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第二章 最优化模型

第二章 最优化模型. 2.1 存贮模型（简单的优化问题） 2.2 生产计划问题 ( 线性规划， Lingo) 2.3 服务员合理雇佣问题 ( 整数规划 ) 2.4 钢管下料问题 ( 非线性 规划 , Lingo 编程 ) 2.5 投资的收益与风险 ( 多目标规划）. 2.1 存贮模型. 问 题. 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付 生产准备费 ，产量大于需求时要付 贮存费 。该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。. 已知某产品日需求量 100 件，生产准备费 5000 元，贮存费

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第二章 最优化模型

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  1. 第二章 最优化模型 2.1 存贮模型（简单的优化问题） 2.2 生产计划问题(线性规划，Lingo) 2.3 服务员合理雇佣问题(整数规划) 2.4 钢管下料问题(非线性规划, Lingo编程) 2.5 投资的收益与风险(多目标规划）

  2. 2.1存贮模型 问 题 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。 要 求 要建立生产周期、产量与需求量、准备费、 贮存费之间的关系。

  3. 模 型 假 设 1. 市场对产品每天的需求量为常数 r； 2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2； 3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量 为零时，Q件产品立即产出（生产时间不计）； 4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。 建 模 目 的 设 r, c1, c2 已知，求T, Q使总费用的每天平均值最小。

  4. q 一周期贮存费为 0 t Q r T 模 型 建 立 离散问题连续化 贮存量表示为时间的函数 q(t) t=0生产Q件，q(0)=Q, q(t)以按速率r递减，q(T)=0. A=QT/2 一周期 总费用 每天总费用平均 值（目标函数）

  5. 求 T 使 T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元) 模型求解 模型分析 模型应用 • c1=5000, c2=1，r=100 • 回答问题

  6. 经济批量订货公式（EOQ公式） 每天需求量 r，每次生产准备费 c1,每天每件贮存费 c2 ， T天生产一次(周期), 每次生产Q件，当贮存量降到 零时，Q件立即生产。 不允许缺货的存贮模型 • 问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？

  7. 模型拓展 允许缺货 现实条件：生产需要时间； 市场需求不确定 新形势：电子商务物流管理(异地配货)

  8. 习题 1. 一鞋店大约每天卖出鞋30双，批发一次货的花费为300元，每双鞋每天的存储费用为0.1元。 问鞋店多少天批发一次货，进货量为多少？ 2. 建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数k，销售速率为常数r，k>r。在每个生产周期T内，开始的一段时间一边生产一边销售，后来的一段时间只销售不生产。设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品的贮存费为c2，以总费用最小为目标确定最有生产周期。讨论k>>r和kr的情况。

  9. 数学规划模型 实际问题中 的优化模型 gi(x)0~约束条件 x~决策变量 f(x)~目标函数 数学规划 n和m较大 线性规划 非线性规划 整数规划 多元函数条件极值 不等式约束 最优解在边界上取得 无法用微分法求解 本课程重点：模型的建立和结果的分析

  10. 3公斤A1 获利24元/公斤 1桶牛奶 12小时 或 获利16元/公斤 4公斤A2 8小时 例1 加工奶制品的生产计划 工时480小时 每天： 50桶牛奶 至多能加工100公斤A1 制订生产计划，使每天获利最大 • 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？

  11. 每天 50桶牛奶 3公斤A1 获利24元/公斤 1桶牛奶 12小时 或 获利16元/公斤 4公斤A2 8小时 时间480小时 至多加工100公斤A1 决策变量 x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2 获利 24×3x1 获利 16×4 x2 目标函数 每天获利 线性规划模型(LP) 原料供应 劳动时间 约束条件 加工能力 非负约束

  12. x2 A 约束条件 l1 B l4 l2 Z=3360 C c l3 0 l5 x1 D Z=2400 Z=0 模型求解 图解法 可行域 目标函数 z=c (常数) ~等值线 在B(20,30)点得到最优解 目标函数和约束条件是线性函数 最优解一定在凸多边形的某个顶点取得。 可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线

  13. 模型求解 软件实现 LINGO model: max = 72*x1+64*x2; x1 + x2<50; 12*x1+8*x2<480; 3*x1<100; end Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 2 0.000000 48.00000 3 0.000000 2.000000 4 40.00000 0.000000 20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元.

