Chapter 8

1. Chapter 8 異質性

2. 異質性 • 複迴歸，其同質性假設，都是假設條件於自變數之未觀測誤差u的變異數為一常數。當解釋變數在不同值的情況下，使得u 的變異數也隨之變動，這將導致同質性假設失效；例如，在儲蓄函數中，影響儲蓄的未觀測因素的變異數會隨著收入的增加而增加，此時異質性情況就會出現。 <例，所得越高的家庭，其家庭儲蓄的差異性也會越高，因此，所得與儲蓄的分佈圖，在所得越高的地方，會越分散。> CH8 異質性 第323頁

3. 異質性 • 無論是大樣本或是小樣本，要讓t檢定、F檢定及OLS 下的信賴區間可以使用，必須做同質性假設。在本章，我們將討論在異質性發生時可能的解決方法，我們也將指出如何檢定異質性的存在。一開始我們簡單地回顧以前在OLS 估計下出現異質性的情況。 Recall: p110, MLR.5 同質變異性 CH8 異質性 第323頁

4. 8.1 OLS 異質性的結果 • 考慮線性複迴歸模型： • 異質性並不會引起OLS 估計式的偏誤或不一致性，若忽略掉某個或某些重要變數才會造成偏誤或不一致性。 ＜P323, 在高斯馬可夫假設MLR.1 ~ MLR.4之下，可證明OLS估計式具不偏性及一致性，故MLR.5 對於不偏及一致不具影響力。＞ 8.1 CH8 異質性 第323頁

5. 8.1 OLS 異質性的結果 • 配適度的衡量，即R2或的解釋也不會受到異質性的影響。 ＜模型的配適度是指解釋的能力(Xs)，而各個解釋變數不受誤差項影響。＞ • 既然，不影響估計式的不偏、一致性及配適度，那模型具異質性會怎樣！？？ • 由於OLS 的標準誤是基於這些變異數，它們也就不再能夠有效的建構出信賴區間或t 統計量了。 • 在異質性下，普通OLS 的t統計量並沒有t分配，且不會因為「大樣本」就能解決這個問題。 • 若有異質性，則我們在高斯馬可夫的假設下用來檢定的統計量全都失效的。＜沒法做檢定啦！！＞ CH8 異質性 第324頁

6. 8.2 估計OLS 後之異質穩健的推論 • 因為假設檢定對於任何一種計量分析都是重要的一環，且普通OLS 的推論在模型存在異質性的情況下會發生錯誤，我們必須決定是否要完全放棄OLS。 • OLS 仍然是有用的。在最近20 年內，計量經濟學家已經發現如何調整標準誤、t、F以及LM統計量，經過調整後可以使得這些工具在模型存在有未知形式的異質性(heteroskedasticity of unknown form)的情況下仍能發揮作用。 CH8 異質性 第324-325頁

7. 8.2 估計OLS 後之異質穩健的推論 • 這個發現是非常有用且便利的，因為它使我們在進行研究時可以忽略異質性的問題而提出有用的統計量。這種方法稱為異質穩健(heteroskedasticity-robust) 程序，因為這個程序在不知道模型誤差項的變異數是否固定的情況下是能夠發揮作用的(至少在大樣本的條件下是有用的)，且並不需要去判斷誤差是否真有異質性的問題。 CH8 異質性 第325頁

8. 8.2 估計OLS 後之異質穩健的推論 • 使用單一獨立變數來考慮這個模型，為強調起見，我們利用i作為下標：＜不同的i 表示不同的觀察對象＞ yi = β0 + β1xi +ui • 假定高斯馬可夫的前四項假設成立。若誤差項有異質性，則 其中我們使用2下標i指出誤差項的變異數依賴個別xi的值來決定。 CH8 異質性 第325頁

9. 8.2 估計OLS 後之異質穩健的推論 • 將OLS 的估計式寫為： CH8 異質性 第325頁

10. 8.2 估計OLS 後之異質穩健的推論 • 在MLR.1 至MLR.4 成立之下(意指，沒有同質性假設)，條件於樣本中個別xi的值， <from p57, (2.52)式> 其中 是所有xi項的總平方和。 8.2 CH8 異質性 第325頁

11. 8.2 估計OLS 後之異質穩健的推論 • 對所有i 當時，這個公式可以簡化為2/SSTx。 • 將定義為y對x迴歸式中的OLS 殘差項，在任何異質性的形式下(包含同質性)，一個有效的 估計式為： 8.3 CH8 異質性 第326頁

