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Reed-Solomon 符号と擬似ランダム性

Reed-Solomon 符号と擬似ランダム性. 安永憲司 東京工業大学. 電子情報通信学会ソサイエティ大会＠大阪府立大学 2010 年 9 月 16 日. 誤り訂正符号. 誤りが発生しても訂正できるようにする. メッセージ. 符号語. Enc. m. c. Dec. c ’. m ’. 乱数抽出器. 偏りのある分布から一様分布を取り出す. 偏りのある系列. 出力系列. x. Ext. y. s. 短い一様乱数. 統計的に識別不能. 一様乱数. 擬似乱数生成器. 短い一様乱数から，長い擬似乱数系列を生成. 短い一様乱数. 出力系列.

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Reed-Solomon 符号と擬似ランダム性

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  1. Reed-Solomon 符号と擬似ランダム性 安永憲司 東京工業大学 電子情報通信学会ソサイエティ大会＠大阪府立大学 2010年9月16日

  2. 誤り訂正符号 • 誤りが発生しても訂正できるようにする メッセージ 符号語 Enc m c Dec c’ m’

  3. 乱数抽出器 • 偏りのある分布から一様分布を取り出す 偏りのある系列 出力系列 x Ext y s 短い一様乱数 統計的に識別不能 一様乱数

  4. 擬似乱数生成器 • 短い一様乱数から，長い擬似乱数系列を生成 短い一様乱数 出力系列 PRG s y 計算量的に識別不能 y 一様乱数

  5. ３つの共通点は？ • 誤り訂正符号（符号理論） • 乱数抽出器（情報理論） • 擬似乱数生成器（計算量理論）

  6. ３つの共通点は？ • 誤り訂正符号（符号理論） • 乱数抽出器（情報理論） • 擬似乱数生成器（計算量理論） 擬似ランダムオブジェクトであること

  7. 擬似ランダムオブジェクト • ランダムに構成すると，高い確率で，性能のよいものが得られる • ランダムネスを（なるべく）使わない，明示的構成法を示すことが目標

  8. 擬似ランダムオブジェクト • ランダムに構成すると，高い確率で，性能のよいものが得られる • ランダムネスを（なるべく）使わない，明示的構成法を示すことが目標 それだけなのか？

  9. Vadhanの考察 • 擬似ランダムオブジェクトを統一的に説明できる枠組みが存在 • Vadhan,“The unified theory of pseudorandomness” • 擬似ランダムオブジェクト • リスト復号可能符号（符号理論） • 乱数抽出器（情報理論） • 擬似乱数生成器（計算量理論） • エクスパンダグラフ（グラフ理論） • 困難性増幅器（計算量理論） など

  10. 統一的枠組み 関数 [N] 2 1 N ・・・ D 1 2 M ‥‥ [M] 集合と一致パラメータに対して，

  11. 統一的枠組み 関数 [N] 2 1 N ・・・ D 1 2 M ‥‥ [M] Tへ向かう辺の割合が εより大きいxの集合 集合と一致パラメータに対して，

  12. 統一的枠組み 関数 [N] 2 1 N ・・・ T 1 2 M ‥‥ ε = 1/2 [M] Tへ向かう辺の割合が εより大きいxの集合 集合と一致パラメータに対して，

  13. 統一的枠組み 関数 [N] 2 1 N ・・・ T 1 2 M ‥‥ ε = 1/2 [M] Tへ向かう辺の割合が εより大きいxの集合 集合と一致パラメータに対して，

  14. 統一的枠組み 関数 [N] 2 1 N ・・・ T 1 2 M ‥‥ ε = 1/2 [M] Tへ向かう辺の割合が εより大きいxの集合 集合と一致パラメータに対して，

  15. 統一的枠組み 関数 [N] 2 1 N ・・・ T 1 2 M ‥‥ ε = 1/2 [M] Tへ向かう辺の割合が εより大きいxの集合 集合と一致パラメータに対して，

