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要点梳理 1. 两种增长型函数模型的图象与性质. §2.9 函数模型及其应用. 基础知识 自主学习. 函 数. 性 质. 增函数. 增函数. 越来越快. 越来越慢. y 轴. x 轴. 2. 常用的几类函数模型 (1) 一次函数模型 f ( x )= kx + b ( k 、 b 为常数， k ≠0); (2) 反比例函数模型 ( k 、 b 为常数 , k ≠0); (3) 二次函数模型 f ( x )= ax 2 + bx + c ( a 、 b 、 c 为常数， a ≠0) ；
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要点梳理 1.两种增长型函数模型的图象与性质 §2.9 函数模型及其应用 基础知识 自主学习 函 数 性 质 增函数 增函数 越来越快 越来越慢
y轴 x轴 2.常用的几类函数模型 (1)一次函数模型f(x)=kx+b (k、b为常数，k≠0); (2)反比例函数模型 (k、b为常数,k≠0); (3)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c (a、b、c为常数， a≠0)； (4)指数函数模型f(x)=a·bx+c（a、b、c为常数， a≠0,b>0,b≠1）； (5)对数函数模型f（x）=mlogax+n（m、n、a为常 数，m ≠ 0,a>0,a≠1）;
3.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意3.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意 图表示为 4.实际问题中函数的定义域要特别注意,另外，结果 要回到实际问题中写答案.
基础自测 1.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税 外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元， 不收附加税时,每年大约销售100万瓶,若每销售100 元国家要征附加税为x元（税率x%）,则每年销售量 减少10x万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附 加税额不少于112万元，则x的最小值为 （ ） A.2 B.6 C.8 D.10 解析 依题意 解得2≤x≤8,则x的最小值为2. A
2.从1999年11月1日起,全国储蓄存款征收利息税, 利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收， 某人2000年6月1日存入若干万元人民币，年利率 为2%，到2001年6月1日取款时被银行扣除利息税 138.64元,则该存款人的本金介于 （ ） A.3~4万元 B.4~5万元 C.5~6万元 D.2~3万元 解析 设存入的本金为x， 则x·2%·20%=138.64， A
3.在一定范围内，某种产品的购买量y t与单价x元 之间满足一次函数关系,如果购买1 000 t,每t为 800元；购买2 000 t,每t为700元;一客户购买 400 t,单价应该是 （ ） A.820元 B.840元 C.860元 D.880元 解析 依题意，可设y与x的函数关系式为 y=kx+b,由x=800,y=1 000及x=700,y=2 000, 可得k=-10,b=9 000,即y=-10x+9 000, 将y=400代入得x=860. C
4.某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)4.某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h) 的函数；T(t)=t3-3t+60,t=0表示中午12∶00，其后t取 正值，则下午3时温度为 （ ） A.8℃ B.78℃ C.112℃ D.18℃ 解析 由题意，下午3时，t=3，∴T(3)=78℃. B
5.为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一5.为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一 种方式其加密、解密原理如下： 明文 密文 密文 明文 已知加密为y=ax-2（x为明文,y为密文），如果明 文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接 受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文 为“14”，则原发的明文是______. 解析 依题意y=ax-2中，当x=3时，y=6,故6=a3-2， 解得a=2.所以加密为y=2x-2，因此，当y=14时，由 14=2x-2,解得x=4. 解密 发送 加密 4
题型一 一次、二次函数模型 【例1】如图所示，在矩形 ABCD中，已知AB=a，BC=b （b<a）,在AB，AD，CD， CB上分别截取AE，AH,CG, CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最 大？并求出最大面积. 依据图形建立四边形EFGH的面积S关于 自变量x的目标函数，然后利用解决二次函数的最 值问题求出S的最大值. 题型分类 深度剖析 思维启迪
解 设四边形EFGH的面积为S， 则S△AEH=S△CFG= x2, S△BEF=S△DGH= (a-x)(b-x)， 由图形知函数的定义域为{x|0<x≤b}. 又0<b<a,∴0<b<
若 ≤b,即a≤3b时， 则当 时，S有最大值 若 即a>3b时,S(x)在（0,b］上是增函数， 此时当x=b时，S有最大值为 综上可知，当a≤3b时， 时， 四边形面积Smax= 当a>3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.
探究提高二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建探究提高二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建 立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的 最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取 值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的 区间之间的位置关系讨论求解.
知能迁移1 某人要做一批地砖，每块地砖（如图1所 示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在 边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由 单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若 将此种地砖按图2所示的形式铺设,能使中间的深色 阴影部分成四边形EFGH. 图1 图2
(1)求证：四边形EFGH是正方形； (2)E、F在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用 最省？ (1)证明 图2是由四块图1所示地砖组成,由图1依次 逆时针旋转90°，180°,270°后得到， ∴EF=FG=GH=HE， ∴△CFE为等腰直角三角形， ∴四边形EFGH是正方形.
(2)解 设CE=x，则BE=0.4-x， 每块地砖的费用为W， 制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平 方米价格依次为3a、2a、a（元）， =a(x2-0.2x+0.24） =a[(x-0.1)2+0.23] （0<x<0.4）, ∵a>0，∴x=0.1时，W有最小值，即总费用最省. 答当CE=CF=0.1米时，总费用最省.
