km

a

Radius bumi di kutub : b = 6356,8 km

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1-5)

Jika bumi berbentuk bundar sempurna maka volume Bumi adalah,

. . . . . . . . . (1-6)


Pendahuluan

G mempelajari beberapa hal yaitu,M

4 

g =

V =

(a2b)

R2

3

4 

V =

R3

3

(980,6)(6,37 x 108)2

= 5,98 x 1027 gr

=

(6,67 x 10-8)

g R2

M =

G

Dari pers. (1-5) :

R= (a2b)1/3

Dari pers. (1-6) :

Radius bumi rata –rata :

R = [(6378,2 )2 (6356,8)]1/3

= 6371,1 km = 6,37 x 108 cm

Masukan harga g, G dan Rke pers (1-4) :

diperoleh,


Pendahuluan

4 mempelajari beberapa hal yaitu,

(6,37 x 108)3

V =

= 1,08 x 1027 cm3

3

M

5,98 x 1027

 =

=

= 5,52 gr/cm3

V

1,08 x 1027

4 

V =

R3

3

Dari pers. (1-6) :

diperoleh volume Bumi,

dan massa jenis bumi rata-rata adalah,


Gerak bulan mengedari bumi
Gerak Bulan Mengedari Bumi mempelajari beberapa hal yaitu,

G M

a =

d2

Mengikuti hukum Newton

Bulan

Bumi

KarenaM 1/100 M,maka massa bulan dapat diabaikan. Percepatan bulan terhadap bumi adalah,

d

. . . . . . . . . . . . . (1-7)

a

v

jarak Bumi - Bulan


Pendahuluan

v mempelajari beberapa hal yaitu,2

G M

=

d

d2

G M

a =

d2

2d

v =

P

Andaikan orbit Bulan berupa lingkaran dengan radius d, dan dengan kecepatan melingkar v yang tetap, maka percepatan sentripetal Bulan adalah,

a = v2/d

. . . . . . . . . . . . . . . (1-8)

Subtitusikan pers. (1-8), ke pers. (1-7) :

diperoleh,

. . . . . . . . . . . . . . . (1-9)

Apabila periode orbit Bulan mengelilingi bumi adalah P maka,

. . . . . . . . . . . . . . . (1-10)


Pendahuluan

v mempelajari beberapa hal yaitu,2

G M

=

d

d2

G M

d3

=

P2

42

2d

v =

P

Selanjutnya subtitusikan pers.(1-9) :

ke pers. (1-10) :

. . . . . . . . . . . . . (1-11)

diperoleh,

Dari pengamatan diketahui bahwa periode Bulan mengelilingi Bumi adalah,

P = 27,3 hari = 2,36 x 106 detik

Jarak Bum1-Bulan adalah,

d = 384 000 km = 3,84 x 1010 cm


Pendahuluan

Apabila periode bulan dan jarak bumi bulan dimasukan ke pers. (1-11), maka akan diperoleh massa Bumi yaitu,

M 6,02 x 1027 gr

Hasil ini sama dengan yang ditentukan berdasarkan benda yang jatuh dipermukaan Bumi, yaitu

M 5,98 x 1027 gr

Kesimpulan :

Buah durian jatuh ke bumi

Bulan bergerak mengedari bumi

Disebabkan oleh gaya yang sama yaitu gaya gravitasi


Percepatan bulan terhadap bumi
Percepatan Bulan terhadap Bumi pers. (1-11), maka akan diperoleh massa Bumi yaitu,

G M

(6,67 x 10-8)(5,97 x 1027)

a =

=

= 0,27 cm/s2

d2

(3,84 x 1010)

Dari pers (1-7) dapat ditentukan percepatan Bulan terhadap Bumi akibat gaya gravitasi yaitu,

jarak Bumi – Bulan = 3,84 x 1010 cm


Gaya gravitasi di permukaan bulan
Gaya gravitasi di permukaan Bulan pers. (1-11), maka akan diperoleh massa Bumi yaitu,

G M

g=

R2

(6,67 x 10-8)( 0,0123 x 5,98 x 1027)

= 165,72 cm/s2

g=

(0,27 x 6,37 x 108)2

Massa bulan = 0,0123 kali massa Bumi

Diameter Bulan = 0,27 kali diameter Bumi

Dengan menggunakan persamaan (1-4) untuk Bulan, maka gaya gravitasi dipermukaan Bulan dapat ditentukan yaitu,

massa bulan

radius bulan

= 0,17 kali gaya gravitasi dipermukaan Bumi


Gaya gravitasi di permukaan beberapa benda langit
Gaya gravitasi di permukaan beberapa benda langit pers. (1-11), maka akan diperoleh massa Bumi yaitu,