  14. 原料无剩余 时间无剩余 加工能力剩余40 结果解释 Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 MILK 0.000000 48.00000 TIME 0.000000 2.000000 CPCT 40.00000 0.000000 model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end 三种资源 “资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束）

  15. 原料增加1单位, 利润增长48 时间增加1单位, 利润增长2 加工能力增长不影响利润 Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 MILK 0.000000 48.00000 TIME 0.000000 2.000000 CPCT 40.00000 0.000000 结果解释 最优解下“资源”增加1单位时“效益”的增量 影子价格 35 <48, 应该买！ • 35元可买到1桶牛奶，要买吗? • 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元? 2元！

  16. LINGO做敏感性分析 • “ LINGO |Options”菜单打开系统选项对话框，在“General Solver”标签下的“Dual Computations”下拉列表中选中 “Prices & Range”，再按下“OK”按钮激活 敏感性分析功能。 • 修改了系统选项后，以后只需调用“ 调用“LINGO |Range”命令即可进行敏感性分析了。

  17. 敏感性分析(“LINGO|Range” ) 最优解不变时目标函数系数允许变化范围 Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 72.00000 24.00000 8.000000 X2 64.00000 8.000000 16.00000 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease MILK 50.00000 10.00000 6.666667 TIME 480.0000 53.33333 80.00000 CPCT 100.0000 INFINITY 40.00000 (约束条件不变) x1系数范围(64,96) x2系数范围(48,72) x1系数由24 3=72增加为303=90，在允许范围内 不变！ • A1获利增加到 30元/kg，应否改变生产计划?

  18. 否则影子价格48会变 结果解释 影子价格有意义时约束右端的允许变化范围 Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 72.00000 24.00000 8.000000 X2 64.00000 8.000000 16.00000 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease MILK 50.00000 10.00000 6.666667 TIME 480.0000 53.33333 80.00000 CPCT 100.0000 INFINITY 40.00000 (目标函数不变) 原料最多增加10 时间最多增加53 • 35元可买到1桶牛奶, 每天最多买多少? 最多买10桶!否则…..

  19. 例1的另一模型 • 设每天加工量 A1, A2 Max z=24A1+16A2 Subject to A1/3+A2/4<=50 12A1/3+8A2/4<=480 A1<=100 A1, A2>=0

  20. 一句话小结 • 线性规划是管理科学的利器； • 敏感性分析赋予线性规划更丰富的意义，对模型参数变化时计算结果的有效性作了深入的分析。

  21. 习题 某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知： • 项目1从第一年到第四年每年可以投资，并于次年回收本利115%； • 项目2第三年可以投资，到第五年回收本利125%，但规定最大投资额不超过4万元； • 项目3第二年可以投资，到第五年回收本利140%，但规定最大投资额不超过3万元； • 项目4每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%。 该部门现有资金10万元， 问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到五年后拥有的资金的本利总额为最大？

  22. 2.3 服务员合理雇佣问题 • 某储蓄所每天的营业时间是上午9：00到下午5：00. 根据经验，每天不同阶段所需要的服务员数量如下： • 储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员. 全时服务员每天报酬200元，从上午9：00到下午5：00工作，但中午12：00到下午2：00之间安排1小时的午餐时间。储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬80元. 问该储蓄所应如何雇佣全时和半时两类服务员？

  23. 模型建立 • 设X1,X2分别为在12点到1点午餐和1点到2点午餐的全时服务员人数（为什么要用X1,X2区分开来？） • 设Y1,Y2,Y3,Y4,Y5分别为9点，10点，11点，12点，1点开始上班的半时服务员人数。（为什么只到1点？） • 目标函数：所付报酬最少，即 Min 200(X1+X2)+80(Y1+Y2+Y3+Y4+Y5)

  24. 约束条件 （1）每个时段服务员数量需求数量 x1+x2+y1>4 x1+x2+y1+y2>3 x1+x2+y1+y2+y3>4 x2+y1+y2+y3+y4>6 x1 +y2+y3+y4+y5>5 x1+x2 +y3+y4+y5>6 x1+x2 +y4+y5>8 x1+x2 +y5>8 （2）半时服务员3 y1+y2+y3+y4+y5<3 （3）整数变量 x1，x2，y1,y2,y3,y4,y5>=0且为整数

