ניהול סיכונים

1. ניהול סיכונים מודל Merton (1974) למדידת סיכון אשראי. מדידת סיכון תשואה פשוטה ו – "לוג" תשואה ההתפלגות הנורמלית אי-וודאות מרווח מחיר גבוה - נמוך

2. 1. מודל Merton (1974) למדידת סיכון אשראי • למעשה, אנחנו מתחילים מהסוף של הקורס. • קיימת חברה מסויימת הממנת את סה"כ הנכסים שלה באמצעות הון עצמי וחוב. כלומר, בכל זמן t, נתון לנו: A(t)=E(t)+D(t) • כאשר: • A(t) – סה"כ הנכסים בזמן t)( A(0)>0 • E(t) – הון עצמי של החברה בזמן t • D(t) – החוב של החברה - אג"ח בודדת שמחזירה קרן + ריבית (K) בזמן t=T

3. 1. מודל Merton (1974) למדידת סיכון אשראי • מזמן tT, שווי הנכסים של החברה עולה/יודר בהתאם למשוואה הסוטכסטית הבאה: • כאשר: • μA – התשואה הממוצעת על הנכסים • σA- סטיית התקן של התשואה על הנכסים • dz(t) – "טעות" סוכסטית (או רעש לבן) המתפלג לפי חוקי ההתפלגות הנורמלית עם ממוצע 1 וסטיית תקן 0 (N(0,1)).

4. 1. מודל Merton (1974) למדידת סיכון אשראי המשוואה הסטוכסטית מתחלקת לשתי חלקים: חלק "דטרמיניסטי" (קבוע) וחלק "אקראי" דוגמא: A(0) = 100 μ = 10% σ = 35%

5. 1. מודל Merton (1974) למדידת סיכון אשראי

6. 1. מודל Merton (1974) למדידת סיכון אשראי • כזכור, החברה מכרה אג"ח שאינה משלמת קופון ( 0-Coupon) ומחזירה בזמן T=t את הקרן והריבית (K). • שאלות: • מה שווי הנכסים וההון העצמי של החברה בזמן t? • מה שווי החוב של החברה בזמן t? • מה ההסתברות לחדלות פירעון בזמן T?

7. 1. מודל Merton (1974) למדידת סיכון אשראי • נתחיל (שוב פעם) מהסוף: • בזמן T שווי הנכסים הכולל של החברה הנו:A(T)=E(T)+K • התקבולים של בעלי המניות: E(T) = max(A(T)-K,0) • התקבולים של בעלי האג"ח: min(A(T),K) • התקבולים של בעלי המניות דומים לאופצית Call אירופאית. • לעומת זאת, בעלי החוב מקבלים: Min(A(T),K)=K-max(K-A(T),0) • כלומר, בעלי האג"ח מקבלים את הקרן+ריבית (K) פחות שוויה (בפקיעה) של אופצית Put אירופאית.

8. 1. מודל Merton (1974) למדידת סיכון אשראי • על מנת לדעת את השווי הנוכחי של A(t), E(t) וההסתברות לחדלות פירעון, אנחנו צריכים לדעת (להבין) את החוקים הסטטיסטיים לפיהם שווי הנכסים מתפתח לאורך זמן. • אם מניחים ששווי הנכסים הכולל של החברה מתפתח לפי החוקים של ההתפלגות הנומלית, אז מדידת סטיית התקן של תשואת הנכסים (σ) והבנת המדד הנה המפתח לשאלות שנשאלו מקודם. • עוד קונספטים חשובים: • "תמחור אדיש לסיכון" (risk neutral valuation). • התפלגות אובייקטיבית והתפלגות סוביקטיבית. • כלל "אין ארביטראז'".

9. 1. מודל Merton (1974) למדידת סיכון אשראי • בכל אופן: • עבור ההון העצמי (E(t)): • עבור החוב (D(t)):

10. 1. מודל Merton (1974) למדידת סיכון אשראי • התשואה לפידיון על האג"ח הנה y בעוד הריבית חסרת הסיכון הנה (r). ולכן, בגלל ש – , ניתן להראות שהמרווח בין התשואה לפידיון לריבית חסרת הסיכון (credit spread) הנה: • אבל מה ההסתברות לחדלות פירעון? • נראה בהמשך כאשר נלמד עוד על תמחור אופציות 

11. מדידת הסיכון – סטיית התקן

12. 2. מדידת הסיכון • כשהצגנו את מודל Merton (1974) ראינו שהתפתחות שווי הנכסים מורכבת מ – 2 חלקים: • חלק דטרמיניסטי (קבוע) • חלק אקראי • ניקח מחיר מניה (שווי ההון העצמי – S(t)): • ננתח את את החלק האקראי - • ידוע ש – • צריך לחשב את סטיית התקן.

