Выполнили: Хорсов Евгений, Серёгин Александр, Майхов Павел. Руководитель:

1. Последовательность Фибоначчи. Выполнили: Хорсов Евгений, Серёгин Александр, Майхов Павел. Руководитель: Славинская Галина Николаевна.

2. Об авторе последовательности – Леонардо Пизанском (Фибоначчи) Среди современников ему не было равных. И в последующие три столетия нельзя назвать ни одного учёного такого масштаба. Леонардо родился в большом итальянском торговом городе Пизе в семье нотариуса. Леонардо Пизанский(1180-1240) оказал решающие влияние на развитие алгебры и теории чисел. Знаменита его «Книга абака»(1202 год) – настоящая энциклопедия математических знаний его эпохи. В этой книге рассматриваются вопросы алгебры, геометрии и теории чисел.

3. Именно в «Книге абака» впервые приводится решение известной задачи о кроликах: «Сколько пар кроликов родится в год от одной пары, если каждая пара приносит ежемесячно по паре, способной в свою очередь через месяц к размножению, и если ни одна пара не погибнет. Ответ даётся суммой ряда: 1+1+2+3+5+...+144. Каждый член этого ряда, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих. Члены ряда называются числами Фибоначчи.

4. Последовательность Фибоначчи:{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…} Последовательность задаётся рекуррентной формулой: a1=1 a2=1 an=an-1+an-2(n≥3) Формула вычисления an: Заметим, что | |<1 и уже при n=30: | |< 1 . С ростом n an ≈ фn , ф = 1+√5. 1000000 2 √5

5. Последовательность Фибоначчи и золотое сечение Пятиконечная звезда – пентаграмма всегда привлекала внимание людей совершенством формы. Пифагорейцы именно её выбрали символом своего союза. В чём же её привлекательность?

6. Числа фиφ Рассмотрим отношение AD:AC = AC:CD. Пусть AD= a, AC= b, тогда CD=a-b, a:b = b:(a-b) . Разделим обе части равенства на b² и обозначим a= ф. Получим уравнение ф²= ф+1, имеющие единственный положительный корень: ф = 1+√5 = 1,618034… Часто рассматривают отношение φ=1=√5-1= 0,618034… Такое обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V веке до н.э. Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах. В пропорциях этого храма многократно присутствует число φ . b 2 2 ф

7. Связь числа ф с последовательностью Фибоначчи Число ф тесно связано с последовательностью Фибоначчи; где an= 1[фn-φn],Интересно отметить, что фn= 1 (an√5+bn), где an– n-е число Фибоначчи, а bn– n-й членпоследовательности 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29… ,образующейся по тому же принципу, что и последовательность Фибоначчи. √5 2

8. Парфенон в Афинах

9. Золотой прямоугольник

10. Разумеется, бывает и «золотой треугольник». На рисунке это равнобедренные треугольники, у которых отношение длины боковой стороны к длине основания равняется ф. Одно из замечательных свойств такого треугольника состоит в том, сто длины биссектрис углов при его основании равны длине самого основания (рисунок 5). Золотой треугольник

11. Леонардо да Винчи использовал «золотой треугольник» в композиции своей знаменитой «Джоконды»

12. Вычисление и печать n первых членов последовательности Фибоначчи с использованием компьютера По рекуррентной формуле: a1=a2=1; an=an-1+an-2. (n≥3) Блок– схема начало a[1], a[2], n i:=3 a[1]: a[ i-1]+a[ i-2] i:i+1 да i≤n нет {a[i]} конец

13. Program F1; uses crt; type tv=array[1.. 20] of integer; var a: tv;n,i,j,k: integer; begin clrscr; writeln ('n='); readln (n); a[1]:=1; a[2]:=1; for i:=3 to n do begin j:=i-2; k:=i-1; a[i]:=a[j]+a[k]; end; for i:=1 to n do begin write(a[i]:6); writeln; end; readkey; end. Нахождение первых 20 чисел Фибоначчи при помощи языка Турбо Паскаль

14. Второй способ вычисления и печати n первых членов последовательности Фибоначчи с помощью компьютера начало По формуле: n i:= 1 a[i]= 1[(1+√5)i-(1-√5)i] √5 2 2 i:= i+1 да i≤n нет Блок – схема {a[i]} конец

15. Свойства чисел Фибоначчи. • Числа Фибоначчи это последовательность из чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …, которая имеет ряд свойств: • 1. Каждое число ряда представляет собой сумму двух предыдущих чисел. • 2. Отношение любого числа ряда к предыдущему стремится к 1,618. • 3. Отношение любого числа ряда к последующему стремится к 0,618. • 4. Отношение любого числа ряда к предыдущему через одно стремится к 2,618. • 5. Отношение любого числа ряда к последующему через одно стремится к 0,382.

16. Последовательность Фибоначчи — это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых. Последовательность Фибоначчи остаётся математической каббалой по сей день, и каждое новое открытие бросает новый отблеск на магию этих цифр.

17. Литература • 1)Н.М.Воробьёв, Числа Фибоначчи, Москва, Наука, 1992. • 2)А.И.Маркушевич, Возврватные последовательности, Москва, Наука, 1975. • 3)Энциклопедия для детей. Математика Москва, «Акванта +»,1998г. • 4) http://pascalstudy.narod.ru/ • 5)http://www.math24.ru/