Berat benda di permukaan bumi
Berat benda di permukaan Bumi pers. (1-11), maka akan diperoleh massa Bumi yaitu,

G Mm

W =

R2

Berat benda di permukaan bumi dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan berikut,

massa benda

berat benda (gaya gravitasi yang dirasakan oleh benda) weight

Contoh :

Berat sebuah benda di permukaan Bumi adalah 100 N, berapakah berat benda tersebut pada ketinggian 25 000 km di atas permukaan bumi ?


Jawab
Jawab : pers. (1-11), maka akan diperoleh massa Bumi yaitu,

G Mm

W2 =

(R+ 2,5 x 109)2

G Mm

W1 =

R2

Misalkan berat benda di permukaan bumi adalah W1 = 100 N, maka

. . . . . . . . . . . . . . . . ()

Apabila W2 adalah berat benda pada ketinggian 25 000 km (= 2,5 x 109 cm) di atas permukaan bumi, maka

. . . . . . . . . . . . ()


Pendahuluan

W pers. (1-11), maka akan diperoleh massa Bumi yaitu, 1R2

W2 =

(R + 2,5 x 109)2

(100)(6,37 x 108) 2

W2 =

 4 N

(6,37 x 108 + 2,5 x 109)2

Dari pers () dan () diperoleh,

. . . . . . . . . . . . . . ()

Jika harga R= 6,37 x 108cm, dan harga W1 = 100 N dimasukan ke pers () maka akan diperoleh,


Hukum kuadrat kebalikan
Hukum Kuadrat Kebalikan pers. (1-11), maka akan diperoleh massa Bumi yaitu,

G mM

F = 

d2

G M

g1 =

d12

2

d1

g2 =

g1

G M

d2

g2 =

d22

G M

g =

d2

Untuk menentukan besarnya gravitasi di suatu tempat dapat kita gunakan hukum kuadrat kebalikan

Dari pers. (1-1) :

Dari pers. (1-2) :

F = - mg

Untuk g1 :

. . . . . . . (1-12)

Untuk g2 :


Pendahuluan

2 pers. (1-11), maka akan diperoleh massa Bumi yaitu,

d1

g2 = g1

d2

Contoh :

  • Percepatan gravitasi dipermukaan bumi (di permuka-an laut) adalah 980 cm/s2. Tentukanlah percepatan di ketinggian 25 000 km di atas permukaan Bumi.

Jawab :

Misalkan g2 adalah gravitasi pada ketinggian 25 000 km, maka

g1 = gravitasi dipermukaan bumi = 980 cm/s2

d1 = radius bumi= R = 6,37 x 108 cm

d2 = R + 25 000 km = 3,14 x 109 cm


Pendahuluan

2 pers. (1-11), maka akan diperoleh massa Bumi yaitu,

2

d1

6,37 x 108

g2 = g1

= (980)

= 40,41 cm/s2

d2

3,14 x 109

Jadi,

  • Pesawat ruang angkasa Galileo berada pada jarak 100 000 km dari pusat planet Jupiter, sedangkan pesawat pengorbitnya berada pada ketinggian 300 000 km. Tentukanlah besarnya percepatan gravitasi pesawat ruang angkasa Galileo dinyatakan dalam percepatan gravitasi pengorbitnya.


Pendahuluan

2 pers. (1-11), maka akan diperoleh massa Bumi yaitu,

2

d2

300 000

g1 = g2

= g2

= 9 g2

d1

100 000

Jawab :

Misalkan :

g1 = percepatan gravitasi pesawat ruang angkasa Galileo

d1 = ketinggian pesawat ruang angkasa Galileo = 100 000 km

g2 = percepatan gravitasi pesawat pengorbit

d2 = ketinggian pesawat pengorbit = 300 000 km

maka


Satuan gaya
Satuan Gaya pers. (1-11), maka akan diperoleh massa Bumi yaitu,

Dari pers. (1-2) :

F = mg

Jika massa (m) dinyatakan dalam kg dan percepatan (g) dinyatakan dalam m/s2, maka gaya (F) dinyatakan dalam,

F = (kg)(m/s2) = kg m/s2 = Newton (N)

Jika massa (m) dinyatakan dalam gr dan percepatan (g) dinyatakan dalam cm/s2, maka gaya (F) dinyatakan dalam,

F = (gr)(cm/s2) = gr cm/s2 = dyne

1 Newton = 105 dyne


Pendahuluan

Contoh : pers. (1-11), maka akan diperoleh massa Bumi yaitu,

Massa sebuah benda adalah 75 kg, berapakah gaya yang dirasakan oleh benda tersebut (berat benda) di permukaan Bumi, Bulan dan Planet Jupiter ?

