kaidah pencacahan
Download
Skip this Video
Download Presentation
Kaidah Pencacahan

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 29

Kaidah Pencacahan - PowerPoint PPT Presentation


  • 2450 Views
  • Uploaded on

Kaidah Pencacahan. ~ Aturan pengisian tempat yang tersedia. 1. Aturan pengisian tempat yang tersedia Contoh : Pada lomba lari 100 meter, empat anak lolos ke putaran akhir , yaitu A( Adi ), B( Banu ), C ( Candra ), dan D( Dodi ).

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Kaidah Pencacahan' - jerica


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
kaidah pencacahan
KaidahPencacahan

~Aturanpengisiantempat yang tersedia

1. Aturanpengisiantempat yang tersedia

Contoh:

Padalombalari 100 meter, empatanakloloskeputaranakhir, yaitu A(Adi), B(Banu), C (Candra), dan D(Dodi).

Padaperlombaantersebutdisediakanduahadiah. Adaberapakahsusunanpemenang yang mungkinmunculpadaakhirpertandingan?

slide2
Jadiseluruhnyaada4 x 3 = 12 (susunanpemenang yang mungkinterjadi)
  • jawab

Pemenang pertamadankedua yang mungkinmuncul, dapat kitasusun yaitu:

AB, AC, AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,dan DC.

Prosesmenentukanbanyaknyasusunanpemenangsecaraumummengikutiaturansebagaiberikut:

Langkah1:

Ada 4 peserta lomba yangsemuanya bisa keluar sebagai juara pertama.

Langkah2:

Satu orang sudah masuk garis akhir, masih ada 3 peserta lomba yang bisa menduduki juara kedua.

slide3
Contoh 2

Amaliamemiliki 4 buahkemeja, 2 buahcelanapanjangdan 3 sepatu. Adaberpacaraiadapatberpakaianlengkap?

Jawab:

Kemeja yang dapatdipilihAmaliaada 4 cara, celanapanjang 2 caradansepatu 3 cara.

Jadi, ada 4 x 2 x 3 = 24 caraameliadapatberpakainlengkap

slide4
Dari uraiantersebutdapatkitaperolehsuatukesimpulan :

Jikaterdapatbuahtempat yang tersediadengan:

n1 =banyaknyacarauntukmengisitempatpertama.

n2 = banyaknyacaramengisitempatkedua, setelahtempatpertamaterisi.

n3 = banyaknyacaramengisitempatketiga, setelahtempatpertamadankeduaterisi, dan

nk = banyaknyacaramengisitempatke – k, setelahtempat- tempatsebelumnyaterisi.

Makabanyaknyacarauntukmengisi k tempat yang tersediaadalah

Aturanini yang dimaksudsebagaiaturanpengisiantempat yang tersediaataukaidahperkalian.

n1 x n2 x n3 x … x nk.

slide5
DefinisidanNotasifaktorial

Definisi:

Hasilperkaliansemuabilanganbulatpositipdarisatusampaidengan n disebut n faktorial, dandiberinotasi n!.

jd n! = 1 x 2x 3 x … x (n-1) x n, atau

n! = n x ( n-1) x (n-2) x … x 2 x 1

dengan 1! = 1 dan 0! = 1

slide6
...

Obyek

Eksp.

B

(A,B) = permutasi ke-1 = p1

Cara Eksp.

A

...

(A,C) = permutasi ke-2 = p2

C

A

S, n(S) =

...

Diundiuntuk

memperebutkan 2 hadiah

(B,A) = permutasi ke-3 = p3

A

B

B

...

C

(B,C) = permutasi ke-4 = p4

C

...

A

(C,A) = permutasi ke-5 = p5

C

3 cara

...

2 cara

B

(C,B) = permutasi ke-6 = p6

Permutasi

  • Misalkandiadakanundianuntukmemperebutkan 2 hadiah (hadiah I dan II). Jika yang memperebutkanhadiahituada 3 orang (A, B, dan C), adaberapacarakeduamacamhadiahitudapatdiberikankepadaparapemenang?.
  • Jawab:

Banyaknya cara: n(S) =

=

=

Menurut Prinsip Perkalian

= 3×2 = 6

=

= 3×2

slide7
MMAA

MAMA

AMMA

AMAM

AAMM

MAAM

Ada 6 cara

=

6

Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama

Adaberapacarauntukmembuatsusunanhuruf yang berbedadarikata “MAMA”?.