  16. 統一的枠組み 関数 [N] 2 1 N ・・・ T 1 2 M ‥‥ ε = 1/2 [M] Tへ向かう辺の割合が εより大きいxの集合 集合と一致パラメータに対して，

  17. 統一的枠組み 関数 [N] 2 1 N ・・・ T 1 2 M ‥‥ ε = 1/2 [M] Tへ向かう辺の割合が εより大きいxの集合 集合と一致パラメータに対して，

  18. 擬似ランダムオブジェクトの統一的記述 • 各オブジェクトに対して，適切に関数を定義したとき，という条件によって，オブジェクトを特徴づけ可能

  19. 誤り訂正符号の定義 符号符号化関数 関数 例.

  20. 関数 [N] 2 1 N ・・・ q q q 1 1 1 ‥‥ ‥‥ ‥‥ [D] × [q]

  21. 関数 [N] 2 1 N ・・・ q q q 1 1 1 ‥‥ ‥‥ ‥‥ [D] × [q] 例.

  22. 関数 [N] 2 1 N ・・・ q q q 1 1 1 ‥‥ ‥‥ ‥‥ [D] × [q] 例.

  23. 関数 [N] 2 1 N ・・・ q q q 1 1 1 ‥‥ ‥‥ ‥‥ [D] × [q] 例.

  24. 関数 [N] 2 1 N ・・・ q q q 1 1 1 ‥‥ ‥‥ ‥‥ [D] × [q] 例.

  25. 関数 [N] 2 1 N ・・・ q q q 1 1 1 ‥‥ ‥‥ ‥‥ [D] × [q]

  26. リスト復号可能符号の定義 定義 目標 • D小さく ( D = O(n), n = log N) • ε小さく ( ε = O(1) ) • q小さく ( q = O(1) or poly(n) ) • K小さく ( K = poly(n) ) 符号がリスト復号可能 任意の受信語に対して， と以上の割合が一致するような の数がK以下

  27. リスト復号可能符号の統一的記述 命題 関数で定義される符号が リスト復号可能であるための必要十分条件は ただし，

  28. 乱数抽出器 乱数抽出器 Pr [N] Pr 偏りのある分布 Ext Pr [M] ほぼ一様な分布 [D] 短い一様分布

  29. 乱数抽出器の定義 定義 関数が乱数抽出器 最小エントロピー以上の任意のに対して Pr X 分布の 最小エントロピーが [N] Y Z Pr [M] T

  30. 乱数抽出器の定義 定義 関数が乱数抽出器 最小エントロピー以上の任意のに対して 目標 • k=αnornα( α ∈ (0, 1) ) • d=log D小さく ( d= O(logn) or polylog(n) ) • ε小さく ( ε = O(1) or o(1) ) • m= log Mk ( m ≈k + dが理想, m = Ω(k) or kΩ(1) )

  31. 乱数抽出器の統一的記述 命題 関数 　　　 , とするとき， 1. が乱数抽出器であれば (1) 2. 逆に，(1) が成り立つとき，は，乱数抽出器である

  32. 1. が乱数抽出器であれば (1) 証明: 2 1 N ・・・ T 1 2 M ‥‥ あるTが存在して，　　　　　　　　　　だとする．

  33. 1. が乱数抽出器であれば (1) 証明: K以上存在 2 1 N ・・・ T 1 2 M ‥‥ あるTが存在して，　　　　　　　　　　だとする．

  34. 1. が乱数抽出器であれば (1) 証明: K以上存在 2 1 N ・・・ T 1 2 M ‥‥ あるTが存在して，　　　　　　　　　　だとする． 上の一様分布X（最小エントロピー≥ k）を考える．

  35. 1. が乱数抽出器であれば (1) 証明: K以上存在 2 1 N ・・・ T 1 2 M ‥‥ あるTが存在して，　　　　　　　　　　だとする． 上の一様分布X（最小エントロピー≥ k）を考える． すると，XはTへ，以上の割合が入ってくるので， Tへ入ってくる割合を見れば，一様分布とε以上の確率で識別可能