题型二 分段函数模型 【例2】 某公司研制出了一种新产品,试制了一批样 品分别在国内和国外上市销售,并且价格根据销售 情况不断进行调整，结果40天内全部销完.公司对 销售及销售利润进行了调研,结果如图所示，其中 图①（一条折线）、图②（一条抛物线段）分别是 国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系、 图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系.
(1)分别写出国外市场的日销售量f（t）与上市时间t 的关系及国内市场的日销售量g（t）与上市时间t的关 系； (2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等 于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若 没有，请说明理由.
思维启迪第(1)问就是根据图①和②所给的数据, 运用待定系数法求出各图象中的解析式；第（2）问 先求得总利润的函数关系式,再将问题转化为方程是 否有解. 解(1)图①是两条线段,由一次函数及待定系数法, 图②是一个二次函数的部分图象，
(2)每件样品的销售利润h（t）与上市时间t的关系为 故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t的 关系为
当0≤t≤20时， ∴F（t）在［0，20］上是增函数， ∴F（t）在此区间上的最大值为 F（20）=6 000<6 300. 当20<t≤30时， 由F（t）=6 300，得3t2-160t+2 100=0, 解得t= (舍去)或t=30.
当30<t≤40时， 由F（t）在（30，40］上是减函数， 得F(t)<F(30)=6 300. 故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6 300 万元，为上市后的第30天. (1)分段函数主要是每一段自变量变化 所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各 段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意 各段自变量的范围，特别是端点值. (2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段 合理不重不漏. 探究提高
知能迁移2某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知 总收益满足函数： 其中x是仪器的月产量. （1）写出利润f(x)与月产量x的函数关系式； （2）当月产量为何值时公司所获利润最大？最大 利润是多少元？（总收益=总成本+利润）
解 （1）由题意得， 总成本为（20 000+100x）元， 从而 （2）当0≤x≤400时， 当x=300时，有最大值25 000； 当x>400时，f(x)=60 000-100x是减函数， f(x)<60 000-100×400<25 000. 所以，当x=300时，有最大值25 000. 所以，当月产量为300台时，公司所获利润最大，最 大利润是25 000元.
题型三 函数的综合应用 【例3】 （12分）一位牧民计划用篱笆为他的马群围 一个面积为1 600 m2的矩形牧场，由于受自然环境 的影响，矩形的一边不能超过a m，求用最少篱笆 围成牧场后的矩形长与宽. 解设一边的长为x m，0<x≤a，则宽为 矩形的周长为W， ［2分］ 解题示范 ［6分］
若0<a<40时，由于函数 在区间（0,a］ 上是减函数，则当x=a时，周长W最小，其最小值为 此时，矩形长与宽分别是a与 ［10分］ 故当a≥40时，矩形长与宽都是40；当0<a<40时，矩 形长与宽分别是a与 ［12分］ 分类讨论是本题的一个重要内容. 以40为标准分为a≥40，0<a<40两种. 本题易出现不讨论，而直接按重要不等式求最值 的错误. 探究提高
知能迁移3经市场调查，某城市的一种小商品在过去知能迁移3经市场调查，某城市的一种小商品在过去 的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间 t（天）的函数，且销售量近似满足g（t）=80-2t（件）， 价格近似满足 (1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20) 的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.
解 （1）y=g（t）·f（t） =（40-t）（40-|t-10|） = （2）当0≤t<10时,y的取值范围是[1 200,1 225], 在t=5时，y取得最大值为1 225； 当10≤t≤20时，y的取值范围是［600，1 200］， 在t=20时，y取得最小值为600. 答第5天，日销售额y取得最大值为1 225元； 第20天，日销售额y取得最小值为600元 .
思想方法 感悟提高 1.求解函数应用题的一般方法 “数学建模”是解决数学应用题的重要方法,解应 用题的一般程序是： (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; (2)建模:将文字语言转化成数学语言,用数学知识建 立相应的数学模型； (3)求模:求解数学模型,得到数学结论； (4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题 的意义. 方法与技巧
2.几种重要的函数模型 (1)一次函数模型:f(x)=kx+b (k,b为常数,k≠0); (2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c（a，b，c为常数， a≠0)； (3)反比例型函数模型:(k,b为常数, k≠0); (4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0, b>0,b≠1)； (5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数， m≠0,a>0,a≠1); (6)分段函数模型.