Jawab

=

=

=

slide8
.Banyaknyacaramengambil 2 huruf A dari (7 – 4) hurufsisanyaada, danbanyaknyacaramengambil 1 huruf A dari (7 – 4 – 2) hurufsisanyaada

Makamenurutprinsipperkalianbanyaknyacarauntukmembuatsusunanhurufdarikata KAKAKKU ada:

=

×

×

=

n2

nk

n

n1

+

+

+

=

=

Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama

Berapabanyakcarauntukmembuatsusunanhurufdarikata “KAKAKKU”?

Jawab

=

= 105 cara

Karenaada 4K, 2A, dan 1U, makabanyaknyacara =

Secaramatematikaformal, banyaknyacaramengambil 4 huruf K dari 7 hurufada

Secaraumum,

dengan

slide9
Permutasi Siklis

Makaberartiketigapermutasisiklistersebutsama, yakni ABC = CAB = BCA. Untukmelihatkesamaannyaperhatikanbahwa:

CAB.CAB = BCA.BCA = ABC (Pandanglah A sebagaititikawal).

A

C

B

C

B

A

B

A

C

Misalkan 3 orang anak A, B, dan C diminta naik ke permainan roda putar

Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek =

Dari 3 tempatdudukpadapermainanrodaputaritusebenarnyahanyaada 2 saja yang berbedasusunannya, yakni ABC dan ACB. Sehinggahanyaada 2 permutasisiklis.

Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek =

= (n – 1)!

slide10
Permutasi berulang
  • Jikakitaininmenyusunkata yang terdiri 2 huruf, yang dipilihdarihuruf A, D, I, sertakata yang terbentukbolehmengandunghuruf yang sama, makakitaakanmendapatkankata:

AA, AD, AI, DD, DA, DI, II, IA, ID.

Jadi, banyaknyapermutasiduahuruf yang diambildari 3 hurufdenganhuruf- hurufitubolehberulangada 9 cara.

  • Secaraumum:

Banyaknyapermutasi r unsur yang diambildari n unsur yang tersedia (dengantiapunsur yang tersediabolehditulisberulang) adalahsebagaiberikut:

P (berulang) =nr

denganr < n

slide12
Banyaknya

Permutasi

Jika elemen-elemen kombinasi itu dipermutasikan

Macam

Kombinasi

2!

2!

2!

2!

2!

2!

c1 = AB

c2 = AC

c3 = AD

c4 = BC

c5 = BD

c6 = CD

AB dan BA

AC dan CA

AD dan DA

BC dan CB

BD dan DB

CD dan DC

= 6

6 × 2!

Total= = 12 = 6 × 2

Perhatikanbahwa

12 = 6 x 2!

= x 2!

slide13
Kombinasi k Unsur dari n Unsur dengan beberapa unsur sama

Misal 4 bola akan yang diambildaridalamkotakberisi 4 bola merah, 3 bolaputihdan 2 bola hijau.Empat bola yang diambilharusterdiridari 2 bola merah, 1 bola putihdan 1 bola hijau.

Cara pengambilaninimerupakanmasalahkombinasi k unsurdari n unsurdenganbeberapaunsur yang sama.

Sehingga total carapemilihan 4 bola dari 9 bola adalah

4 C 2 . 3 C 1 . 2 C 1cara.

slide14
Misal terdapat n unsur yang terdiri dari q1, q2, q3, …, qn

Unsur q1 ada sebanyak n1, unsur q2 ada sebanyak n2, unsur q3 ada sebanyak n3, …, unsur qe ada sebanyak ne, sehingga n1 + n2 + n3 + …+ ne = n.

Dari n unsur tersebut akan diambil k unsur yang terdiri dari k1 unsur q1, k2 unsur q2, k3 unsur q3, …, ke unsur qe dengan k1 + k2 + k3 + … + ke = k.