F = mg

Jawab :

g di Bumi = 9,8 m/s2

g di Bulan = 0,17 x g di Bumi = 0,17 x 9,8 = 1,67 m/s2

g di Jupiter = 2,54 x g di Bumi = 2,54 x 9,8 = 24,89 m/s2

Jadi :

F di Bumi = (75)(9,8) = 735 kg m/s2 = 735 N

F di Bulan = (75)(1,67) = 125,25 kg m/s2 = 125,25 N

F di Jupiter = (75)(24,89) = 1 866,75 kg m/s2 = 1 866,75 N


Hukum gerak dua benda
Hukum Gerak Dua Benda pers. (1-11), maka akan diperoleh massa Bumi yaitu,

z

m1m2

d2r

m1 =  G

r2

dt2

y

x

Tinjau dua benda dengan massa benda kesatu adalah m1 dan massa benda kedua adalah m2.

Koordinat kartesius kedua benda masing-masing adalah (x1,y1,z1) dan (x2,y2,z2) dan jarak kedua benda adalah r

Berdasarkan Hukum Newton, pada benda ke-1 akan bekerja gaya :

m1(x1, y1, z1)

r

m2(x2, y2, z2)

. . (1-13)


Pendahuluan

x pers. (1-11), maka akan diperoleh massa Bumi yaitu, 1 x2

d2x1

m1 =  Gm1m2

r3

dt2

y1 y2

d2y1

m1 =  Gm1m2

r3

dt2

z1 z2

d2z1

m1 =  Gm1m2

r3

dt2

Gaya ini dapat diuraikan dalam komponen arah sumbu x, y, dan z, yaitu :

. . . . . (1-14a)

. . . . . (1-14b)

. . . . . (1-14c)


Pendahuluan

x pers. (1-11), maka akan diperoleh massa Bumi yaitu, 2 x1

d2x2

m2 =  Gm1m2

r3

dt2

y2 y1

d2y3

m2 =  Gm1m2

r3

dt2

z2 z1

d2z2

m2 =  Gm1m2

r3

dt2

m1m2

d2r

m2 =  G

r2

dt2

Hal yang sama juga berlaku untuk benda kedua, yaitu dengan menguraikan gaya :

. . . . . . . . . . (1-15)

dalam arah x, y, z, diperoleh :

. . . . . . (1-16a)

. . . . . . (1-16b)

. . . . . . (1-16c)


Pendahuluan

Keenam persamaan diferensial tersebut merupakan persamaan gerak benda.

  • Jika keenam persamaan diferensial tersebut dapat dipecahkan, koordinat kedua benda (x1,y1,z1) dan (x2,y2,z2) sebagai fungsi waktu t dapat ditentukan.

  • kedudukan benda setiap saat dapat ditentukan.

Keenam persamaan gerak benda di atas adalah persamaan diferensial orde ke-2,

  • terdapat 12 tetapan integrasi.


Pendahuluan

Ke-12 tetapan integrasi tersebut, dapat ditentukan dari dari keadaan awal kedua benda tersebut yaitu,

  • 6 koordinat kedudukan awal (3 koordinat x, y, z untuk masing-masing benda yaitu x1, y1, z1 dan x2, y2, z2)

  • 6 komponen kecepatan awal (3 komponen untuk masing-masing benda, yaitu x1, y1, z1 dan x2, y2, z2).


Pendahuluan

Persoalan ini dapat disederhanakan dengan meng-anggap benda pertama diam dan dianggap sebagai pusat koordinat

  • Jadi sekarang hanya diperlukan enam tetapan, yaitu

  • tiga koordinat kedudukan awal

  • tiga komponen kecepatan awal benda yang bergerak

Sekarang dapat dituliskan :

x = x2 – x1

. . . . . . . . . (1-17a)

z

y = y2 – y1

. . . . . . . . . (1-17b)

m2(x, y, z)

z = z2 – z1

. . . . . . . . . (1-17c)

m1

y

dan definisikan,

x

M= m1 + m2

. . . . . . . . . (1-18)


