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UT 06: EL INTERÉS COMPUESTO con EL “LUISMA”

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Domingo González García IES Benjamín Jarnés Fuentes de Ebro (Zaragoza). UT 06: EL INTERÉS COMPUESTO con EL “LUISMA”. TE ESTOY CONTROLANDO. ÍNDICE DE LA UNIDAD. 6.1.- Capitalización Compuesta A) Montante o Capital Final B) Capital Inicial o Valor Actual

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Presentation Transcript
ndice de la unidad

TE ESTOY CONTROLANDO

ÍNDICE DE LA UNIDAD

6.1.- Capitalización Compuesta

  • A) Montante o Capital Final
  • B) Capital Inicial o Valor Actual
  • C) Cálculo de los Intereses Totales
  • D) Cálculo del Tipo de Interés
  • E) Cálculo del Tiempo

6.2.- Diferencia entre Capitalización Compuesta y Simple

      • A) Interés Nominal
      • B) Interés Efectivo o Tasa Anual Equivalente
      • C) Comparación entre el tipo de interés nominal y efectivo
      • 6.3.- CAPITALIZACIÓN FRÁCCIONADA
        • A) Capitalización en tiempo fraccionado: convenio lineal y convenio exponencial.
slide3

Llamamos CAPITALIZACIÓN COMPUESTA “a la ley financiera en la que los INTERESES de cada período de capitalización se AGREGAN AL C APITAL para calcular los intereses del período siguiente

LLAMAREMOS:

Co: Capital inicial n: Duración de la operación

i: Tipo de interés Cs: Montante del año “s”

Is: Interés del año “s”, cuyo valor será: Cs – 1*i

It: Interés Total. It = I1 + I2 +… + In

Cn: Capital Final o MONTANTE

INDICE

a montante o capital final
A.MONTANTE O CAPITAL FINAL
  • ¿CÓMO OBTENEMOS LA FÓRMULA?...

…CALCULAREMOS LOS SUCESIVOS MONTANTES AL FINAL DE CADA AÑO

AL FINAL DEL PRIMER AÑO:

C1 = Co I1

Sacando F.C. = Co(1+i)

Como I1 = Co*i, Entonces

C1 = Co + Co*i

AL FINAL DEL SEGUNDO AÑO:

C2 = C1 + I2

Como I2 = C1 *i

Entonces C2 = C1 + C1*i = C1(1 + i)

Como C1=Co(1+i)

Entonces

C2 =Co(1+i)*(1+i) Sacando F.C.

C2 = Co(1 + i)2

el montante
El Montante…

C3 = C2 + I3

I3 = C2 *i

  • AL FINAL DEL TERCER AÑO:

C3 = C2(1 + i)

Entonces C3 =C2 + C2*i

Entonces: C3 = Co(1 +i)2(1+i)

C3 = Co(1+i)3

Y así sucesivamente hasta el año “n” (último año)….

Cn = C(n-1) + In Como

In = C (n-1) *i Entonces

APRÉNDETE ESO

Cn = C (n-1) +C (n-1) *i , Es decir…

Cn = C (n-1) (1 + i) Entonces…

Cn = Co(1 + i) (n-1) *(1+i)

Y GENERALIZANDO…..

Cn = Co(1+i)n

ejemplo
EJEMPLO:

Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al 5% anual durante 10 años en régimen de capitalización compuesta.

SOLUCIÓN:

Cn = Co(1+i)n; Cn = 200(1 + 0,05)10 =

b capital inicial o valor actual
B) Capital Inicial o Valor Actual

EJEM,EJEM… SEGUIIMOS SEÑORES/AS

  • Nos permite expresar el valor actual (Co) de un Valor Futuro (Cn).

Co

Cn

Co = Cn/(1+i)n

O También Co = Cn(1 + i)-n

ejemplo1

EJEMPLO

Calcula el Capital inicial que se convirtio en 1.500€ durante 2 años y a un tipo de interés del 6%

Solución

Co = Cn(1+i)-n ; Co = 1.500(1 + 0,06)-2 = 1.334,99

c d c lculo de los intereses totales y tipo de inter s
C, D,CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES Y TIPO DE INTERÉS

TE SIGO VIGILANDO

C.- It= Co[(1 + i)n -1]

D.- CALCULO DEL TIPO DE INTERÉS

Partiendo de la fórmula general del montante:

Cn/Co= (1+i)n ; Tomamos la raíz de orden “n” en ambos miembros de la igualdad y nos queda

n

Cn/Co = 1+i

De donde

O también

n

i =

Cn/Co -1 ;

i = (Cn/Co)1/n - 1

ejemplo2
EJEMPLO

Determinar el tanto de interés anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 12 años se obtenga un montante de 1.601,03 euros.