13. 2. מדידת הסיכון - תשואה פשוטה ו – "לוג" תשואה • חישוב סטיית התקן מבוסס על תשואות מחירי נכסים פיננסים ולא מחירם. הסיבה לכך, שהמחירים של נכסים פיננסים אינם נחשבים ל-"סטסיונרים" (Stationary). • הגדרה של "סטטסיונריות": • x(t) הנו "סטטסיונרי" אם:

14. 2. מדידת הסיכון - תשואה פשוטה ו – "לוג" תשואה דוגמא: ע"י חישוב ריקורסיבי: מכאן שהממוצע: וסטיית התקן: סטיית התקן קיימת אך ורק אם (תהליך AR(1))

15. 2. מדידת הסיכון - תשואה פשוטה ו – "לוג" תשואה ממוצע סטיית התקן

16. 2. מדידת הסיכון - תשואה פשוטה ו – "לוג" תשואה • כאמור, התשואות משמשות לחישוב סטיית התקן. כאשר: • כמו-כן: • המשוואה העליונה מייצגת תשואה "פשוטה" (simple return) בעוד המשוואה השניה מייצגת "לוג" תשואה.

17. 2. מדידת הסיכון - תשואה פשוטה ו – "לוג" תשואה • התשואה הפשוטה: • תשואה חד-תקופתית (למשל תשואה יומית): • תשואה פשוטה לאורך k תקופות: • התשואה "הפשוטה" יעילה בעיקר לניתוח תיקי השקעות. שכן:

18. 2. מדידת הסיכון - תשואה פשוטה ו – "לוג" תשואה • ה-"לוג" תשואה: • בהגדרה: • "לוג" - תשואה לאורך k תקופות: • גם כאן, התשואות אינן תלויות זו בזו (אם r מתפלג נורמלית) • ה-"לוג" תשואות עדיפות כשחוקרים תשואות תקופתיות.

19. 2. מדידת הסיכון - תשואה פשוטה ו – "לוג" תשואה • דוגמא: • Rt(k) במונחים שנתיים: • במקרה של ה – "לוג" תשואה: • כשהנכס מניב דיבידנד:

20. 2. מדידת הסיכון – ההתפלגות הנורמלית כאמור, אנחנו מניחים שהתשואות על נכסים פיננסים מתפלגות ע"פ ההתפלגות הנורמלי (נצדיק הנחה זו כשנציג את המודל הבינומי לתמחור אופציות). הממוצע וסטיית התקן (כמו-כן ה-Skewness וה – Kurtosis) מחושבים באופן הבא: אם r נורמלי

21. 2. מדידת הסיכון – ההתפלגות הנורמלית • כאשר: • בהינתן , איך נחשב את הממוצע וסטיית התקן? • Maximum Likelihood: אם המרכיבים של r שייכים להתפלגות הנורמלית, אז: פונקציה למקסם

22. 2. מדידת הסיכון – ההתפלגות הנורמלית

23. 2. מדידת הסיכון – ההתפלגות הנורמלית • סטיית התקן (או השונות): • מודדת את ממוצע השונות (הריבועית) מהממוצע. • במילים (קצת) יותר נכונות: סטיית התקן אומדת את אי-הוודאות סביב הממוצע. • שאלה: מה ההבדל בין "אי-וודאות" ל – "סיכון"? • Knight (1921): • "אי-וודאות" (uncertainty), מתייחסתלמצב בו ההסתברויות לתרחישים שונים אינם ידועים לפני מעשה. • מצב של "סיכון" הנו מצב בו התרחישים אינם ידועים לפני מעשה, אולם ההסתברות של אותם תרחישים כן ידועה (בדומה למשחק בקוביה).