Pendahuluan

x pertama diam dan dianggap sebagai pusat koordinat

d2x

=  GM

r3

dt2

y

d2y

z

d2z

=  GM

=  GM

r3

dt2

r3

dt2

Dengan menggunakan definisi (1-17) dan (1-18) pada pers. (1-14a) dan (1-16a), diperoleh

. . . . . . . . . . (1-19a)

Dengan cara yang sama diperoleh komponen pada arah y dan z, yaitu

. . . . . . . . . . (1-19b)

. . . . . . . . . . (1-19c)


Pendahuluan

x pertama diam dan dianggap sebagai pusat koordinat

y

d2y

d2x

=  GM

=  GM

r3

r3

dt2

dt2

xy

d2x

y =  GM

r3

dt2

xy

d2y

x =  GM

r3

dt2

d2y

d2x

x  y = 0

dt2

dt2

Selanjutnya, kalikan pers. (1-19a) dengan y dan pers. (1-19b) dengan x dan kurangkan keduanya.

Pers. (1-19a) :

xy

xx

Pers. (1-19b) :

. . . . . . (1-20)


Pendahuluan

x pertama diam dan dianggap sebagai pusat koordinat y = 0

d

dy

dz

dy

dx

dy

dx

dz

dx

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

x  y = a1

y  z = a2

z  x = a3

Pers. (1-20) dapat dituliskan sebagai,

. . . . . . . . . . (1-21)

Integrasikan persamaan (1-21), akan diperoleh,

. . . . . . . . . . (1-22a)

tetapan integrasi

Dengan cara yang sama diperoleh,

. . . . . . . . . . (1-22b)

. . . . . . . . . . . (1-22c)


Pendahuluan

x pertama diam dan dianggap sebagai pusat koordinat y = a1

xz  yz = a1z

dz

dy

dy

dx

dx

dz

dx

dy

dz

dy

dz

dx

Pers. (1-22a) :

x z

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

y  z = a2

xy  xz = a2x

Pers. (1-22b) :

xx

z  x = a3

yz  xy = a3y

Pers. (1-22c) :

xy

Selanjutnya lakukan perkalian berikut, dan kemudian jumlahkan


Pendahuluan

xz pertama diam dan dianggap sebagai pusat koordinat yz = a1z

dy

dz

dx

dx

dz

dy

dt

dt

dt

dt

dt

dt

xy  xz = a2x

yz  xy = a3y

+

a1z + a2x + a3y = 0

. . . . . . . . . . . (1-23)

Ini adalah persamaan sebuah bidang datar

  • Orbit benda, terletak pada sebuah bidang datar.


Pendahuluan

dx pertama diam dan dianggap sebagai pusat koordinat

x

2

Pers. (1-19a) :

dt

z

y

x

d2x

d2z

d2y

dy

=  GM

=  GM

=  GM

2

x

r3

r3

r3

dt2

dt2

dt2

dt

Pers. (1-19b) :

dz

2

x

Pers. (1-19c) :

dt

x

dx

d2x

dx

2

=  GM

2

r3

dt

dt2

dt

y

dy

d2y

dy

2

=  GM

2

r3

dt

dt2

dt

z

dz

d2z

dz

2

=  GM

2

r3

dt

dt2

dt

Selanjutnya lakukan perkalian berikut, dan kemudian jumlahkan hasilnya


Pendahuluan

dx pertama diam dan dianggap sebagai pusat koordinat

dy

dz

dx

d2x

dy

d2y

dz

d2z

2GM

x +y + z

2 + + =

dt

dt

dt

dt

dt2

dt

dt2

dt

dt2

r3

x

dx

d2x

dx

2

=  GM

2

r3

dt

dt2

dt

y

dy

d2y

dy

2

=  GM

2

r3

dt

dt2

dt

z

dz

d2z

dz

2

=  GM

2

r3

dt

dt2

dt

+


Pendahuluan

2 pertama diam dan dianggap sebagai pusat koordinat

2

2

dx

dy

dz

dx

dy

dx

2GM

d

x +y +z

+ + =

dt

dt

dt

dt

dt

dt

r3

dt

dr

dt

dy

dx

dz

r = x +y +z

dt

dt

dt

atau

. . . . . (1-24)

Jarak antara kedua benda dinyatakan oleh,

. . . . . . . . . . . . . (1-25)

r2 = x2 + y2 + z2

Apabila pers. (1-25) diturunkan, akan diperoleh,

. . . . . . . . . . (1-26)