  25. Lingo程序 Model: Min=200*(x1+x2)+80*(y1+y2+y3+y4+y5); x1+x2+y1>4; x1+x2+y1+y2>3; x1+x2+y1+y2+y3>4; x2+y1+y2+y3+y4>6; x1 +y2+y3+y4+y5>5; x1+x2 +y3+y4+y5>6; x1+x2 +y4+y5>8; x1+x2 +y5>8; y1+y2+y3+y4+y5<3; @gin(x1); @gin(x2); @gin(y1); @gin(y2); @gin(y3);@gin(y4); @gin(y5); end

  26. 计算结果 计算结果(目标函数值唯一，方案不唯一) OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 1640.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 3.000000 200.000000 12点用餐，全时 X2 4.000000 200.000000 1点用餐，全时 Y1 0.000000 80.000000 Y2 2.000000 80.000000 10点开始上班，半时 Y3 0.000000 80.000000 Y4 0.000000 80.000000 Y5 1.000000 80.000000 1点开始上班，半时

  27. 一句话小结 • 很多变量只有取整数时才有实际意义； • 整数规划可用线性规划近似求解，但往往得不到最优解；

  28. 习题 甲 乙 丙 丁 戊 蝶泳 1’06”8 57”2 1’18” 1’10” 1’07”4 仰泳 1’15”6 1’06” 1’07”8 1’14”2 1’11” 蛙泳 1’27” 1’06”4 1’24”6 1’09”6 1’23”8 自由泳 58”6 53” 59”4 57”2 1’02”4 5名候选人的百米成绩 如何选拔队员组成4100米混合泳接力队?

  29. 2.4 钢管和易拉罐下料 原料下料问题 生产中通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小 按照工艺要求，确定下料方案，使所用材料最省，或利润最大

  30. 例1钢管下料 原料钢管:每根19米 客户需求 6米20根 8米15根 4米50根 5米10根 问题1. 如何下料最节省 ? 节省的标准是什么？ 问题2. 客户增加需求： 由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本，规定切割模式不能超过3种。如何下料最节省？

  31. 切割模式 4米1根 6米1根 余料1米 8米1根 4米1根 6米1根 余料3米 6米1根 8米1根 8米1根 余料3米 钢管下料 按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。 合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸

  32. 合理切割模式 模式  4米钢管根数 6米钢管根数 8米钢管根数 余料(米) 1 4 0 0 3 2 3 1 0 1 3 2 0 1 3 4 1 2 0 3 5 1 1 1 1 6 0 3 0 1 7 0 0 2 3 钢管下料问题1 为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式切割多少根原料钢管，最为节省？ 两种标准 1. 原料钢管剩余总余量最小 2. 所用原料钢管总根数最少

  33. 模 式 4米 根数 6米 根数 8米 根数 余 料 1 4 0 0 3 2 3 1 0 1 3 2 0 1 3 4 1 2 0 3 5 1 1 1 1 6 0 3 0 1 7 需 求 50 0 20 0 15 2 3 决策变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7) 目标1（总余量） 约束 满足需求 整数约束： xi 为整数 最优解：x2=12, x5=15, 其余为0； 最优值：27。 按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米

  34. xi 为整数 钢管下料问题1 目标2（总根数） 约束条件不变 最优解：x2=15, x5=5, x7=5, 其余为0； 最优值：25。 按模式2切割15根，按模式5切割5根，按模式7切割5根，共25根，余料35米 与目标1的结果“共切割27根，余料27米” 相比 虽余料增加8米，但减少了2根 , 为什么?

  35. 钢管下料问题1 原料钢管:每根19m 目标1(总余量) ~ x2=12, x5=15, 共27根,余27m 目标2(总根数) ~ x2=15, x5=5, x7=5, 共25根, 余35m 按照目标1比需求多生产1根4m、7根6m, 共46m, 正好等于2根原料(38m)再加8m. 若多生产的也视为余料, 则总余量最小等价于总根数最少. 若余料没有用处, 通常以总根数最少为目标.

