第二章 实数理论
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第二章 实数理论. 郇中丹 2006-2007 年度第一学期. 为什么要讲实数理论. 以往教材上关于实数处理的方式 : 以 Dedekind 分割或 Cauchy 基本列方式定义 以公理化方式定义实数来回避直接定义实数 上述处理方式的缺陷 : 分割和基本列的方式定义需要引入一系列的工具,并且与中小学教材脱节 公理化的方式使得学生困惑 : 实数变的难以理解了 应当与中小学教材衔接并讲清实数 : 讲清十进小数. 实数理论. §1 数系理论发展简史 §2 定义实数遇到的困难 §3 我们如何定义实数 §4 有理数系的性质 §5 实数定义

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第二章 实数理论

郇中丹

2006-2007年度第一学期


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为什么要讲实数理论

  • 以往教材上关于实数处理的方式:

    • 以Dedekind分割或Cauchy基本列方式定义

    • 以公理化方式定义实数来回避直接定义实数

  • 上述处理方式的缺陷:

    • 分割和基本列的方式定义需要引入一系列的工具,并且与中小学教材脱节

    • 公理化的方式使得学生困惑: 实数变的难以理解了

  • 应当与中小学教材衔接并讲清实数: 讲清十进小数


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实数理论

  • §1 数系理论发展简史

  • §2 定义实数遇到的困难

  • §3 我们如何定义实数

  • §4 有理数系的性质

  • §5 实数定义

  • §6 实数的完备性

  • §7 实数的运算性质

  • §8 记号和实数的进一步性质


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§1 数系理论发展简史

  • 有趣的现象

  • 实数理论简史

  • 引入实数的方法

  • 数系理论


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有趣的现象

  • 数的使用几乎与人类的历史一样长, 有人通过观察推断: 动物有数感. 在人类文明史中, 数的概念是逐步扩展开来的. 然而数的严格意义上的理论直到在十九世纪后半叶才完成.

  • 虽然欧几里德几何原本中已经讨论了可公度比和无公度比,但没有定义什么叫无公度比的相等

  • 建立数系理论为了完善数学分析理论

  • 建立数系理论是要保证数学的真实性,非欧几何的出现,几何失去了其真实性;数学在哲学意义上的真实性应当建立在算术基础上 (Gauss 1817)


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实数理论

  • 是指以有理数系为基础建立实数理论

  • 以往的直观想法: 有理数的极限, 然而必须先存在才能谈极限

  • William R. Hamilton, 1833, 1835提出无理数的第一个处理, 以时间作为实数的基础.提出用将有理数分成两类的方法定义无理数

  • Weierstrass (1857), Méray (1869) Dedekind (1872), Cantor (1873)

  • (来源于Kline IV P46-47)


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引入实数的方法

  • Weierstrass: 有自然数出发定义正有理数,然后用无穷多个有理数集合定义实数

  • Dedekind: 有理数分割

  • Canter: 有理数基本列等价类


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数系理论

  • 欧几里德的《几何原本》中的比例理论以及讨论了现在有理数中的相关结果,但是在比例线段的术语下讨论的.

  • Muller 1855《一般算术》和Grassmann 1861《算术》中有讨论, 但是讲得不清楚

  • Peano 1889《算术原理新方法》引入Peano公理系统解决了这个问题。他用了许多符号: , 和N0表示自然数集。


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§2 定义实数遇到的困难

  • 如何从有限小数过渡到无限小数

  • 基本想法都是利用有理数序列逼近(极限),这就有两个问题

    • 引入序列和极限等相关的概念

    • 即便如此, 也要先定义清楚作为极限的实数

  • 虽然知道实数的众多性质, 如何写出一个逻辑上正确、清晰和不难接受的实数理论仍然有待努力


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§3 我们如何定义实数

  • 与中学实数定义衔接,用十进小数定义实数系,然后建立相关的性质

  • 建立实数的序

  • 建立实数的完备性

  • 利用有理数的运算和实数的完备性定义实数的运算


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§4 有理数系的性质

  • 自然数系及其运算

  • 有理数系的建立

  • 有理数的运算性质

  • 有理数的序性质和稠密性质

  • 有理数的不完备性


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自然数系及其运算

  • 已经完成了逻辑地引入自然数系N={0,1, 2,…}的过程(上一章引入的)

  • 加法运算就是数数,乘法运算就是一类特殊数数的方法.

