整数规划

1. 整数规划 1.整数规划的数学模型及解的特点 2.分支定界法、割平面法 3.0-1整数规划 4.指派问题

2. 1.整数规划的数学模型及解的特点 • 整数规划数学模型的一般形式 一部分或全部决策变量取整数值的规划问题 ——整数规划 整数规划中不考虑整数条件是对应的规划问题 ——该整数规划的松弛问题 松弛问题为线性规划的整数规划问题 ——整数线性规划

3. 中部分或全部取整数 • 整数线性规划一般形式：

4. 整数线性规划的几种类型 • 纯整数线性规划 • 混合整数线性规划 • 0-1型整数线性规划 例如选择投资项目问题（0-1规划问题）

5. 整数规划的例子 • 例1：生产计划问题。 • 例2：某服务部门各时段（每2小时为一时段）需要的服务员人数见下表。按规定服务员连续工作8小时为一班。现要求安排服务员的工作时间，使服务部门服务员总数最少。

6. 且为整数 解：设在第j时段开始上班的人数为 ，则

7. 且取整数 • 解的特点 整数线性规划及其松弛问题比较，前者的最优解的目标函数值不会优于后者的。 例：考虑下面的整数规划问题

8. P B C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 从图上分析： 整数规划最优解

9. 2.分支定界法 • 分支定界法是枚举法基础上的改进。 • 分支定界法的关键是分支和定界。 • 思路：利用其松弛问题的最优解（值）来分支定界。

10. 例：求解整数规划问题A 整数规划问题A 松弛问题B 且为整数 设问题A的最优目标函数值为 。 初始上界

11. 不是问题A解 但 • 图解法分析： 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 - B 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12. 图解法分析： 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7

13. 图解法分析： 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7

14. 不是问题A解 而 剪枝 是问题A解 但 • 图解法分析： 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7

15. 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 • 图解法分析：

16. 分支定界的全过程：

17. 分支定界的全过程：

18. 步骤： • 步骤1、整数规划问题为A，其松弛问题为B， 设 为问题A的初始下界（min问题为上界） • 步骤2、求解问题B，有三种情况： （a）B无可行解，此时问题A也无可行解，停止。 （b）B有可行解且为整数，则问题B的最优解即是问题A的最优解，停止。 （c） B有可行解但不是整数，设目标函数值为 它是问题A的上（下）界，转入步骤3。

19. 步骤3、分支、定界。 • 步骤4、比较、剪枝。

20. 4. 指派问题(assignment problem) • 4.1指派问题的标准形式及其数学模型 • 4.2匈牙利解法 • 4.3一般的指派问题

21. 指派问题的标准形式的提出？ • 在我们现实生活中，常有各种性质的指派问题。例如：应如何分配若干项工作给若干个人（或部门）来完成，以达到总体的最佳效果等等。由于指派问题的多样性，我们有必要定义指派问题的标准形式。

22. 4.1指派问题的标准形式及其数学模型 • 指派问题的标准形式（以人和事为例） n个人做n件事，并且要求每人必须而且只做一件事。设第i人做第j件事的费用为 Cij（i,j＝1，2……，n)，使总费用最少。 因此，我们可得指派问题的系数矩阵

23. 4.1指派问题的标准形式及其 数学模型 • 为了建立标准指派问题的数学模型，我们引入n²个 0－1变量。并且得到该问题的数学模型。

24. 对于问题的每个可行解，可用解矩阵 来表示。指派问题有n! 个可行解。

25. 例（13） 课本130页

26. 建立数学模型 这是一个标准的指派问题。若设0－1变量

27. 4.3一般的指派问题 在实际应用中，常会遇到各种非标准形式的指派问题。通常的处理方法是先将他们化为标准形式，然后再用匈牙利解法解之 1、最大化指派问题 设最大化指派问题系数矩阵C=(Cij)n×n,其中最大元素为m,令矩阵B=(bij)n×n=(m-cij)n×n,则以B为系数矩阵的最小化指派问题和以C为系数矩阵的最大化指派问题有相同最优解。

29. 一般指派问题 2、人数和事数不等的指派问题 （1）人少事多 （2）人多事少 类似产销不平衡问题 3、一个人可做几件事的指派问题 4、某事一定不能由某人做的指派 问题 将相应的费用系数取作足够大的数M 下面请同学们看例15（P134）以了解一般指派问题的解法