24. 2. מדידת הסיכון – ההתפלגות הנורמלית

25. 2. מדידת הסיכון – אי-וודאות • נרחיב מעט את המושג של אי-וודאות. • מצב של אפס "אי-וודאות" אבל בכל זאת עם סיכון – משחק בקוביה. • לעומת זאת, אין מצב של אפס סיכון ואי-וודאות. כלומר, בהקשר פיננסי, הסיכון הוא תולדה של אי-וודאות. ולמעשה, כל המודלים למדידת הסיכון הנם מודלים להכלה של אי-וודאות. • מומלץ לקרוא: Schinckus (2009) • “Financial risk models seek to accommodate uncertainty, which is distinct of the notion of risk (Knight, 1921). In other words, they seek to implicitly account for ex-ante unknown future realizations (risk) and their associated probabilities (uncertainty)”, (Tapiero,2013)

26. 2. מדידת הסיכון – אי-וודאות • איך נמדדת האי-וודאות? • נגדיר את הפונקציה הבאה המודדת מידע: • הפונקציה נותנת משקל רב יותר לתרחישים בהסתברות נמוכה. כלומר, יש יותר מידע חדש שמתגלה כאשר תרחישים אלו מתרחשים. ולכן I(r) מודד את ערך המידע הקשור לתרחיש מסוים. • אפשר גם לומר, ש – I(r) מודד את אי – הוודאות הקשורה לתרחיש מסוים. באופן טבעי, אנחנו יודעים יותר על תרחישים בהסתברות גבוה מאשר אלו עם הסתברות נמוכה. • אם פונקציית הצפיפות (f(r)) הנה נורמלית:

27. 2. מדידת הסיכון – אי-וודאות ולכן, אי-הוודאות הממוצעת הנה: כלומר, סטיית - התקן מסכמת את אי-הוודאות והסיכון הקשור לתרחישים אפשריים של r. הממוצע למעלה הנו למעשה פונקציית האנטרופיה של Boltzmann (1878). ככלל:

28. 2. מדידת הסיכון – אי-וודאות • מקסימום אנטרופיה • בהינתן , ההתפלגות הנורמלית הנה ההתפלגות שהכי פחות מוטה (Least Biased Distribution) ביחס לנתונים הקיימים. • למעשה, ההתפלגות הזו הנה הפתרון לבעיית האופטימיזציה הבאה:

29. 2. מדידת הסיכון – אי-וודאות שלב 1 שלב 2 שלב 3 שלב 4

30. 2. מדידת הסיכון – אי-וודאות מיקסום של פונקציית האנטרופיה מאפשר לאמוד את פונקציית התפלגות במלואה. כדאי לשים לב, שהפתרון משתנה בהתאם למגבלות המוגדרות באופטימיזציה של פונקציית האנטרופיה. דוגמאות:

31. 2. מדידת הסיכון – אי-וודאות

32. 2. מדידת הסיכון – מרווח מחיר גבוה/נמוך • קיימים מדדים שונים לאמידת התנודתיות של נכס מסוים, אחד מהם הנו מבוסס על המרווח שבין המחיר הגבוה והנמוך שנצפה ביום מסחר נתון. למדד שכזה ישנם כמה יתרונות על פני סטיית התקן הסטטיסטית: • אינו מצריך להניך דבר לגבי התפלגות התשואות של של הנכס הפיננסי. • חשוב ביותר! שכן התנודתיות של תשואות של נכס פיננסים הנה מושג "לטנטי" (Latent) או נסתר. • ידוע שסדרות של תשואות "סובלות" מ - “Volatility Clustering”. כלומר: "שינויים גדולים במחיר הנכס באים אחרי שינויים גדולים שקרו קודם". כמו כן, האוטוקורלציה בסדרה העטית של r(t) נעלמת מהר. אולם אינה נעלמת בסדרה של |r(t)| ו – (r(t))^2. • מדדים המבוססים על מחירי סגירה מתעלמים מהתליך התוך-יומי של מחיר הנכס הפיננסי.

33. 2. מדידת הסיכון – מרווח מחיר גבוה/נמוך Parkinson (1981) מתבסס על המחיר הגבוה (H) והנמוך ביותר (L): Garman-Klass (1980) מציעים להכליל גם את מחירי הפתיחה (O) וסגירה (C):

34. 2. מדידת הסיכון – מרווח מחיר גבוה/נמוך • שימו לב: המדד של Parkinson ו – Garmann-Klass מניח שבממוצע, ה- "לוג" תשואה הנה שווה ל – 0 (drifteless process). החוקרים הבאים מציעים את התיקון הנ"ל: • Rogers and Stachell (1991): • ברוב המחקרים מצוין שאומדן תנודתיות המבוסס על המרווח שבין מחיר גבוה/נמוך הנו "יעיל" יותר ומוטה פחות בהשוואה לאומדן תנודתיות המבוסס על מחירי סגירה.