  • 减法: 对小的数加多少的到大的数

  • 除法: 分组

  • 带余除法: 确定组数和余数

  • 归纳法是论证工具


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有理数系Q的建立

  • 有理数可以看成是由为了在自然数系中加、减、乘和除封闭而得到的最小集合

  • 自然数到有理数的逻辑扩展:

    • 由自然数及其笛卡尔积建立整数使得加、减、乘封闭;

    • 由整数及其笛卡尔积建立有理数使得加、减、乘和除封闭

  • 自然数到有理数的直观扩展: 引入负数和所有正整数份数


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有理数的运算性质

  • 加法和乘法满足交换律: a+b=b+a, ab= ba与结合律:a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)= (ab)c

  • 乘法与加法之间满足分配律:

    a(b+c)= ab+ac

  • 0是加法零元: a: a+0=a

  • 1是乘法单位元: a: a1=a

  • 每个数a有负数-a: a+(-a)=0

  • 每个非零数a有倒数1/a: a(1/a)=1


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有理数序的三歧性和稠密性

  • 有理数序的三歧性: a,bQ, 则a<b, a=b, a>b中有且仅有一种情形成立

  • 序与加法和乘法的关系:

    • a,b,cQ, a>b a+c>b+c

    • a,b,cQ且c>0, a>b ac>bc

  • 记号: ab表示a<b或a=b; ab表示a>b或a=b

  • 有理数的稠密性: a,bQ, a<b, cQ: a<c<b


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有理数的不完备性

  • 上界: 设AQ, A, 若bQ使得aA, ab, 就称b为A的一个上界, 并且说A是有上界的

  • 上确界:设AQ, A, bQ叫做A的上确界, 如果(1) b是A的上界, (2) c<b, aA, a>c

  • 上确界的惟一性

  • 序的完备性: 任何有上界的集合都有上确界

  • 有理数的不完备性: 存在有理数有上界而没有上确界的非空子集:

  • 例如{aQ | a>0, a^2<2} (习题)


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§5 实数定义

  • 实数的十进小数定义

  • 有理数的十进小数表示

  • 实数的序


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实数的十进小数定义

  • 实数的十进小数定义: 实数集合R定义为:

    {x:NZ|n>0,x(n){0,…,9};k>0,n>k, x(n)<9}

  • 为了回归中学的习惯, 引入下列术语:

    • x(0)叫作实数x的整数部分, 记作[x];

    • k>0, x(k)叫作x的第k位小数, 记作xk ;

    • x也写成: x=[x]+0.x1x2…

    • 记{x}= 0.x1x2…叫作x的小数部分

    • n>0, sn(x)=[x]+0.x1x2…xn叫作x的n位小数(舍值)近似, 也记s0(x)=[x]


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有理数的十进小数表示

  • 如果aZ, 自然地对应x: x(0)=a, k>0, x(k)=0

  • aQ, 如果a有十进小数表示: a=p+0.a1…an, 对应的x: x(0)=p,0kn, x(k)=ak, k>n, x(k)=0.称之为有限小数, 用Qf表示R中所有有限小数的集合.R中的其他数叫无限小数.

  • aQ, 其十进小数是无限的, 则其十进小数是循环小数, 有引入有理数十进小数方式, 其十进小数不会有9循环(习题), 如此a=p+0.a1…an …自然对应x: x(0)=p,k>0, x(k)=ak

  • 注意这里用到整数部分而可能引起的与中学十进小数表示的差异


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实数的序

  • 实数序的定义: x,yR, x<y, 如果nN:x(n) < y(n), 当n>0时, k<n, x(k)=y(k). 也叫y>x

  • 注: 当x,y是有限小数时, 与有理数中的序一致

  • 实数的序具有三歧性: x,yR, 则x<y, x=y, x>y中有且仅有一种情形成立

  • 证明: 任取x,yR,

    • 若x=y, 由整数序的三歧性, 不会有x<y或x>y成立;

    • 若xy, 则nN:x(n)y(n), 有归纳法,可设n是满足这一性质的最小自然数, 因而由实数序的定义和整数序的三歧性可得有且仅有x<y或x>y中的一个成立.


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§6 实数的完备性

  • 实数集的上界和上确界

  • 实数的完备性

  • 实数完备性的推论

  • 常用记号和名词


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实数集的上界和上确界

  • 上界: 设AR, A, 若bR使得aA, ab, 就称b为A的一个上界, 并且说A是上有界的

  • 上确界:设AR, A, bR叫做A的上确界, 如果(1) b是A的上界, (2) c<b, aA, a>c

  • 事实1: 确界的惟一性

  • 事实2: 整数子集具有完备性,并且上确界在所讨论的集合中


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实数的完备性(I)

  • R的非空有上界的子集必有上确界.

  • 证明: 设AR非空且有上界. 取定A的一个上界z. 下面归纳地构造A的上确界b.