Banyak cara pengambilan adalah:

n1 C k1 . n2 C k2 . n3 C k3 …. . ne C ke

slide15
PeluangKejadian
  • Percobaan, Ruang Sampel, Peluang suatu kejadian

Peluang adalah nilai frekuensi relatif munculnya suatu peristiwa dalam suatu eksperimen jika banyaknya percobaan tak terhingga.

P(A)=

Kombinatorik

Adalahteknikmenghitungbanyaknyaanggotaruangsampeldengan :

Cara mendatar

Membuattabel

Membuat diagram pohon

slide16
Hasil-hasil

Yang Mungkin

s1

s2

s3

S

s4

s5

Obyek

Eksp.

Cara Eksp.

S

s3

s1

s5

s4

s2

Eksperimen (Percobaan Acak)

  • Ada Obyek Eksperimen
  • Ada Cara Eksperimen
  • Ada Hasil-hasil Yang Mungkin (Titik-titik Sampel)

S= Ruang Sampel ={ s1 , s2, s3 , . . . , s5}

= Himpunan semua hasil yang mungkin

dalam eksperimen itu

s1,s2 , s3, . . . , s5 masing-masing

disebut titik sampel

slide17
S

A

sn

s3

s2

s1

sm

S = Ruang Sampel

= Himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dalam eksperimen itu

= {s1,s2, s3, . . . , sm , . . . , sn}

A = Suatu peristiwa dalam ruang sampel S

= {s1 , s2, s3 , . . . , sm}

Prinsip Penjumlahan

P(A) = P({s1}) + P({s2}) + P({s3}) + . . . + P({sm})

= jumlah peluang masing-masing titik sampel

yang ada di dalamnya

slide18
Peluang Berdasar Pengambilan Sampel
  • Pengambilan Sekaligus → Kombinasi

Pengulangan obyek eksp. tidak dimungkinkan dan urutan tak

diperhatikan (tak punya makna)

  • Pengambilan Satu Demi Satu

1. Tanpa Pengembalian → Permutasi

Pengulangan obyek eksp. tidak

dimungkinkan dan urutan

diperhatikan (punya makna)

2. Dengan Pengembalian → Bukan Permutasi dan

Bukan Kombinasi

slide19
Ambilacak 2 bola sekaligus.

Hasil-hasil yang mungkin?

Cara Ekp.

Hasil-hasil yang mungkin

Obyek Eksp

A

n(S) =

=

3 .

Eksp1: ambil acak

2 bola sekaligus

S

s3

s1

s2

P({s1}) = P({s2}) = P({s3}) =

Maka S berdistribusi seragam

P(A)

=

S

A

2

1

1

1

… s1

… s2

… s3

3

3

3

2

2

1.PengambilanSekaligus

S = {s1, s2 , s3 } = Ruang sampel hasil eksperimen

A= Peristiwa terambilnya jumlahkedua nomor bola ganjil

= {s1, s3 } , n(A) = 2.

slide20
Ambilacak 2 bola 1 – 1 tanpapengemb. Hasil-hasil yang mungkin?

Hasil-hasil yang mungkin

A

Cara Ekp.

… s1

Obyek Eksp

… s2

… s3

s4

s2

s6

s1

s3

Eksp 2 : ambil acak

2 bola 1 – 1 tanpa pengembalian

S

… s4

… s5

… s6

3 cara

2 cara

S = {s1, s2 , s3 , . . . ,s6 } = Ruang sampel hasil eksperimen

A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil

= {s1, s3, s4 , s6 }

P(A) == = .

S

s5

n(S) =

3 × 2

6.

=

=

A

3

1

2

2

3

1

3

1

2

P({s1}) = P({s2}) = … = P({s6}) =

Maka S berdistribusi seragam.

1

3

3

2

3

1

2

1

3

1

1

3

2

2

2

2. PengambilanSatudemiSatuTanpaPengembalian

slide21
Ambil acak 2 bola 1-1 dengan pengembalian. Hasil-hasil yang mungkin?

Hasil-hasil yang mungkin

II

A

Eksp2:ambil acak

2 bola 1-1 dengan pengemb.