35. 2. מדידת הסיכון – מרווח מחיר גבוה/נמוך אוטוקורלציה של r(t) (לוג-תשואה של ה – S&P 500)

36. 2. מדידת הסיכון – מרווח מחיר גבוה/נמוך אוטוקרלציה של |r(t)| (לוג-תשואה (בערכים מוחלטים) של ה – S&P 500)

37. 2. מדידת הסיכון – מרווח מחיר גבוה/נמוך

38. 2. מדידת הסיכון – מרווח מחיר גבוה/נמוך

39. מדידת הסיכון –סטיית התקן הגלומה

40. 3. מדידת הסיכון –סטיית התקן הגלומה • בבורסה וזירות מסחר אחרות נסחרות אופציות על נכס בסיס כלשהו (הסבר על כך בשקף הבא) • סוגים שונים של אופציות: • אופציות רכישה (Call): הזכות ולא החובה לרכוש את נכס הבסיס במחיר מוסכם מראש, בנק' זמן בעתיד. • אופציות מכירה (Put): הזכות ולא החובה למכור את נכס הבסיס במחיר מוסכם מראש, בנק' זמן בעתיד. • אופציה אירופאית – מימוש החוזה רק במועד הפקיעה של האופציה. • אופציה אמריקאית – מימוש החוזה עד מועד הפקיעה של האופציה. • אופציה אקזוטית – חוזים לא סטנדרטיים (אסיאתיותלמשל) • אופציות יכולות להיות הגנתיות או ספקולטיביות. כך למשל, ניתן "לנטרל" חשיפה של תיק השקעות לסיכון מסוים (למשל: סיכון שוק) ע"י רכישה של אופ' Put על המדד הכללי.

41. 3. מדידת הסיכון –סטיית התקן הגלומה נכס בסיס ונגזרים – יחסי תלות אופציות חוזים עתידיים + חוזי אקדמה סחורות מניות אג"ח הצע וביקוש לסחורות (כמו נפט, גז, זהב ...) תזרים מזומנים חופשי לבעלי המניות בעתיד תקבולים מפירעון החובות של החברה

42. 3. מדידת הסיכון –סטיית התקן הגלומה • כמה נק' חשובות: • אופציה הנה נכס צופה לעתיד. כלומר, המחיר של האופציה תלוי בציפיותשל מחירו העתידי של נכס הבסיס. • באופן כללי, מחיר האופציה מגלם את ההתפלגות של מחיר נכס הבסיס העתיד (זמן – T). • אם ההתפלגות של מחיר הכס הבסיס הנה (לוג) נורמלית – מחיר האופציה תלוי בציפייה לתנודתיות (סטיית תקן) העתידית במחיר נכס הבסיס. כלומר, האופציה מתומחרת ע"פ נוסחת ה – Black and Scholes.

43. 3. מדידת הסיכון –סטיית התקן הגלומה נסתקל על הנוסחה מהשקף הקודם:

44. 3. מדידת הסיכון –סטיית התקן הגלומה מבלי להניח דבר לגבי התנהגות מחיר נכס הבסיס, מיידית ניתן לראות שמחירה של אופציה הנה תלויה ב – "פסודו" תוחלת של תשואה עתידית של נכס הבסיס (I)ובהסתברות שהתשואה העתידית של נכס הבסיס תהיה מעל התשואה המוסכמת מראש (II).

45. 3. מדידת הסיכון –סטיית התקן הגלומה • אם במקום: • , משתמשים ב – • כאשר r מתפלג לוג – נומלית • ועקרון המרטינגייל (Martingale) עומד. • אז נוסחת ה - Black and Scholes עומדת:

46. 3. מדידת הסיכון –סטיית התקן הגלומה • כשהנוסחה לתמחור האופציה קיימת (כמו Black & Scholes) ניתן למדוד את סטיית התקן הגלומה ע"י התאמת הנוסחה למחיר השוק. הדבר נעשה באמצעות שיטות נומריות שונות. • ניתן ללמוד מנוסחת ה –B&Sשאופציה נותנת ביטוי כספי לסיכון. • תזכרו שסטיית התקן הנה מדד לסיכון. • למעשה, עבור Call ו-Put: • סטיית התקן הגלומה ( Implied Volatility) הנה תחזית עתידית לגבי תנודתיות מחיר נכס הבסיס. כמו – כן, מודד את "מצב הרוח" של השוק בנק' מסוימת. • Whaley (2000) – Investors fear gauge?

47. 3. מדידת הסיכון –סטיית התקן הגלומה מדד ה - VIX October 2008 LTCM 911