  • 1. 考虑整数集合A0={x(0) | xA}, 则x(0)z(0). 由整数序的完备性, A0有在其中的上确界b0. 即存在xA, x(0)=b0. 很自然地, b0R.若b0是A的上界,取b=b0就得到了上确界.否则考虑整数集

    A0={x(1)|xA, x>b0}

    且A0有上界9


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实数的完备性(II)

  • 2.然后重复上面的步骤做下去,在第k步得到b0+0.b1…bk满足下列性质:

    • xA, x(0)b0, xA满足x(0)=b0;

    • h=0,…, k-1, Ah={x(h+1)| xA, x>b0+0.b1…bh}

    • h=1,…, k-1, bh+1是Ah的上确界并且xA满足x(n)=bn, n=0,…,h

  • 若b0+0.b1…bk是A的上界,令b=b0+0.b1…bk.就得到了上确界,否则考虑整数集

    Ak={x(k+1)|xA, x>b0 +0.b1…bk}

    其有上界9, 设bk+1为Ak的上确界,则xA满足x(h)=bh, h=1,…, k+1. 由归纳法就得到


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实数的完备性(III)

  • 3. 下列两种可能性之一必成立: (1) A有有限小数上确界b=b0+0.b1…bn; (2) 得到b: NZ, b(0) =b0Z, k>0, b(k)=bk{0,…,9},有无限多个bk 0, 满足

    • xA, x(0)b0, xA满足x(0)=b0;

    • hN, Ah={x(h+1)| xA, x>b0+0.b1…bh}

    • h N, bh+1是Ah的上确界并且xA满足x(n)=bn, n=0,…,h

      下面证明, 由b可以构造出A的上确界.


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实数的完备性(IV)

  • 4. 考虑两种情形: (1) 存在k>0, nk, bk= 9, 如果k>1, bk-1 <9; (2) 有无限多个bk 9. 下面分别讨论这两种情况:

  • 5. 假设(1)成立. 若k=1, 令b= b0+1 (为整数); 若k>1, 取b= b0+0.b1…bk-1+1.为简单这里仅给出k=1时的证明, k>1情形的证明留作习题.

  • 由xA, x(0)b0<b=b(0)可得b是A的上界.

  • 下面证明b是A的上确界, 任取cR, c<b, 如果c(0)<b0, 由b0的定义, xR有x(0)=b0>c(0),则x>c. 如果c(0)=b0, 由m>0, c(m)<9. 由b的定义, xR,x(0)= b0,j=1,…,m, x(j)=9, 则x>c. 因此b是A的上确界.


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实数的完备性(V)

  • 6. 假设(2)成立, 则bR. 令b=b. 首先说明b是上界. 用反证法, 若b不是A的上界,则xA, x>b, 这就存在k0, j<k, x(j)=b(j)= bj, x(k)>b(k)=bk,这与bk的取法矛盾.

  • 证明b是A的上确界: 任取cR, c<b,则存在k0, j<k, c(j)=b(j)=bj, c(k)<b(k)=bk,由bk的取法, x A满足jk, x(j)=b(j)=bj, 由实数序的定义, x>c. 这就得到b是A的上确界.

  • 这样实数的完备性就建立了. #


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实数完备性的推论

  • 实数集的下界和下确界:

    • 设AR, A, 若bR使得aA, ab, 就称b为A的一个下界, 并且说A是下有界的

    • 设bR是AR的下界, 如果c>b, aA, a<c, 就称b为A的下确界

  • 推论1. R的非空有下界的子集必有下确界.

  • 推论2. R的非空子集的上确界和下确界是惟一的(即至多只有一个).

  • 上述两个推论的证明留作习题.


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常用记号和名词

  • 集合A的上,下确界分别记为sup A和inf A, 有时也分别叫作A的最小上界和最大下界

  • 如果sup AA, 称sup A为A的最大数, 记sup A为max A; 类似地, 当inf AA时, 称之为A的最小数, 记为min A.

  • 当集合A没有上界时, 记sup A=+ (或), 也说A的上确界是正无穷;类似地, 若集合A无下界, 记inf A=-,说A的下确界是负无穷

  • 如果A上下都有界, 就说A是有界的. 否则就说A无界.


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上确界的简单性质

  • 设A, B是R的非空子集. 则

  • 1. 若AB, 则sup A  sup B;

  • 2. 若xA, yB满足xy,则sup A  sup B; 特别若A={xa | aI}和B={ya | aI}满足xaya,则sup A  sup B;

  • 3. xR, x=sup{sn(x) | nN}.


