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실수 ( Dedekind)

실수 ( Dedekind). ( a+b)+c = a+(b+c), a+b=b+a, a+0=0+a=a, a+(-a)=0 (ab)c= a(bc), ab=ba, 1a=a1=a, aa -1 =1=a -1 a a(b+c) = ab + ac a, b ∊ P ↦ a+b ∊ P; a, b ∊ P ↦ ab ∊ P, a ∊ F a ≠ 0 ↦ a ∊ P 또는 – a ∊ P Dedekind cut. √2 √2 무리수, 초월수 ?. e Euler (1737), Hermite (1873)

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실수 ( Dedekind)

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Presentation Transcript

  1. 실수 (Dedekind) • (a+b)+c = a+(b+c), a+b=b+a, a+0=0+a=a, a+(-a)=0 • (ab)c= a(bc), ab=ba, 1a=a1=a, aa-1=1=a-1a • a(b+c) = ab + ac • a, b ∊ P ↦ a+b ∊ P; a, b ∊ P ↦ ab ∊ P, a ∊ F a ≠ 0 ↦ a ∊ P 또는 –a ∊ P • Dedekind cut

  2. √2√2 무리수, 초월수 ? • e Euler (1737), Hermite (1873) • Pi Lambert(1761), Lindemann(1882) • Lambert r 유리수인경우 tan r, er무리수 • Hermite, Weierstrass a가 대수수인경우 ea, log a 는 초월수 • Hilbert 7번 문제 a 대수수, b 무리대수수인경우 ab는 초월수이다. (Gel’fond, Schneider 1934)

  3. 수는 어떻게 주어지는가? • Decimal representation • Limits of sequences • Sums of sequences • Infinite product • Continued fractions • Definite integral • Etc….

  4. e= lim n-> (1+1/n)n • e = 2.71828183….. • log x = x1 dt/t, log(e) =1 • e = n=11/n! • e= [2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1…](Euler)

  5. 현대 대수학 • 현대대수학은 수의 추상화를 연구한다. 구조주의(Levi-strauss, Chomsky)의 시작점 각각에 대하여 증명할 필요가 없다. • 군 group • 환 ring • 모듈 module • 체 field • 대수 algebra

  6. 군 group • Binary operation *: G x G -> G • Associative • Identity a * e = e * a = a • Inverse a * a -1 = e = a-1 * a • 예 (Z, +), (Q, +), (R, +), (Q-{0},*), (R-{0},*), (C-{0},*) • (Z/nZ, +), ((Z/nZ)x, *) • 아벨군 a*b = b*a 갈루아

  7. Dihedral group • {1,r,r2, …, r n-1, s, sr, sr 2,…,sr n-1}

  8. Symmetric group • A={1,2,3,…,n} • f: A -> A, g: A -> A, g o f: A -> A • Cycle decomposition • (135)(478)(29) • Sn 은 아벨군이 아니다. n>2

  9. 동형군 • HomomorphismF: G -> H, F(g*h) =F(g)*F(h) • Isomorphism homomorphism + bijection • 동형인 것들은 그중 하나만 연구하면 된다.

  10. 환 Ring • (R, +, *) (I) (R, +) abelian group(II) x is associative(III) distributive law a*(b+c) = a*b + a*c • Commutative a*b=b*a • Identity

  11. 환의 예 • 정수 Z, 유리수 Q, 실수 R, 복소수 C • Z/nZ • Z(D)={a+b D: a, b  Z} • Hamiltonian a+ b i + c j + d ki2=j2=k2=-1, ij = -ji=k, jk=-kj=I, ki=-ik=j

  12. 환의 예 • 다항식환 polynomial ringan x n + b n-1 x n-1 + … + a1 x + a0 • 행렬환 (aij)(a ij) + (bij) = (aij+ bij) (a ij) (bij) = ( kaik bkj)

  13. 모듈 Module • (M, +, R)(M, +) abelian group, R ringR x M -> M (a) (r+s)m= rm + sm (b) (rs)m = r(sm) (c) r(m+n) = rm + rn 1m = m

  14. 모듈의 예 • 벡터공간 • 아벨군 ZnZmZkZZZZ • 텐서곱 GH • 0 -> A -> B -> C ->0exactness • HomologyA-> B-> C-> D-> E-> F ->0

  15. 체(Field) • Commutative ring Fidentity e for *, inverse for F-{0} • R, Q • Z/pZ p는 소수 • R(x), Q(x), Z/pZ(x) • Field extension K  F C = R + Ri  R

  16. 체 • Q + Q2 • Q( 2, 3)={a+b 2 + c 3 + d 6} • [K, F]=K의 차원

  17. 그리스 문제 • 자와 컴파스 만으로 • (1) 2배의 부피를 지닌 정육면체만들기 • (2) 각 삼등분하기 • (3) 원과 면적이 같은 정사각형만들기 • 이문제들은 다할수 없다 (일반적인경우)

  18. 그리스 문제의 해결 • 정리: 작도로 얻어지는 수 a 는 [F(a), F] = 2m 을 만족한다. • (I) [Q(32), Q] = 3. 즉 32는 작도할수 없다. • (II)  =60인경우. a3– 3a –1=0의 해를 구하는 것과 같다. [Q(a), Q]=3이므로 a를 작도할수 없다 (특정각은 가능하다. 예 180, 90등…) • (III) [Q(), Q]=  이므로 는 작도할수 없다.

  19. 아르키메데스 3등각법 1  /3

  20. 5차이상의 다항식 • 아벨, 갈로와 의 해결 • 오차이상의 다항식의 해를 가지는 체를 F’이라고 하면 [F’, Q]는 치환군을 대칭군으로 가지게 된다. 그러나 루트형식의 해를 가지면 군은 solvable해야한다. 그러난 5와 5이상의 치환군은 solvable이 아니다.

  21. 토의 • 추상화된 수학의 시작점은 무엇이라고 생각하는가? • 추상화된 수학의 문제점은 무엇인가? • 추상화된 수학의 장점은 무엇인가? • 군, 환, 모듈, 체의 과거, 현재, 미래 응용은 무엇인가?

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