12. 8.2 估計OLS 後之異質穩健的推論 • 一般化複迴歸模型中可以得到類似的公式 y= β0 + β1x1 + … + βkxk + u • 在MLR.1 至MLR.4 成立下，可證明的一個有效力的估計式為： • 其中定義為xj對其他獨立變數迴歸，式中的第i個殘差，且SSRj是此迴歸式的殘差項平方和。(8.4) 式的值開根號後可以得到 的異質穩健標準誤 (heteroskedasticity-robust standard error)。 8.4 CH8 異質性 第326頁

13. 8.2 估計OLS 後之異質穩健的推論 • 建立一個異質穩健t統計量(heteroskedasticity-robust t statistic) 是非常容易的。可以藉由一般化t統計量來表示： • 一般OLS 的t 統計量與異質穩健t統計量的唯一差異在分母中標準誤的計算方式。 • 異質穩健F統計量(heteroskedasticity-robust F statistic) 又可稱為異質穩健Wald 統計量。 8.5 CH8 異質性 第327.329頁

14. 8.2 估計OLS 後之異質穩健的推論 練習 　課本 p 327 範例8.1 計算異質穩健標準誤 CH8 異質性 第330頁

15. 8.2 估計OLS 後之異質穩健的推論 • 總而言之，誤差項具異質性，對於估計式的不偏性、一致性及配適度皆無影響；但是～～若要再進一步從事統計相關的推論時，則因為估計式的標準誤是有偏誤的，無法做任何的檢定！ • 話雖如此，但是～～只要調整具偏誤的估計式標準誤，還是能從事統計推論。 • 問題來了：此處介紹的調整過程對同學而言：太難了！！難道，要放棄了嗎！？ CH8 異質性 第330頁

16. 計算異質穩健LM檢定 • 並不是所有的迴歸軟體都可以算出穩健於異質性的F 統計量。因此，有時候有一個穩健於異質性且不需要特殊的計量軟體就可以對多個排除性限制做檢定的方法是很方便的。我們可利用任何迴歸軟體求得異質穩健LM統計量(heteroskedasticityrobust LM statistic)。 CH8 異質性 第330頁

17. 計算異質穩健LM檢定 • 為了計算穩健LM統計量，我們先建立一個迴歸模型： y= β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 +β4x4 + β5x5 + u 且假設我們要做H0:β4 = 0, β5 = 0的檢定。 CH8 異質性 第330頁

18. 計算異質穩健LM檢定 • 在整理之後可以得到異質穩健LM 統計量一般化的步驟如下。 異質穩健LM統計量： • 由受限制的模型中得到 。 • 將欲排除的獨立變數對其他未排除的獨立變數作迴歸，如果有q個排除變數，則有q組殘差 。 CH8 異質性 第331頁

19. 計算異質穩健LM檢定 異質穩健LM統計量： • 得到每一個以及的乘積(對所有觀察值)。 • 作1 對的沒有截距項的迴歸式，且異質穩健LM統計量為n－SSR1 ，其中SSR1就是這個最後迴歸的殘差平方和。在虛無假設H0下，LM的分配接近。 CH8 異質性 第331頁

20. 計算異質穩健LM檢定 練習 　課本 p 331 範例8.3 異質穩健LM統計量之計算 CH8 異質性 第331頁

21. 小結： 當模型的誤差項具有異質性時＜利用OLS所求得的估計式不會影響其不偏性、一致性及配適度＞： • 檢定單一解釋變數是否具有解釋能力＜一般而言，我們都會用 t 檢定＞，需要調整估計式的變異數，以求得異質穩健標準誤，進一步計算調整後的 t 檢定統計量。 • 檢定二個（含）以上的變數是否同時具解釋能力＜一般而言，我們都會用 F 檢定＞，此時可計算異質穩健 LM 統計量＜與卡方查表值比較＞即可。 CH8 異質性 第331頁

22. 8.3 異質性的檢定 • 當模型具異質性時，我們已經有辦法經由調整再進一步做統計推論。 • 但是，要如何知道模型的誤差項是否具異質性呢！？ • 利用檢定的方式，若檢定結果呈現具異質性，才需要調整後再推論；否則，便回到以前最簡單的 t 檢定及 F 檢定即可！ CH8 異質性 第332-333頁