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§7 实数的运算性质

  • 加法定义

  • 负元和减法

  • 实数的符号和绝对值

  • 乘法定义

  • 倒数和除法


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加法定义

  • 定义: 设x,yR. 定义x与y的和为

    x+y=sup{sn(x)+sn(y) | nN}

  • 这个定义是有意义的: 集合{sn(x)+sn(y) | nN} , 且有上界[x]+[y]+2.

  • 当x,yQ为有限小数时, 上述加法与有理数的加法一致.


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负元和减法

  • 负元: 设xR.

  • 若x为有限小数,即存在k: x(k)>0, 而n>k, x(n)=0. 负元-x定义为:

    • k=0时, (-x)(0)=-x(0), (-x)(n)=0

    • k>0时, (-x)(0)=-x(0)-1, (-x)(k)=10- x(k); n{1,…,k-1}, (-x) (n) =9-x(n); n>k, x(n)=0;

      即k=0时-x=-[x]; k>0时-x=-[x]-1+0.(9-x1)…(9-xk-1)(10-xk)

  • 若x为无穷小数, 负元-x定义为: (-x)(0)=-x(0)-1, n>0, (-x)(n)=9-x(n).

  • 定义: 设x,yR. 定义x与y的差x-y为x+(-y).

  • 命题1: xR, -(-x)=x, x+(-x)=0.


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实数的符号和绝对值

  • 符号函数sgn: xR, 若x>0, sgn(x)=1; 若x<0, sgn(x)=-1, sgn(0)=0.

  • 绝对值函数: xR, 如果x0, x的绝对值|x|=x, 否则|x|= -x

  • 定义: 1x=x1=x, (-1)x=x(-1)=-x, 0x= x0=0

  • 命题: (1) |x|=x sgn(x)=xsgn(x); (2) x=|x|sgn(x) =xsgn(x)

  • sn(x)  A A若bR


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乘法定义

  • 非负实数的乘法: x, yR, x0, y0, 定义x与y的乘积为: xy=xy=sup{sn(x)sn(y) | nN}

  • 这个定义是有意义的: 集合{sn(x)sn(y) | nN} , 且有上界([x]+1)([y]+1).

  • 一般情形: xy=xy=sgn(x)sgn(y)|x||y|

  • 当x,yQ为有限小数时, 上述乘法与有理数的乘法一致.


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倒数和除法

  • 倒数: 对于xR, x0. 当x>0时, x的倒数定义为: 1/x=sup{sn[1/(sn(x)+10^{-n})]|nN}; 当x <0时, x的倒数为: 1/x=-1/|x|.

  • 除法: 对于x, yR, y0, 定义x与y的商为xy=x1/y.

  • 命题 2:  xR, x0, x1/x=1.


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实数的运算性质

  • 加法和乘法满足交换律: a+b=b+a, ab= ba与结合律:a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)= (ab)c

  • 乘法与加法之间满足分配律:

    a(b+c)= ab+ac

  • 0是加法零元: a: a+0=a

  • 1是乘法单位元: a: a1=a

  • 每个数a有负数-a: a+(-a)=0

  • 每个非零数a有倒数1/a: a(1/a)=1


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实数序的三歧性和稠密性

  • 实数序的三歧性: a,bR, 则a<b, a=b, a>b中有且仅有一种情形成立

  • 序与加法和乘法的关系:

    • a,b,cR, a>b a+c>b+c

    • a,b,cR且c>0, a>b ac>bc

  • 记号: ab表示a<b或a=b; ab表示a>b或a=b

  • 实数的稠密性: a,bR, a<b, cR\Q, dQ, a<c<d<b.


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实数的运算性质的证明

  • 系统的证明留作讨论班的内容,作为同学有余力时研究的一个问题

  • 实数运算性质的证明(附录)

  • 实数序性质的证明(附录)


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习题三 (I)

  • 1. 证明: {aQ | a>0, a^2<2}是Q中的有上界的非空集合, 但在Q中没有上确界.

  • 2.设x,yR. 证明{sn(x)+sn(y) | nN}, 且有上界[x]+[y]+2.

  • 3. 证明: xR, -(-x)=x, x+(-x)=0.

  • 4. 证明实数的稠密性: a,bR, a<b, cR\Q, dQ, a<c<d<b.

  • 5. 证明有上界的非空整数子集有在其中的上确界.


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习题三 (II)

  • 6. 设xR, x0. 证明: x  (1/x)=1.

  • 7. 证明确界的惟一性、上确界是最小上界和下确界是最大下界.