Pendahuluan

2 pertama diam dan dianggap sebagai pusat koordinatGM

2

2

2

dx

dy

dz

dx

dy

dx

2GM

r2

d

x +y +z

2

2

2

+ + =

dx

dy

dx

dt

dt

dt

dt

dt

dt

r3

v2 = + +

dt

dt

dt

dt

dr

dr

dt

dt

dy

dx

dz

dv2

r = x +y +z

=

dt

dt

dt

dt

Kecepatan benda dinyatakan oleh,

. . . . . . . . . (1-27)

Subtitusikan pers. (1-26) :

dan (1-27) ke pers. (1-24) :

diperoleh,

. . . . . . . . . . . (1-28)


Pendahuluan

v pertama diam dan dianggap sebagai pusat koordinat

r

2GM

= 

r2

0

0

2GM

v2 = + h

dr

r

dt

dv2

dt

G m2M

V=

r

Integrasikan pers. (1-28),

. . . . . . . . . . . . (1-29)

diperoleh,

tetapan integrasi

Misalkan energi potensial gravitasi benda kedua adalah

. . . . . . . . . . . . (1-30)


Pendahuluan

1 pertama diam dan dianggap sebagai pusat koordinat

T = m2v2

2

2GM

v2 = + h

r

2GM

Gm2 M

T = m2 + h = +m2h

r

r

1

1

2

2

dan energi kinetiknya adalah,

. . . . . . . . . . . . (1-31)

Subtitusikan pers. (1-29) :

ke pers. (1-31), diperoleh

. . (1-32)


Pendahuluan

= pertama diam dan dianggap sebagai pusat koordinatm2h

T + V = +m2h 

Gm2 M

T = +m2h

r

1

1

1

G m2M

V=

2

2

2

r

Gm2 M

Gm2M

r

r

Jumlahkan pers. (1-30) dengan pers. (1-32),

Pers. (1-30) :

Pers. (1-32) :

+

. . . . . . . . . . . . . . . . (1-33)

= h’

Persamaan ini mengatakan bahwa energi total benda kedua selalu tetap selama mengorbit benda pertama.


Hukum kepler
Hukum Kepler pertama diam dan dianggap sebagai pusat koordinat

  • Orbit planet mengelilingi matahari tidak berbentuk lingkaran tetapi berbentuk elips dengan matahari di titik fokusnya

Matahari

Johannes Kepler

(1571 – 1630)

aphelion

perihelion

Planet


Pendahuluan

d pertama diam dan dianggap sebagai pusat koordinat

r2

= c (konstan)

dt

  • Vektor radius (garis hubung matahari – planet) dalam selang waktu yang sama akan menyapu luas daerah yang sama.

  • Hukum Luas

dt

Matahari

r

Planet

d

dt


Pendahuluan

1 Periode = peredaran planet mulai dari titik A sampai kembali lagi ke titik A

Matahari

A

a

Planet

b

Setengah sumbu panjang

P2  a3


Pendahuluan

x pangkat tiga setengah sumbu besar elips

d2x

=  GM

r3

dt2

y

d2y

=  GM

r3

dt2

Bukti Hukum Kepler

  • Hukum Kepler adalah hukum empiris, tapi bisa dibuktikan dengan hukum Gravitasi Newton.

  • Bukti :

Sebagai penyederhanaan, ambil bidang gerak (bidang orbit) dalam bidang (x, y).

  • Gerak benda hanya ditentukan oleh dua persama-an yang mengandung variabel x dan y, yaitu,

dan

Pers. (1-19a) :

Pers. (1-19b) :


Pendahuluan

x pangkat tiga setengah sumbu besar elips y = 0

d

dy

dy

dx

dx

dt

dt

dt

dt

dt

x  y = c

Sama seperti di bagian yang lalu, persamaan (1.19a) dikalikan dengan y dan persamaan (1.19b) dengan x, kemudian kurangkan, Hasilnya adalah,

Pers. (1-21) :

Selanjutnya integrasikan pers. (1-21), maka diperoleh :

Per. (1-22a) :

tetapan integrasi

Langkah selanjutnya adalah, lakukan perkalian berikut,


Pendahuluan

dx pangkat tiga setengah sumbu besar elips

2

Pers. (1-19a) :

dt

dy

y

x

d2y

d2x

Pers. (1-19b) :

