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数論アルゴリズム 確率的 COMPOSITES 判定の各種テスト

数論アルゴリズム 確率的 COMPOSITES 判定の各種テスト. ４．２０　川原　未鈴. １、絶対擬素数テスト. 絶対 擬 素数 （ Absolute Pseudo-Prime ） AP ｓ P しかし 、どんな に対しても（ 2.8 ）を充たすｎ があり、それを 絶対擬素数 AP ｓ P という。. 参考 定理 2.2.2 　（ P.40 ） もし ｎ に対して 　　　　　（ 2.8 ）　　　　　 これ を充たさない ｂ が存在すればｎ. 定理 4.2.1 　　無限に多くの AP ｓ P が存在. この AP ｓ P を精密化して得られたアルゴリズムが・・・.

kamilia-sawicki
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数論アルゴリズム 確率的 COMPOSITES 判定の各種テスト

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  1. 数論アルゴリズム確率的COMPOSITES判定の各種テスト数論アルゴリズム確率的COMPOSITES判定の各種テスト ４．２０　川原　未鈴

  2. １、絶対擬素数テスト • 絶対擬素数（Absolute Pseudo-Prime）APｓP しかし、どんなに対しても（2.8）を充たすｎがあり、それを絶対擬素数APｓPという。 参考 定理2.2.2　（P.40） もしｎに対して 　　　　　（2.8）　　　　　 これを充たさないｂが存在すればｎ 定理4.2.1　　無限に多くのAPｓPが存在 このAPｓPを精密化して得られたアルゴリズムが・・・

  3. 絶対擬素数テスト （AbsolutePeseudo-Primality Test）　APｓPT 　算法4.2.1（APｓPT） 入力　奇数 出力　判定「」あるいは 　　　　　主張「ℙ」 手順　（ⅰ）以下を 　　　　　　（a）ランダムにを選ぶ 　　　　　（b）もしgcd(b,n)>1なら「」と判定して終了 　　　　　　（c）もし（2.8）が不成立なら「」と判定して終了 　　　　　　（ⅱ）「ｎはAPｓPか確率1-」と 　　　　　　　主張して終了

  4. ～計算量～ 定理1.4.1と注意1.3.2から、各ｂに対する（2.8）の計算量は 　（4.3） また、SDによるGCDの計算量は注意2.1.2から更に少ない。 参考 定理1.4.1　一つの数のｎ乗に必要な乗算回数は最少 注意1.3.2Õを次のように定義する： 注意2.1.2　互除法SDの計算量は𝜪

  5. 手順（ⅱ）のところ Q、なぜの確率が１－な　 のか？ A、に対し（2.8）を充たすｂ全体はの真部分群だから。 ｎがAPｓPの時は無効＋定理4.2.1より算法4.2.1APｓPTは「COMPOSITESRP」すら保証しない。 そこでこの欠陥を埋めてくれるアルゴリズムが…

  6. ２、平方剰余規準テスト 平方剰余規準QRC 命題2.3.1　任意のp, に対して (mod p) 命題2.3.1のQRCから、もしならば (mod n) (4.4) これを充たさないｂが存在すればと判定できる。 そこで平方剰余規準テスト（Quadratic Residuosity Criterion Test）QRCT　を得る。

  7. 平方剰余規準テスト　QRCT 算法4.2.2　（QRCT） 入力　奇数および反復回数 出力　判定「」あるいは 　　主張「ℙ」 手順　（ⅰ）以下を 　　　　　　　（a）ランダムにを選ぶ 　　　　　　　（b）もしgcd(b,n)>1なら「」と判定して終了 　　　　　　　（c）もし（4.4）が不成立なら「」と判定して終了 （ⅱ）「確率1-」と主張して終了

  8. （ⅱ）のところ Q、なぜの確率が１－な　 　　のか？ A、どんなに対しても（4.4）を充たすｂ全体は ～計算量～ は注意2.3.3の様に高速に実行できるので、各ｂに対して計算量は（4.3）の通りになる。

  9. 両方保証される 「COMPOSITESRP」　　 「PRIMESP」 このアルゴリズムでも十分に実用に耐える程度効率的であるが、更に現在最高速で簡単なCOMPOSITESアルゴリズムが・・・

  10. ３、強擬素数テスト nは奇数なので偶数n-1の２指数e:=e(2)は簡単にできるので、 とする。 任意のに対して 　が成り立つ。 位数は , i=1,2,e ここで、もしならば、巡回群の位数２の元は -1 唯一つである。

  11. よって任意のに対してnを法とする合同式 又は 又は 又は のうちでいずれか一つが成立するはずである。 いずれも充たさないｂが存在すればと判定できる。 そこで強擬素数テスト（Strong Pseudo-Primality Test）SPｓPTを得る。

  12. 強擬素数テスト　SPｓPT 算法4.2.3（SPｓPT） 入力　奇数および反復回数 出力　判定「」あるいは 　　　　主張「ℙ」 手順　（ⅰ）初期化　を計算 　　　（ⅱ）以下を 　　　　　　　（a）ランダムにを選ぶ 　　　　　　　（b）もしgcd(b,n)>1なら「」と判定して終了 　　　　　　　（c）もし（4.5）が不成立なら「」と判定して終了 　　　　（ⅱ）「確率1-」と主張して終了

  13. ～計算量～ -1として、手順（ⅱ-a）を 『順次　ｂ』 に変更すれば、これはEZHの下では（ⅲ）の出力を 『「」と判定して終了．』 とできることが証明されている。即ち、決定性アルゴリズムとなる。 この反復回数だから計算量は (4.6) となる。

  14. 算法4.2.3SPｓPTも各ｂに対する計算量(4.3)で「COMPOSITES」が保障され、（4.6）よりEZHの下で「PRIMESP」も保障している。算法4.2.3SPｓPTも各ｂに対する計算量(4.3)で「COMPOSITES」が保障され、（4.6）よりEZHの下で「PRIMESP」も保障している。 （ⅲ）のところ Q、なぜの確率が１－なのか？ A、任意に対し（4.4）を充たす は（）/4個以下となること 　が既知だから。

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