  • 8. 设A, B是R的非空子集. 证明:

  • (1) 若AB, 则sup Asup B;

  • (2)若xA,yB满足xy,则supAsupB;特别若A= {xa|aI}和B={ya|aI}满足xaya |,则supAsupB;


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习题三 (III)

  • (3)infA=-sup(-A),supA=-inf(-A),

    其中-A={-x|xA};

  • (4)inf{xa|aI}+inf{ya|aI}inf {xa+ya|aI}

    sup {xa+ya|aI}sup{xa|aI}+sup{ya|aI}

  • 9. xR, x=sup{sn(x) | n  N}.

  • 10.证明: a,bR,如果ab与ab同时成立,则a=b.

  • 11. 给出循环小数的定义. 证明: 循环小数自然地等于一个有理数; 反之亦然.


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§8 记号和实数的进一步性质

  • 确界的e刻划

  • 记号

  • 实数集的分离性

  • 闭区间套

  • 收缩闭区间套


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确界的e刻划

  • 上确界: bR为集合A的上确界当且仅当:  e >0, xA, 使得x> b-e.

  • 下确界: aR为集合A的下确界当且仅当:  e >0, xA, 使得x< a+e.

  • 无上界: 非空集合A无上界当且仅当: M>0, xA, 使得x>M.

  • 无下界: 非空集合A无下界当且仅当: M>0, xA, 使得x<-M.


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记号

  • 区间: a, bR, a<b,

    • 有限开区间: (a,b)={xR | a<x<b}

    • 有限闭区间:[a,b]={xR | a  x  b}

    • 有限半开区间: [a,b)={xR | a  x <b}, (a,b]

    • b-a称为有限区间(a,b), [a,b], [a,b)和(a,b]的长度

    • 无限区间: (a,+) ={xR | x>a}, (-,a) ={xR | x<a}, R= (-,+), [a,+) ={xR | xa}, (-,a]

  • 邻域: aR, (a-e,a+e)={xR | |x-a|< e}称为a的e邻域(简称邻域)

  • 空心邻域: aR, (a-e,a+e)\{a}={xR|0<|x-a|<e}称为a的e空心邻域(简称空心邻域)


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实数集的分离性

  • 命题1. 设 A, BR非空. 如果aA, bB, 都有ab, 则c满足: aA, bB, acb.

  • 证明: 取定bB, 由aA, ab可知A有上界,由完备性, c=sup AR. 在利用B的每个点都是A的上界和c是A的最小上界, 就有bB, cb.#


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闭区间套

  • 闭区间套: 非空闭区间族M叫作闭区间套, 如果D1, D2M, D1D2与D2D1中必有一个成立.

  • 闭区间套引理: 任何闭区间套的所有闭区间一定有公共点, 即这些闭区间的交集不空.

  • 证明: 设M是个闭区间套.

  • 1. 先证明M中的任何闭区间的左端点小于M中任何闭区间的右端点. 任取[a,b], [c,d]M, 要证a<d. 若[a,b][c,d], a<bd; 若[c,d][a,b], ac< d.

  • 2. 取A={a|DM,D=[a,b]}和B={b|DM, D=[a, b]}. A, B满足命题1的条件, 由此引理得证.#


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收缩闭区间套

  • 定义: 设M是个闭区间套. 如果e>0, [a,b]M, b-a<e, 就称M为收缩闭区间套.

  • 收缩闭区间套引理: 收缩闭区间套(的所有闭区间)只有一个公共点

  • 证明: 用反证法证明, 如果存在两个不同的公共点x,y, 设x<y. 令e=y-x(>0).由收缩闭区间套定义, [a,b]M, b-a<e,由x,y[a,b], e=y-xb-a<e,#

  • 命题: 任何闭区间套的闭区间都能利用其端点定义一个序, 使得序号小的包含序号大的.


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习题四 (I)

  • 1. 证明:任何闭区间套的闭区间都能利用其端点定义一个序, 使得序号小的包含序号大的.

  • 2. 证明确界的惟一性、上确界是最小上界和下确界是最大下界.

  • 3. 证明: a, bR, 如果ab与ab同时成立, 则a=b.


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习题四 (II)

  • 4. 设A, B是R的非空子集. 证明:

    • (1) 若AB, 则sup A  sup B;

    • (2) 若xA, yB满足xy,则sup A  sup B; 特别若A={xa | aI}和B={ya | aI}满足xaya,则sup A  sup B;

    • (3) inf A=-sup(-A), sup A=-inf (-A), 其中-A={-x | x  A};

    • (4) inf{xa| aI}+inf{ya | aI}{xa+ ya | aI} sup{xa | aI}+sup{ya | aI}.

  • 5. xR, x=sup{sn(x) | nN}.

  • sn(x)  A A若bR   


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