  36. 比較

  37. Parvaresh-Vardy 符号にもとづく乱数抽出器 • Guruswami, Umans, Vadhan 2007 • 統一的記述を利用 • ほぼ最適な乱数抽出器を構成 • 既存の構成法に比べて格段にシンプル • PV 符号は Reed-Solomon 符号の一般化

  38. Guruswami, Umans, Vadhan2007の結果 定理 任意の定数α, ε > 0, 任意の整数n, kに対し， 乱数抽出器 の明示的構成法が存在． ただし， 証明のアイディア • エントロピーレートが高い場合（k/n = O(1) ），単純な構成でほぼ最適な乱数抽出器任意のエントロピーレートを扱うのが問題 • エントロピーレートを高くするもの濃縮器 • 最適な濃縮器をPV符号から構成

  39. 証明の流れ • 関数Γを PV 符号で定義無損失エクスパンダグラフ • 無損失エクスパンダグラフ≈ 無損失濃縮器 • 無損失濃縮器 + 高エントロピーレート用乱数抽出器ほぼ最適な乱数抽出器

  40. 証明の流れ • 関数Γを PV 符号で定義無損失エクスパンダグラフ • 無損失エクスパンダグラフ≈ 無損失濃縮器 • 無損失濃縮器 + 高エントロピーレート用乱数抽出器ほぼ最適な乱数抽出器 以下で簡単に説明

  41. エクスパンダグラフの定義 定義 左頂点集合[N]，右頂点集合[M]，左頂点次数Dの二部グラフGが (K, A)エクスパンダ サイズK以下の任意の左頂点集合S ⊆ [N]は， 隣接頂点集合のサイズがA |S|以上 A = (1 – ε) Dのとき，無損失エクスパンダ S ⊆ [N], |S| ≤ K 左頂点集合[N] D 右頂点集合[M] サイズ≥ A |S|

  42. PV 符号と RS 符号 とみなす ただし E(y) はn次既約多項式

  43. リスト復号の証明 r : 受信語 : rとε以上の割合が一致する符号語集合

  44. リスト復号の証明をエクスパンダの証明へ • 統一的記述におけるギャップ “頂点xのy番目の隣接頂点”

  45. リスト復号の証明をエクスパンダの証明へ • 統一的記述におけるギャップ “頂点xのy番目の隣接頂点” あるサイズ以下のTに対して この形をしたTに対して

  46. リスト復号の証明をエクスパンダの証明へ • 統一的記述におけるギャップ “頂点xのy番目の隣接頂点” あるサイズ以下のTに対して この形をしたTに対して PV 符号はエクスパンダグラフの条件も同様に証明可能

  47. まとめ • 擬似ランダムオブジェクトに対する統一的記述 • Vdhanによる考察 • リスト復号可能符号，乱数抽出器，擬似乱数生成器，エクスパンダグラフ，困難性増幅器，など • 共通点が見つかることで相違点も明らかに • Parvaresh-Vardy 符号にもとづく乱数抽出器 • Guruswami, Umans, Vadhan 2007 • PV 符号無損失エクスパンダ無損失濃縮器 • PV 符号の代数的性質によって，ほぼ最適な乱数抽出器をシンプルに構成代数的構造が強力な道具であることを証明！

  48. 今後の研究 • 統一的枠組みを，他の擬似ランダムオブジェクトに拡張可能か？ • 複数情報源の乱数抽出器 • 暗号論的擬似乱数生成器 • Cheraghchi, “Capacity achieving codes from randomness conductors” (ISIT 2009) • 乱数抽出器から BSC, BEC で通信路容量を達成する符号アンサンブル（quasipoly size）を構成

  49. [N] 2 1 N ・・・ |Σ| |Σ| |Σ| 1 1 1 ‥‥ ‥‥ ‥‥ [D] × Σ

  50. [N] 2 1 N ・・・ 1 2 M ‥‥ [M]

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