  36. 钢管下料问题2 增加一种需求：5米10根；切割模式不超过3种。 本题可以用上题思路，但比较复杂。现有4种需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米15根，用枚举法确定合理切割模式，较复杂。 换一种思路：用模型的约束条件界定合理模式 决策变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,3) r1i, r2i, r3i, r4i ~ 第i 种切割模式下，每根原料钢管生产4米、5米、6米和8米长的钢管的数量

  37. 钢管下料问题2 目标函数（总根数） 模式合理：每根余料不超过3米 约束条件 满足需求 整数约束： xi ,r1i, r2i, r3i, r4i (i=1,2,3)为整数 非线性整数规划模型

  38. 钢管下料问题2 技巧：增加约束，缩小可行域，求解快 需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米15根 每根原料钢管长19米 原料钢管总根数下界： 分析上界： 模式1：切割成4根4米钢管，需13根； 模式2：切割成1根5米和2根6米钢管，需10根； 模式3：切割成2根8米钢管，需8根。 原料钢管总根数上界：13+10+8=31 模式排列顺序可任定(对称性)

  39. Lingo编程 • 模型构成 • 主体 MODEL: --END • 集合段 SETS -- ENDSETS • 数据段DATA-- ENDDATA • 初始段INIT--ENDINIT • 计算段CALC--ENDCALC • 集合 • 基本集合 • 派生集合 • 函数 @for(集合|条件:表达式)对集合中满足条件的元素循环执行表达式 @sum(集合|条件:表达式)对集合中满足条件的元素求表达式的和 • 关系运算符（“集合|条件”里使用） #LT# ( less then), #EQ#, #LE#, #GT#, #GE#类似

  40. Lingo编程 Lingo模型 model: Title 钢管下料 LINGO模型; min=x1+x2+x3; x1*r11+x2*r12+x3*r13 >=50; x1*r21+x2*r22+x3*r23 >=10; x1*r31+x2*r32+x3*r33 >=20; x1*r41+x2*r42+x3*r43 >=15; 4*r11+5*r21+6*r31+8*r41 <=19; 4*r12+5*r22+6*r32+8*r42 <=19; 4*r13+5*r23+6*r33+8*r43 <=19; 4*r11+5*r21+6*r31+8*r41 >=16; 4*r12+5*r22+6*r32+8*r42 >=16; 4*r13+5*r23+6*r33+8*r43 >=16; x1+x2+x3 >= 26; x1+x2+x3 <= 31; x1>=x2; x2>=x3; @gin(x1); @gin(x2); @gin(x3); @gin(r11);@gin(r12);@gin(r13); @gin(r21);@gin(r22);@gin(r23); @gin(r31);@gin(r32);@gin(r33); @gin(r41);@gin(r42);@gin(r43); end 标题 model: Title 钢管下料 LINGO模型; SETS: !集合段; NEEDS/1..4/:LENGTH,NUM; CUTS/1..3/:X; PATTERNS(NEEDS,CUTS):R; ENDSETS DATA: !数据段; LENGTH=4 5 6 8; NUM=50 10 20 15; ENDDATA INIT: !初始段 X=10 10 10; ENDINIT !模型目标与约束开始; min=@SUM(CUTS(J): X(J) ); @FOR(NEEDS(I): @SUM(CUTS(J): X(J)*R(I,J) ) >NUM(I) ); @FOR(CUTS(J): @SUM(NEEDS(I): LENGTH(I)*R(I,J) ) <19 ); @FOR(CUTS(J): @SUM(NEEDS(I): LENGTH(I)*R(I,J) ) >16); @SUM(CUTS(I): X(I) ) >26; @SUM(CUTS(I): X(I) ) <31; @FOR(CUTS(J)|J#LT#3:X(J)>X(J+1) ); @FOR(CUTS(J): @GIN(X(J)) ) ; @FOR(PATTERNS(I,J): @GIN(R(I,J)) ); end ! 表示注释 派生集合

  41. LINGO求解整数非线性规划模型 Local optimal solution found at iteration: 7938 Objective value: 28.00000 Variable Value Reduced Cost X1 10.00000 0.000000 X2 10.00000 2.000000 X3 8.000000 1.000000 R11 3.000000 0.000000 R12 2.000000 0.000000 R13 0.000000 0.000000 R21 0.000000 0.000000 R22 1.000000 0.000000 R23 0.000000 0.000000 R31 1.000000 0.000000 R32 1.000000 0.000000 R33 0.000000 0.000000 R41 0.000000 0.000000 R42 0.000000 0.000000 R43 2.000000 0.000000 模式1：每根原料钢管切割成3根4米和1根6米钢管，共10根； 模式2：每根原料钢管切割成2根4米、1根5米和1根6米钢管，共10根； 模式3：每根原料钢管切割成2根8米钢管，共8根。 原料钢管总根数为28根。