2

=  GM

=  GM

dt

r3

r3

dt2

dt2

x

dx

d2x

dx

2

=  GM

2

r3

dt

dt2

dt

y

dy

d2y

dy

2

=  GM

2

dx

dy

dx

d2x

dy

d2y

2GM

r3

dt

x +y

dt2

dt

2 + =

dt

dt

dt

dt2

dt

dt2

r3


Pendahuluan

2 pangkat tiga setengah sumbu besar elips

2

dx

dy

dx

dy

d

2

x +y

+ =

dt

dt

dt

dt

dt

dr

2

2

dx

dy

dx

dy

2GM

d

r

x +y

+ =

d t

dt

dt

dt

dt

r3

dt

GM

dr

r3

dt

dy

dx

r = x +y

dt

dt

. . (1-34)

atau

Jarak antara kedua benda adalah,

. . . . . . . . . . . . (1-35)

r2 = x2 + y2

Turunkan persamaan (1.35) diperoleh,

. . . . . . . . . . . (1-36)

Selanjutnya integrasikan persamaan (1.34),


Pendahuluan

G pangkat tiga setengah sumbu besar elipsM

r

= sin θ+r cos θ

dy

dr

dr

dx

= cos θr sin θ

2

2

dx

dy

dt

dt

dt

dt

dt

dt

+  2 = h

dt

dt

diperoleh,

. . . . . . . . . . (1-37)

tetapan integrasi

Sekarang ubah sistem koordinat kartesius ke sistem koordinat polar dengan mendefinisikan

x = r cos θ

y = r sin θ

Masukkan definisi ini ke persamaan (1-22a),


Pendahuluan

d pangkat tiga setengah sumbu besar elipsy

dx

dt

dt

x  y = c

r2= c

= cos θ-r sin θ

sin θ+r cos θ =

=

dr

1

c

dr

1

dt

dt

dt

dt

dt

r 2

d

dt

Per. (1-22a) :

r sin θ

r cos θ

. . . . . . . . . . . . . (1-38)

diperoleh

. . . . . . . . . . . (1-39)

atau


Pendahuluan

+ pangkat tiga setengah sumbu besar elipsr 2 = + h

=

2

2

2

2

1

h

dr

1

c

1

dr

1

d

2

+   = 0

c2 r

r

dt

d

r 2

d

dt

c2

r2

r4

dt

Dengan cara yang sama kita lakukan ke pers. (1.37), dan hasilnya,

. . . . . . . (1-40)

dengan,

 = G M

. . . . . . . . . . . . (1-41)

Masukan pers. (1-39) :

ke pers. (1-40), diperoleh

. . . . . (1-42)


Pendahuluan

2 pangkat tiga setengah sumbu besar elips

+   = 0

2

+ u2= H2

2

H2 = + =tetapan

u= 

c4

2

1

dr

1

h

h

dr

1

c2 r

d

c2

r4

c2

r2

r

d

c2

Jika kita definisikan :

Kemudian dimasukkan ke

Pers. (1-42) :

. . . . . . . . . . . (1-43)

maka diperoleh,

dengan

. . . . . . . (1-44)

Pemecahan persamaan (1-43) adalah :

u = H cos ( - )

.. . . . . . . . . . . (1-45)

tetapan integrasi


Pendahuluan

2 pangkat tiga setengah sumbu besar elips

+ u2= H2

2

H2 = + = tetapan

c4

1

hc2

hc2

h

dr

= 1 + 1 + cos (  )

c2/

r

2

2

c2

c2

d

r =

1 + 1 + cos (  )

Masukkan harga u (pers. 1-45) dan H (pers. 1-44) ke pers. (1-43),

Pers. (1-43) :

Pers. (1-44) :

Pers. (1-45) :

u = H cos ( - )

. . (1-46)

diperoleh,

. . . . . (1-47)

atau


Pendahuluan

1/2 pangkat tiga setengah sumbu besar elips

hc

e = 1 +

hc2

c2

c2/

p =

2

r =

p

r =

1 + e cos 

1 + 1 + cos (  )

. . . . . . . . . . . . . (1-48)

Kita didefinisikan :

. . . . . . . . . . . (1-49)

= ()

. . . . . . . . . . . . . (1-50)

Jika ketiga pers. ini kita subtitusikan ke

Pers. (1-47) :

. . . . . . . (1-51)

akan diperoleh,

Persamaan irisan kerucut


Pendahuluan

p pangkat tiga setengah sumbu besar elips

r =

1 + e cos 

Suatu irisan kerucut dapat berupa lingkaran, elips, parabola atau hiperbola.