I

… s1

1

2

2

… s2

… s3

S

… s7

3 cara

3 cara

S

S = {s1, s2 , s3, ... , s9} = Ruang sampel hasil eksperimen.

n(S) = 3 × 3 = 9

A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil.

= {s2, s4, s6 , s8}

P(A) == .

A

s7

s9

s1

s8

s5

s3

s6

s2

s4

P({s1}) = P({s2}) = … = P({s9}) =

Maka S berdistribusi seragam.

3

1

1

1

1

1

3

1

3

3

3

3

3

3

2

1

2

1

3

2

2

… s8

… s9

3.Pengambilan 1 – 1 Dengan Pengembalian

slide22
Frekuensi Harapan

Frekuensi Harapan suatu kejadian adalah hasil kali peluang kejadian tersebut dengan banyaknya percobaan.

Fr(A) = P(A) . n

dengan, Fr(A) = frekuensi harapan kejadian A

P (A) = peluang kejadian A

n = banyaknya percobaan

Contoh:

Peluangseoranganakterkenapenyakit polio adalah 0,01, dari 8000 anak. Berapakira- kira yang terjangkitpenyakit polio?

Jawab:

P(kenapolio) = 0,01, n= 8000

Fr(A) = P(kena polio) . n = 0,01 x 8000 = 80

Jadi, dari 8000 anakdiperkirakanada 80 anak yang terkenapenyakit polio

slide23
A’

S

A

1. Komplemen

Kejadian bukan A dari himpunan S ditulis dengan simbol A’ (atau Ac) disebut komplemen dari A.

Jika A mempunyai a elemen, dan S mempunyai n elemen maka A’ mempunyai n-a elemen. Maka P(A’) adalah peluang tidak terjadinya A.

slide24
S

.1.4

B

.6

.8

.9

.10 .12

A

.2 .5

.7

.3 .11

2.Dua Kejadian Saling Lepas

S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

A={kejadian mendapatkan bilangan prima}

B={kejadian mendapatkan sedikitnya bilangan 5}

Maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Sehingga

Jika kita melihat hubungan antara , P(A) dan P(B), terdapat

irisan antara A dan B, yaitu {5, 7, 11} dan juga diperoleh

slide25
dan

Jika suatu kejadian A dan B tidak bersekutu, dalam hal ini =Ø, maka kita katakan dua kejadian tersebut adalah saling lepas. Untuk kejadian saling lepas (saling asing)

Maka = P(Ø) = 0

Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka

slide26
Contoh Soal :
  • Sebuahdadudilemparkansatu kali, JikaA = {kejadianmunculmatadadulebihdari 2}, tentukan P(A’) ? Jawab : Sebuahdadudilemparkansatu kali, makaruangsampelnyaadalah:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}JikaA = {kejadianmunculmatadadulebihdari 2} = {3, 4, 5, 6}Maka P(A) = 4/6 = 2/3 P(A’) = 1 – 4/6 = 2/6 = 1/3

2. Pada pengambilan 1 kartu secara acak dari 1 set kartu bridge, berapa peluang mendapatkan kartu As atau King?

slide27
Dua Kejadian Saling Bebas

Sekeping uang logam dan sebuah dadu dilempar sekali. Kejadian munculnya sisi angka pada uang logam dan kejadian munculnya mata 3 pada dadu adalah dua kejadian yang tidak saling mempengaruhi.

Peluang dua kejadian A dan B yangyang saling bebas adalah:P (A B) = P (A) . P(B)

Contoh : Misal A = kejadianmunculmatadadu 3 padapelemparanpertama, maka :n(A) = 1, sehingga P(A) =

Misal B = kejadianmunculmatadadu 5 padapelemparankedua, maka: n(B) = 1, sehingga P(B) =

Peluang A dan B: P( A B) = P(A) . P(B) =

slide28
1. Peluangtidakterjadinya A atau P(A’) adalah P(A’) = 1 – P(A)

Rangkuman

2. Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka

3. Jika A dan B kejadian yang saling bebas maka

slide29
SEKIAN

TERIMA KASIH

SAMPAI JUMPA LAGI