SOLUCIÓN

i = (Cn/Co)1/n – 1; i=(1.601,03/1.000)1/12 -1= 0,04

e c lculo del tiempo
E. Cálculo del tiempo

Igual que en los casos anteriores, partiendo de la fórmula general del contante y tomando logaritmos:

Log Cn = Log Co(1 + i)n y desarrollando la expresión, nos queda

Log Cn = Log Co + Log. (1 + i)

Despejando “n”

n =

LogCn – Log Co

Log (1 + i)

calculo del tiempo
Calculo del tiempo

Un capital de 2.000 euros colocado a interés compuesto al 4% anual asciende a 3.202 euros. Determinar el tiempo que estuvo impuesto.

SOLUCIÓN

n =(Log.Cn – Log.Co)/(Log (1+i);

n=( 3,5054-3,30103)/0,01703 =11,81 años

6 2 diferencia entre capitalizaci n compuesta y simple
6.2.- Diferencia entre Capitalización Compuesta y Simple

CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

Cn = Co(1+i)n

CAPITALIZACIÓN SIMPLE

Cn = Co(1 + in)

RECUERDA: “EL TIPO DE INTERÉS Y EL TIEMPO SIEMPRE DEBEN ESTAR EXPRESADOS EN LAS MISMAS UNIDADES TEMPORALES”

6 2 diferencia entre capitalizaci n compuesta y simple continucaci n
6.2.- Diferencia entre Capitalización Compuesta y Simple continucación
  • De todo lo expuesto anteriormente podemos concluir diciendo:
    • Que el montante de la capitalización ES MAYOR en la capitalización simple en períodos inferiores al año. IGUAL en períodos de un año y MENOR en períodos superiores al año.

Tiempo Capitales

n = 0 Cn(simple) = Cn(compuesta)

n = 1 Cn(simple) = Cn(compuesta)

0<n<1 Cn(simple) >Cn(compuesta)

n>1 Cn(simple) < Cn(compuesta)

a inter s nominal
A) Interés Nominal
  • En todos los documentos financieros, aparen normalmente dos tipos de interés:
  • 1.-JmEs el interés NOMINAL O PROPORCIONAL ANUAL.(Es decir, es el tanto proporcional anual; y que se obtiene multiplicando “m” veces el tipo de interés de un período fraccionado.
  • 2.- i. Es la Tasa Anual Equivalente (TAE)

De ahí que podemos establecer la siguiente relación:

Jm =m * im

Y en consecuencia:

im = Jm /m

slide17

OBERVA

  • B) Interés Efectivo o Tasa Anual Equivalente

POR LO TANTO

El Interés Efectivo o TAE, (i) es el interés REALMENTE ABONADO O CARGADO EN LAS OPERACIONES FINANCIERAS

Si 1€ invertido al tanto “i” durante 1 año, proporciona un montante de Cn=1(1+i)1. El mismo Euro invertido durante un año pero con capitalización fraccionada (im)proporcionará un montante igual a (1 + i(m))m

slide18

B) Interés Efectivo o Tasa Anual EquivalenteCONTINUACIÓN

PARA QUE EL TANTO “i” SEA EQUIVALENTE A im , AMBOS MONTANTES TENDRÁN QUE SER IGUALES

(1 + i) = (1 + i(m) )m

i(m) = (1 + i)1/m -1

i = (1 + im)m - 1

slide19

C) Comparación entre el tipo de interés nominal y efectivo

DADO QUE EN MUCHOS DOCUMENTOS MERCANTILES SE EXPRESA EL INTERÉS NOMINAL SOLAMENTE, ES NECESARIO PODER CALCULAR EL INTERÉS EFECTIVO EN FUNCIÓN DEL NOMINAL

VASTA SUSTITUIR ENLA FÓRMULA DE EQUIVALENCIA EL VALOR im , POR EL CORRESPONDIENTE NOMINNAL

PARA ELLO

ES DECIR

i = (1 + i(m))m – 1 ; i(m) =

J(m)

m

i

TAE

GRÁFICAMENTE, LA COMPARACIÓN ENTRE EL

INTERÉS NOMINAL Y EL EFECTIVO

J(m)

slide20

6.3.- CAPITALIZACIÓN FRÁCCIONADA

    • A) Capitalización en tiempo fraccionado: convenio lineal y convenio exponencial.

Las variables con las que trabajaremos son:

Co= Capital inicial

im= Tanto fraccionado referido al período de capitalización

n*m= Tiempo total de la operación, medido en la misma unidad que el tanto fraccionado

Entendemos por CAPITALIZACIÓN COMPUESTA EN TIEMPO FRACCIONADO, la operación financiera en la que el tiempo no es un número exacto de períodos (años).

Su cálculo se puede realizar

CONVENIO LINEAL

Cn = Co(1+i)n (1 + i*m)

CONVENIO EXPONENCIAL

Cn = Co(1 + i)(n+m)

slide21

Y de regalo….

http://www.youtube.com/watch?v=J0iYFPUdCE8