  • Karena elips adalah suatu irisan kerucut, maka hasil ini merupakan pembuktian Hukum KeplerI

Dengan demikian, pembuktian Hukum Kepler I berdasarkan pada persamaan (1-51), yaitu persamaan irisan kerucut.

  • Parameter p disebut parameter kerucut

  • Parameter e disebut eksentrisitas

  • Parameter  disebut anomali benar


Pendahuluan

Arti geometri dari parameter ini diperlihatkan pada gambar berikut

m2

(Perifokus)

B

ω

Garis potong bidang orbit dan bidang langit

m1

ae

p

a

(Apfokus)

A

Setengah jarak AB disebut setengah sumbu besar, dituliskan a yang harganya diberikan oleh :

. . . . . . . . . . . (1-52)

p = a (1 – e 2)


Pendahuluan

m berikut2

(Perifokus)

B

ω

Garis potong bidang orbit dan bidang langit

m1

ae

p

a

(Apfokus)

A

Perhatikan :

  • Benda pusat terletak pada titik fokus orbit

  • Sudut  menunjukkan kedudukan titik perifokus terhadap suatu garis acuan tertentu (dalam hal ini garis potong bidang orbit dengan bidang langit)


Pendahuluan

p berikut

r =

1 + e cos 

Dari pers. (1-51) :

  • jika e < 1 orbit berupa elips

  • jika e = 1 orbit berupa parabola

  • jika e > 1 orbit berupa hiperbola

karena (pers. 1-52) :

maka,

p = a (1 – e 2)

  • Titik perifokus dicapai apabila  = 0or = a (1 – e)

  • Titik apfokus dicapai apabila  = 180or = a (I + e)


Pendahuluan

m berikut2

B

ω

Garis potong bidang orbit dan bidang langit

m1

ae

p

a

A

Perihelion

Aphelion

Apabila m1 adalah Matahari dan m2 adalah planet, maka

  • titik terjauh dari Matahari disebut Aphelion

  • titik terdekat disebut Perihelion


Pendahuluan

m berikut2

B

ω

Garis potong bidang orbit dan bidang langit

m1

ae

p

a

A

Periastron

Apastron

Apabila sistem ini adalah sistem bintang ganda dengan m1 adalah bintang ke-1 dan m2 adalah bintang ke-2, maka

  • titik terjauh dari bintang ke-1 disebut Apastron

  • titik terdekat disebut Periastron


Pendahuluan

r berikut2= c

r2= c

1

1

2

2

dt

dt

Dari persamaan (1-38) :

Jika kedua ruas dikalikan dengan ½, maka diperoleh :

. . . . . . . . . . . . (1-53)

luas segitiga yg disapu oleh vektor radius r dlm waktu dt

Bukti Hukum Kepler II


Pendahuluan

r berikut2= c

P

r2d= c dt

0

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

a2 (1 – e2)1/2 = c P

dt

= 2 a3/2 a1/2(1 – e2)1/2

Integrasikan persamaan (1-53) :

Periode Orbit

A = a2 (1 – e2)1/2

Luas elips

Dengan demikian :

c P = a2 (1 – e2)1/2

atau

. . . . . . . (1-54)


Pendahuluan

c P berikut= 2 a3/2

c P = 2 a3/2 a1/2(1 – e2)1/2

1

c

P = 2 a3/2

1/2

1/2

a3

P2= 42

a3

=

P2

42

Masukkan p = a (1 – e2) ke

pers. (1-54) :

diperoleh,

c P = 2 a3/2 p1/2

. . . . . . . . . . (1-55)

Selanjutnya masukan pers. p = c2/ ke pers. (1-55), diperoleh,

Kuadratkan pers. di atas akan diperoleh,

. . . (1-56)


Pendahuluan

= ( berikutm1 + m2)

a3

a3

G

=

P2

P2

42

42

Masukkan pers. (1-18) :

M= m1 + m2

dan pers. (1-41) :

 = G M

ke pers. (1-56) :

. . . . . . . . (1-57)

diperoleh,

Dalam kasus planet mengelilingi Matahari,

  • m1 adalah massa matahari (M)

  • m2 adalah massa planet

Karena m2 << m1 (massa planet terbesar, yaitu Jupiter, hanya 0,001 M), maka persamaan (1-57) menjadi :


Pendahuluan

= berikutM

a3

G

P2

42

. . . . . . . . . . . . . . (1-58)

Bukti Hukum Kepler III

Hukum Kepler bukan hanya berlaku untuk planet dalam mengedari matahari saja tetapi juga berlaku untuk :

  • Bumi dengan satelit-satelit buatan

  • Planet dengan satelit-satelitnya

  • Sistem bintang ganda

  • dan lainnya


Pendahuluan

a berikut3

G M

=

0,5

42 a3

P2

42

P =

G M

Contoh :

  • Sebuah satelit buatan mengorbit Bumi dalam orbit yang hampir berupa lingkaran. Apabila radius orbitnya adalah 96 000 km, tentukanlah periode orbit satelit tersebut.