1.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，正1.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，正 确理解题意，选择适当的函数模型. 2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确 定函数的定义域. 3.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个 数学解对实际问题的合理性. 失误与防范
一、选择题 1.某电信公司推出两种手机收费方式： A种方式是月租20元,B种方式是月 租0元.一个月的本地网内打出电话 时间t(分钟)与打出电话费s（元） 的函数关系如图，当打出电话150分钟时,这两种方 式电话费相差 （ ） A.10元 B.20元 C.30元 D. 元 定时检测
解析 设A种方式对应的函数解析式为S=k1t+20, B种方式对应的函数解析式为S=k2t, 当t=100时，100k1+20=100k2, 当t=150时，150k2-150k1-20= 答案A
2.由方程x|x|+y|y|=1确定的函数y=f(x）在（-∞,+∞）2.由方程x|x|+y|y|=1确定的函数y=f(x）在（-∞,+∞） 上是 （ ） A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增 解析 ①当x≥0且y≥0时，x2+y2=1, ②当x>0且y<0时，x2-y2=1, ③当x<0且y>0时，y2-x2=1, ④当x<0且y<0时，无意义. 由以上讨论作图如右， 易知是减函数. B
3.国家规定个人稿费纳税办法是: 不超过800元的不纳 税;超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分 的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税. 已知某人出版一本书,共纳税420元，这个人应得稿 费（扣税前）为 （ ） A.2 800元 B.3 000元 C.3 800元 D.3 818元
解析 设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段 函数，由题意，得 如果稿费为4 000元应纳税为448元,现知某人共纳税 420元,所以稿费应在800~4 000元之间, ∴(x-800)×14%=420,∴x=3 800. 答案C
4.某医药研究所开发一种新药，如 果成年人按规定的剂量服用，据 监测，服药后每毫升血液中的含 药量y（微克）与时间t（小时）之 间近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，每毫 升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有 效，则服药一次治疗该疾病有效的时间为（ ） A.4 小时 B. C. D.5 小时
解析由 过点M(1,4)得a=3,k=4. 令y=0.25，得4t=0.25或 因此服药一次治疗疾病有效时间为 答案 C
5.某产品的总成本y（万元）与产量x(台)之间的函数5.某产品的总成本y（万元）与产量x(台)之间的函数 关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台 产品的售价为25万元,则生产者不亏本时（销售收 入不小于总成本）的最低产量是 （ ） A.100台 B.120台 C.150台 D.180台 解析 设利润为f（x）(万元)， 则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2) =0.1x2+5x-3 000≥0, ∴x ≥150. C
6.已知a>0且a≠1，f(x)=x2-ax,当x∈(-1,1)时均有f(x) < 则实数a的取值范围是 （ ） A. B. C. D.
解析 由题意可知 在（-1，1）上恒成立， 令y1=ax, 由图象知： 答案C
二、填空题 7.计算机的价格大约每3年下降 那么今年花8 100元 买的一台计算机,9年后的价格大约是_____元. 解析 设计算机价格平均每年下降p%， 由题意可得 ∴9年后的价格 300
8.设函数f(x)=x|x|+bx+c，给出下列命题： ①b=0,c>0时，方程f(x)=0只有一个实数根； ②c=0时，y=f(x)是奇函数； ③方程f(x)=0至多有两个实根. 上述三个命题中所有正确命题的序号为. 解析 如图①，曲线与x轴只有一个交点， 所以方程f(x)=0只有一个实数根，正确.
②c=0时，f(x)=x|x|+bx，显然是奇函数. ③当c=0,b<0时， 如图②，方程f(x)=0可以有三个实数根. 综上所述，正确命题的序号为①②. 答案①②
9.已知f(x)=-logcosφ(x2-ax+3a)(φ为锐角)，在区间 ［2,+∞)上为增函数，则实数a的取值范围是. 解析令u=x2-ax+3a,∵0<cos φ<1, ∴y=logcos φu在定义域内为减函数， ∴f(x)=-logcos φ(x2-ax+3a)在［2,+∞)上为增函数， 则u=x2-ax+3a>0在［2,+∞)上恒成立，且为增函数， -4<a≤4
三、解答题 10.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些 自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车 的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超 出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆. 为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整 数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这 一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净 收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后 的所得）.
(1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域； (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使 一日的净收入最多？ 解 （1）当x≤6时，y=50x-115, 令50x-115>0，解得x>2.3. ∵x∈N*，∴x≥3，∴3≤x≤6，x∈N*， 当x>6时，y=[50-3（x-6）]x-115. 令[50-3（x-6）]x-115>0,有3x2-68x+115<0, 上述不等式的整数解为2≤x≤20 (x∈N*）, ∴6<x≤20 (x∈N*).
故 定义域为{x|3≤x≤20,x∈N*}. (2)对于y=50x-115 (3≤x≤6,x∈N*). 显然当x=6时，ymax=185(元)， 对于y=-3x2+68x-115 当x=11时，ymax=270（元）. ∵270>185， ∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的 净收入最多.
11.通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意11.通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意 力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时， 学生的兴趣激增;中间有一段时间，学生的兴趣保持 较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t) 表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t） 越大,表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：
(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能 持续多少分钟？ (2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较,何时 学生的注意力更集中？ (3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生 的注意力至少达到180，那么经过适当安排，教师能 否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？
解 （1）当0<t≤10时，f(t)=-t2+24t+100 =-(t-12)2+244是增函数，且f(10)=240； 当20<t≤40时，f(t)=-7t+380是减函数， 且f(20)=240. 所以,讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持 续10分钟. （2）f（5）=195，f（25）=205， 故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5 分钟更集中.