23. 8.3 異質性的檢定 • 異質穩健標準誤可以在不確定迴歸模型是否存在異質性的情況下，提供一個計算為漸近t分配之t 統計量的簡單方法。我們也可以計算出異質穩健F以及LM統計量。 • 適用這些檢定並不需要知道異質性是否存在。然而，仍然有許多理由來解釋異質性檢定方法的重要性。 • 第一，在古典線性迴歸模型假設下，一般t統計量服從確切的t 分配。 • 第二，假如存在有異質性，則OLS 估計式將不再是最佳線性不偏估計式。 CH8 異質性 第332-333頁

24. 8.3 異質性的檢定 • 由下列迴歸方程式開始 • 檢定過程中的虛無假說是同質性的假設MLR.5 成立 • 假設誤差的條件期望值等於零，可以得到Var(u|x) =E(u2|x)，故同質性的虛無假設可以寫成 8.10 8.11 CH8 異質性 第333頁

25. 8.3 異質性的檢定 • 一個簡單的方法是先假設一個直線方程式： • 同質性的虛無假說為： • 無法得知母體真實的誤差項，但是對於觀察值i 可以藉由OLS 殘差估計式，，作為一個合理的母體誤差項ui的估計。因此，可估計方程式 8.12 8.13 8.14 CH8 異質性 第333-334頁

26. 8.3 異質性的檢定 • F統計量可以寫成 8.15 CH8 異質性 第334頁

27. 8.3 異質性的檢定 • 有異質性的LM統計量為樣本大小乘上(8.14) 式的R2 ： • LM的檢定方式又可以稱為Breusch-Pagan 檢定(BP 檢定)，Breusch 及Pagan (1979) 在假設誤差為常態分配下提出了一個不同形式的檢定。Koenker (1981) 則提出(8.16) 式的LM統計量，由於較大的可應用性，所以較受歡迎。 8.16 CH8 異質性 第334-335頁

28. 8.3 異質性的檢定 關於BP 檢定方法： • 利用OLS 估計(8.10) 迴歸式並求得OLS 殘差項的平方 。 • 估計(8.14) 迴歸式，並求出。 • 求出F或LM 統計量及對應的p值(前者用Fk, n－k － 1分配，後者用分配)。若p值夠小，亦即，其小於所選定的顯著水準，則拒絕同質性的虛無假設。 CH8 異質性 第335頁

29. 8.3 異質性的檢定 練習 　課本 p 335 範例8.4 BP檢定（檢定模型的誤差項是否具異質性） CH8 異質性 第335頁

30. 異質性的White 檢定 • 同質性假設Var(u1|x1, ..., xk) = 2是可以被u2與所有自變數xj 、自變數平方 以及所有的交叉項(xjxh, j ≠ h) 無關的較弱假設取代。 • 假定有一個包含三個獨立變數(k = 3) 的迴歸式，White 檢定是基於下列的估計式： 8.19 CH8 異質性 第336頁

31. 異質性的White 檢定 • 異質性的White 檢定(White test for heteroskedasticity)是用來檢定除了截距項之外，(8.19) 式所有的δj值皆為0 的LM統計量。因此，在這種情況有九個限制要檢定。對此假設也可用F檢定；這二種檢定在大樣本下都是可行的。 • 太多獨立變數是純粹White 檢定的一個弱點：它在有限個獨立變數的模型中用了太多自由度。 • 可透過估計以下方程式來檢定異質性 8.20 CH8 異質性 第337頁

32. 異質性的White 檢定 • 何以原本複雜的檢定估計式可以利用配適值及配適值的平方即可！？ • 若我們假定配適方程式為： • 則平方項為＜同時具有平方項及交叉項＞： CH8 異質性 第337頁

33. 異質性的White 檢定 異質性的White 檢定之特例： • 用OLS 估計模型(8.10)。求得OLS 殘差和配適值。計算殘差平方和配適值平方。 • 做(8.20) 式的迴歸。求出迴歸的R平方值， 。 • 求出F或LM 統計量，並計算p值(前者用F2,n3分配，而後者用分配)。 CH8 異質性 第338頁

34. 異質性的White 檢定 練習 　課本 p 338 範例8.5 White檢定（檢定模型的誤差項是否具異質性） CH8 異質性 第338頁

35. 小結： • 當我們不知道模型是否具有異質性時，應該先檢定模型。 • 檢定的方法有： • BP檢定 • White檢定 • 確定模型具異質性時，才需要經由調整方式進行統計上的相關推論。 CH8 異質性 第338頁

36. 以下小節skip • 一般同學可略過8.4及8.5小節 • 建議： • 若有同學日後確定考上研究所也決定會繼續往下念時，屆時請自行研讀此兩節，研究所的計量課程包含此部分！ CH8 異質性 第338頁