  42. LINGO计算全局最优解 • 局部最优可能不是真正的最优解。Lingo设置全局最优求解器的做法： • 选LINGO|Options菜单； • 在弹出的选项卡中选择“General Solver”； • 然后找到选项“Use Global Solver”将其选中； • 应用或保存；求解。

  43. 全局最优解(本题同局部最优) Global optimal solution found. Objective value: 28.00000 Objective bound: 28.00000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 1 Total solver iterations: 83944 Variable Value X1 10.00000 X2 10.00000 X3 8.000000 R11 3.000000 R12 2.000000 R13 0.000000 R21 1.000000 R22 0.000000 R23 0.000000 R31 1.000000 R32 1.000000 R33 0.000000 R41 0.000000 R42 0.000000 R43 2.000000

  44. 全局最优之遗传算法 • 遗传算法是一种通过模拟自然进化过程全局搜索最优解的方法。 • 随机产生一定数目的初始染色体（种群）； • 用评价函数来评价每一个染色体的优劣，即适应度，用来作为以后遗传操作的依据； • 进行选择过程：选择的目的为了从当前种群中选出优良的染色体，染色体的适应度越高，其被选择的机会就越多； • 通过交叉操作和变异操作：挖掘种群中个体的多样性，克服有可能陷入局部解的弊病； • 对新的种群（后代）重复进行选择、交叉、变异操作，经过给定次数的迭代处理以后，把最好的染色体作为优化问题的最优解。

  45. Matlab遗传算法工具箱ga • [x,feval] = ga(finessfun, nvars, A, b, Aeq, beq, lb, ub, @nonlcon, IntCon) 求解优化问题（混合非线性整数规划）： min f(x) s.t. Ax  b, Aeqx = beq, c(x)  0, ceq(x) = 0, lb x ub 其中nvars为解向量长度。IntCon是正整数向量，IntCon(i)=k则表示x(k)是整数变量 目标函数(评价函数，适应函数)可用匿名函数，也可写成M-函数(finessfun.m) ： function f = finessfun (x) f = f(x); 非线性约束条件写成M-函数(nonlcon.m)： function [c,ceq]=nonlcon(x) c = c(x);ceq=ceq(x);

  46. 习题 • 某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记为A，B），按照生产工艺要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A、B。已知，原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是3 % ，1 % ，2 % ，1 % ，进货价格分别为6，16，10，15（千元/吨）；产品A、B的含硫量分别不能超过2.5 % ，2 %, 售价分别为10，15（千元/吨），根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应量有限制，原料丁的供应量最多为50吨；产品A、B的市场需求分别为100，200吨，问应如何安排生产？

  47. 2.5 投资的收益与风险 • 问题的提出： • 市场上有n种资产(如股票.债券….)Si(i=1,…,n)供投资者选择,某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资,公司财务分析人员对这n种资产进行了评估,估算出在这一时期内购买Si的平均收益率为ri,并预测出购买Si的风险损失率为qi.考虑到投资越分散,总的风险越小,公司确定,当用这笔资金购买若干种资产时,总体风险可用所投资的Si中最大的一个风险来度量.

  48. 2.5 投资的收益与风险 问题的提出（续）： 购买Si要付交易费,费率为pi,并当购买额不超过给定值ui时,交易费按购买ui计算(不买当然无须付费).另外,假定同期银行存款利率是r0,且r0既无交易费又无风险.(r0 =5%) 试给该公司设计一种投资组合方案,即用给定的资金M,有选择的购买若干种资产或存银行生息,使净收益尽可能大,而总体风险尽可能小. 第二讲 最优化 Optimization

  49. 一、 模型假设 • H1: 只考虑给定时间内的收益和风险，且银行存款利率在给定时间内保持不变; • H2: 公司用于投资的资金数额相当大，且无贷款或透支; • H3: 各种资产投资风险相互独立。 • H4: 总体风险可用所投资的资产中最大的一个风险来度量。

  50. 符号说明 • Si: 第i种资产 (i=1，2，...，n，n+1)， 其中Sn+1表示存入银行; • ri : Si的平均收益率; • qi : Si的风险损失率; • pi : Si的交易费率 ; • ui : Si购买额阈值; • M: 资金总额; • Xi: 投资Si占总额的比重(不含交易费) ， 以下简称投资; • Yi: 投资Si的交易费占总额的比重， 以下简称交易费; • f1: 净收益; • f2: 总体风险; • : 权因子;

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