1 / 29

Nilai dan Vektor Eigen

Nilai dan Vektor Eigen. Mengingat kembali: perkalian matriks. Diberikan matriks A 2x2 dan vektor-vektor u , v , dan w Hitunglah A u , A w , A v. Manakah dari hasil kali tersebut yang hasilnya adalah vektor yang sejajar dengan vektor semula. Jawab:. v dan A v sejajar.

kamal
Download Presentation

Nilai dan Vektor Eigen

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Nilai dan Vektor Eigen Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  2. Mengingat kembali: perkalian matriks • Diberikan matriks A2x2 dan vektor-vektor u, v, dan w • Hitunglah Au, Aw, Av. Manakah dari hasil kali tersebut yang hasilnya adalah vektor yang sejajar dengan vektor semula Jawab: v dan Av sejajar w dan Aw sejajar u dan Au TIDAK sejajar Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  3. Mengingat kembali: SPL homogen dan determinan • A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian trivial saja. Apa kesimpulanm tentang A? 2. A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian TIDAK trivial. Apa kesimpulanmu tentang A dan det(A)? Jawaban: A mempunyai inverse. Det(A) ≠ 0 Jawaban: A tidak mempunyai inverse. Det(A) = 0 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  4. Perkalian vektor dengan matriks A x = λ x Ax x x Ax x dan Ax sejajar Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  5. = 2 = k = 1 10 1 5 2 0 24 4 8 4 4 Perkalian vektor dengan matriks Au = 2u Av = v Aw≠ kw y y y x x x Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  6. Definisi: Nilai dan Vektor Eigen Definisi: Diberikan matriks Anxn, vektor tak nol v diRn disebut vektor eigen dari A jika terdapat skalar sedemikian hingga Av = λv. λ disebut nilai eigen, x adalah vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan λ . Syarat perlu: v ≠ 0 (3) -1 ≤ λ ≤ 0 (1) λ≥ 1 (2) 0 ≤ λ ≤ 1 • (4) λ ≤ - 1 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  7. Masalah Vektor Eigen Diberikan matriks persegi A, A sejajar x x A = λ x x Temukan semua vektor tidak nol x sedemikian hingga Ax adalah kelipatan skalar x (Ax sejajar dengan x). atau Temukan semua vektor tak nol x sedemikian hinggaAx = λx untuk suatu skalar λ Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  8. Masalah Nilai Eigen Diberikan matriks persegi A. A x = λ x x vektor tak nol Temukan semua skalar λ sedemikian hinggaAx = λx untuk suatu vektor tak nolx. atau Temukan semua vektorskalar λ sedemikian hingga persamaan Ax = λx mempunyai penyelesaian tak nol Ax = λx Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  9. Pernyataan-pernyataan ekuivalen Jika A matriks persegi nxn, maka kalimat-kalimat berikut ekuivalen •  nilai eigen A 2. terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = x • SPL (A – I)x = 0 mempuyai solusi tidak nol (non-trivial) 4.  adalah penyelesaian persamaan det(A – I) = 0 Mencari nilai eigen A sama saja mencari penyelesaian persamaan det(I-A) = 0 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  10. Persamaan Karakteristik Jika diuraikan, det((A - λI) merupakan suku banyak berderajat n dalam λ, p(λ ) = λⁿ +cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+c1λ+ c0suku banyak karakteristik Persamaan det((A - λI) = λⁿ +cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+c1λ+ c0 = 0 disebut persamaan karakteristik A λI A-λI - = • persamaan karakteristik A-λI det = λⁿ +cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+c1λ+ c0 = 0 Persamaan dengan derajat n mempunyai paling banyak n penyelesaian, jadi matriks nxn paling banyak mempunyai n nilai eigen. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  11. Contoh Mencari semua nilai eigen A= 2 - λ 0 Mencari semua penyelesaian persamaan 4 1 - λ ( )( ) = 0 2 - λ 1 - λ Mencari penyelesaian persamaan karakteristik Nilai eigen A adalah Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  12. Prosedur: menentukan nilai eigen Diberikan matriks persegi A. Nilai-nilai eigen A dapat diperoleh sebagai berikut: • Tentukan persamaan karakteristik det((A - λI) = 0 tuliskan A dan matriks yang elemen diagonal utamanya dikurangi λ 2. (Jika diperlukan) uraikan persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik: λⁿ +cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+c1λ+ c0 = 0 3. Selesaikan persamaan yang diperoleh pada langkah di atas. Nilai-nilai eigen merupakan penyelesaian persamaan tersebut. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  13. Contoh: Menentukan nilai eigen Diberikan matriks persegi • Tentukan persamaan karakteristik det(A - λI) = 0 • Ubahlah persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik: • Selesaikan persamaan di atas untuk memperoleh nilai-nilai eigen Nilai-nilai eigen A: λ1 = 0 λ2 = 2 λ3 = 3 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  14. Nilai eigen matriks diagonal Diberikan matriks diagonal • Persamaan karakteristik: • Nilai-nilai eigen 2, 6, 5, 1 • (merupakan entri diagonal utama) Nilai-nilai eigen matriks diagonal adalah elemen diagonal utamanya. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  15. Bagaimana menentukan apakah suatu skalar merupakan nilai eigen? • Tentukan apakah 2, 0, 4 merupakan nilai eigen A. Jawab: Bentuk det(A-λI) untuk λ = 2, 0, 4. Jika det(A-λI) ≠ 0, maka merupakan nilai eigen, kalau = 0, maka bukan nilai eigen. Kunci: 2, 4 nilai eigen A, 0 bukan nilai eigen A. 2 adalah nilai eigen A 0 bukan nilai eigen A 4 nilai eigen A Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  16. Kelipatan skalar vektor eigen • Diberikan A. Diketahui bahwa x adalah vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai eigen 2. Selidiki apakah 1/2x, 10x, 5x juga vektor-vektor eigen A Ax = 2x A(10x) = 2 (10x) A x = λ x A x λ x = (10) (10) Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  17. Kelipatan skalar vektor eigen Ax = 2x A(1/2 x) = 2 (1/2 x) A A x λ x x = λ x = (1/2) (1/2) Kelipatan skalar (tak nol) dari vektor eigen adalah vektor eigen terhadap nilai eigen yang sama Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  18. Menentukan semua vektor eigen Eλ • Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ. Tentukan semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ. • Vektor-vektor eigen A yang bersesuaian dengan λ = 3 dapat diperoleh dengan menyelesaikan SPL (A -λ I)x = 0. Vektor eigen adalah anggota Null(A - λ I) Himpunan semua penyelesaian SPL (A -λ I)x = 0 Himpunan semua vektor eigen bersesuaian denganλ 0 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  19. 0 Ruang Eigen Ruang eigen A yang bersesuaian dengan λ terdiri atas semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ dan vektor nol Ruang penyelesaian SPL (A -λ I)x = 0 Null(A -λ I)x Ruang Eigen Eλ Null(A -λ I) = Eλ Menentukan Eλ sama dengan menentukan himpunan penyelesaian SPL(A -λ I)x = 0 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  20. Menentukan ruang eigen Eλ • Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ = 3. Tentukan semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 3. SPL (A - 3 I)x = 0 Penyelesaian Himpunan penyelesaian Himpunan vektor eigen A bersesuaian dengan λ=3 : Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  21. Nilai eigen matriks pangkat • Nilai eigen dari A adalah 0, 2, dan 3. • Tentukan nilai eigen untuk • Diberikan sembarang matriks A dan diketahui bahwa λ adalah nilai eigennya. Maka terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = λx kalikan kedua ruas dengan matriks A A.Ax = Aλx A2x = λ(Ax) substitusi Ax dengan λx A2x = λ2x jadi, λ2 merupakan nilai eigen A2 • Teorema: Jika n adalah bilangan bulat positif, λ nilai eigen matriks A, maka λn adalah nilai eigen An Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  22. Nilai eigen matriks singular • Misalkan  = 0 merupakan nilai eigen dari A. Maka 0 merupakan penyelesaian persamaan karakteristik: dengan menganti  dengan 0, diperoleh c0 = 0. Padahal det(A- I) = 0, dengan = 0, maka det(A) = c0 = 0. Karena det(A) = 0 maka A tidak mempunyai inverse. • Sebaliknya, det(A) = det(A - I) dengan mengambil  = 0.Jadi det(A) = c0. Jika A tidak mempunyai inverse, maka det(A) = 0 = c0. Sehingga  = 0 merupakan salah satu penyelesaian persamaan karakteristik;  = 0 merupakan salah satu nilai eigen dari A. 0 adalah nilai eigen A jika dan hanya jika A tidak mempunyai inverse. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  23. Nilai eigen matriks transpose Misalkan  = 0 merupakan nilai eigen dari A,  maka det(A-  I)= 0 Karena matriks dan transposenya mempunyai determinan yang sama,  maka det(A-  I)T= 0 Karena (A-  I)T = (AT- I) ,  maka det(AT-  I)= 0 Jadi,  adalah nilai eigen dari AT A dan AT mempunyai nilai eigen yang sama • det(B) = det(BT) • (A-  I)T = (AT- I) • A dan A-1 mempuyai nilai eigen yang sama Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  24. Diagonalisasi Definisi: Matriks persegi A dapat didiagonalkan jika terdapat matriks yang mempunyai inverse sedemikian hingga P-1AP = D adalah matriks diagonal. Contoh: P-1AP= Matriks diagonal A dapat didiagonalkan Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  25. Kapan matriks A dapat didiagonalkan? • Teorema: Jika A adalah matriks nxn, maka kalimat-kalimat berikut ini ekuivalen: 1. A dapat didiagonalkan 2. A mempunyai n vektor-vektor eigen yang bebas linier Bukti (1)  (2) Diberikan A Misalkan A dapat didiagonalkan, maka terdapat matriks P yang mempunyai inverse Sedemikian hingga P-1AP = D matriks diagonal Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  26. Kapan matriks A dapat didiagonalkan? (lanjt) P-1AP = D, kalikan dengan P-1, AP = PD AP = PD, jadi Karena P mempunyai inverse, maka kolom-kolmnya bukan kolom nol. Berdasarkan deinisi nilai eigen, maka λ1, λ2, λ3, …,λn merupakan nilai-nilai eigen A, dan kolom-kolom P adalah vektor-vektor eigen A yang bebas linier (karena P mempunya inverse) Bukti untuk (2)  (1) kerjakanlah sebagai latihan untuk memperdalam pemahaman. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  27. Prosedur mendiagonalkan matriks • Diberikan matriks Anxn. Akan dicari P sedemikian hingga PAP-1 = D. Prosedur • Tentukan n vektor eigen A yang bebas linier, misalkan p1, p2, p3, …, pn 2. Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah p1, p2, p3, …, pn 3. Mariks D = P-1AP adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah λ1, λ2, λ3, …,λn dengan λj adalah nilai eigen bersesuaian denganpj untuk j = 1, 2, 3, …, n Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  28. Contoh: mendiagonalkan matriks • Diberikan matriks Anxn. Akan dicari P sedemikian hingga PAP-1 = D. Prosedur • Tentukan 2 vektor eigen A yang bebas linier. Pertama kita tentukan nilai-nilai eigennya yaitu λ1= 2 dan λ2= -1 (telah dihitung sebelumnya). Tentukan vektor eigen bersesuaian dengan nilai eigen, dengan menyelesaiakn SPL (A - λ I)x =0. Diperoleh • Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor eigen di atas. 3. Matriks D = P-1AP adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah λ1, λ2 berturut-turut Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  29. Masalah Diagonalisasi dan masalah vektor eigen • Masalah vektor eigen Diberikan matriks Anxn, apakah terdapat basis di Rn terdiri atas vektor-vektor eigen? • Masalah diagonalisasi Diberikan matriks Anxn apakah terdapat matriks yang mempunyai inverse P sedemikian hingga nP-1AP adalah matriks diagonal? Teorema: Anxn dapat didiagonalkan jika dan hanya jika terdapat n vektor eigen yang bebas linier. Padahal, setiap n vektor yang saling bebas linier di Rn merupakan basis Rn. Kesimpulan: masalah vektor eigen sama dengan masalah diagonalisasi Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

More Related