Jawab :

Karena massa bumi jauh lebih besar daripada massa satelit maka menurut Hk Kepler III

Diketahui,M= 5,98 x 1027 gr, a = 9,6 x 109 cm dan G = 6,67 x 10-8 dyne cm2/gr2


Pendahuluan

0,5 berikut

42 (9,6 x109)3

P =

(6,67 x 10-8) (5,98 x 1027)

Jadi

= 295 919,24 det = 3,42 hari


Pendahuluan

a berikut3

G M

=

P2

42

  • Tentukanlah periode orbit Bumi jika massa matahari 8 kali lebih besar dari massa sekarang dan radius orbit Bumi dua kali daripada radius sekarang (andaikan orbit Bumi berupa lingkaran)

Jawab :

M1= massa matahari sekarang

Misalkan :

M2 = 8 M1

a1 = radius orbit bumi sekarang

a2 = 2 a1

Karena M>> M maka


Pendahuluan

a berikut13

G M1

=

0,5

1,5

P12

42

M1

a2

P2 =

P1

M2

a1

a23

G M2

=

P22

42

0,5

0,5

1,5

1

M1

2a1

1,5

= 2

P1

P2 =

P1

8

8M1

a1

= (2,83)(0,3535) P1 = P1

Jadi periodenya sama dengan periode sekarang


Pendahuluan

Soal Latihan : berikut

  • Statsiun ruang angkasa Rusia Mir mengorbit bumi setiap 90 menit sekali pada ketinggian 250 km. Statsiun ruang angkasa ini diluncurkan pada tanggal 20 Februari 1986. Setelah beberapa tahun di ruang angkasa, statsiun ruang angkasa ini ditinggalkan dan secara perlahan-lahan jatuh ke Bumi pada tanggal 10 Maret 2001.

  • Berapakalikah statsiun ruang angkasa ini mengelilingi Bumi sebelum jatuh ke Bumi?

  • Berapakah jarak yang ditempuh statsiun ruang angkasa ini ? (Ketinggian Mir diabaikan relatif terhadap radius Bumi)


Pendahuluan

  • Teleskop ruang angkasa Hubble mengorbit Bumi setiap 1,5 jam sekali pada ketinggian 220 km, Jika kamu akan menempatkan satelit komunikasi di ruang angkasa, pada ketinggian berapakah satelit tersebut harus ditempatkan supaya satelit bisa mengedari Bumi setiap 24 jam sekali? (Satelit semacam ini disebut satelit Geosyncronous karena satelit selalu berada di suatu titik yang tetap di atas Bumi)


Pendahuluan

  • Salah satu satelit Jupiter yaitu Io mempunyai massa yang sama dengan Bulan (satelit Bumi), dan juga Io mengorbit Jupiter pada jarak yang sama dengan Bulan mengorbit Bumi. Akan tetapi Io mengelilingi Jupiter dalam satu putaran lamanya 1,8 hari, sedangkan Bulan mengelilingi Bumi dalam waktu 27,3 hari. Dapatkah kamu menjelaskan mengapa terjadi perbedaan ini?

  • Jika Io yang berjarak 422 000 km dari Jupiter memerlukan waktu 1,8 hari untuk melakukan satu putaran mengelilingi Jupiter, berapakah waktu yang diperlukan oleh Europa (satelit Jupiter yang lain) yang berjarak 671 000 km dari Jupiter untuk melakukan satu putaran mengelilingi Jupiter?


Pendahuluan

Lanjut ke Bab II sama dengan Bulan (satelit Bumi), dan juga Io mengorbit Jupiter pada jarak yang sama dengan Bulan mengorbit Bumi. Akan tetapi Io mengelilingi Jupiter dalam satu putaran lamanya 1,8 hari, sedangkan Bulan mengelilingi Bumi dalam waktu 27,3 hari. Dapatkah kamu menjelaskan mengapa terjadi perbedaan ini?

Kembali ke Daftar Materi