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Mtra. Alma Elsa Retureta Alvarez

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UNIVERSIDAD VERACRUZANA. Mtra. Alma Elsa Retureta Alvarez. MATEMATICAS APLICADAS. UNIVERSIDAD VERACRUZANA. UNIDAD I FUNCIONES y GRÁFICAS. MATEMÀTICAS APLICADAS. UNIVERSIDAD VERACRUZANA. FUNCIONES y GRÁFICAS . MATEMÀTICAS APLICADAS. UNIVERSIDAD VERACRUZANA. ¿Qué son las funciones?.

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UNIVERSIDAD VERACRUZANA

UNIDAD I

FUNCIONES y GRÁFICAS

MATEMÀTICAS APLICADAS

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UNIVERSIDAD VERACRUZANA

FUNCIONES y GRÁFICAS

MATEMÀTICAS APLICADAS

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UNIVERSIDAD VERACRUZANA

¿Qué son las funciones?

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades.

“Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X.  La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. 

Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores  que toma Y constituye su recorrido".

MATEMÀTICAS APLICADAS

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UNIVERSIDAD VERACRUZANA

¿Dónde se ocupan?

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas y Generalmente  se hace uso de las funciones reales, aún cuando el ser humano no se  da cuenta.

  Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria en cualquier área donde haya que relacionar variables.

tales como:

*El valor del consumo mensual de agua potable que depende del número de metros cúbicos consumidos en el mes.

* El costo de una llamada telefónica que depende de su duración.

*La estatura de un niño que depende de su edad, etc.

MATEMÀTICAS APLICADAS

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UNIVERSIDAD VERACRUZANA

TIPOS DE FUNCIONES

POLINOMICAS

ALGEBRAICAS RACIONALES

RADICALES

FUNCIONES

EXPONENCIALES

TRASCENDENTES LOGARITMICAS

TRIGONOMETRICAS

MATEMÀTICAS APLICADAS

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UNIVERSIDAD VERACRUZANA

Funciones Algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicaciónLas funciones algebraicas pueden ser:Funciones explícitasSi se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.f(x) = 5x - 2Funciones implícitasSi no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.5x - y - 2 = 0

MATEMÀTICAS APLICADAS

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UNIVERSIDAD VERACRUZANA

Funciones Algebraicas

Función lineal:

           La función lineal (función polinomial de primer grado) es de la forma  y = f (x) = ax + b; a y b son números dados; el dominio y contradominio es el conjunto de todos los números reales.

La gráfica de cualquier función lineal es una línea recta.

La a representa la pendiente de la recta y b, el intercepto con el eje y (u ordenada en el origen).

Como ya mencionamos antes, el intercepto con el eje y, es b; para hallar el intercepto con el eje x (o abscisa en el origen),  se iguala la ecuación de la función a 0 y se despeja el valor respectivo para x.  

MATEMÀTICAS APLICADAS

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UNIVERSIDAD VERACRUZANA

Funciones Lineales

1.y = x.

S o l u c i ó n :

2.y = -2x

S o l u c i ó n :

3.y = x + 2

S o l u c i ó n :

4.y = x - 3

S o l u c i ó n :

MATEMÀTICAS APLICADAS

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UNIVERSIDAD VERACRUZANA

Funciones polinómicas :Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an xn Su dominio es R , es decir, cualquier número real tiene imagen.Funciones constantes:El criterio viene dado por un número real.f(x)= k La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

MATEMÀTICAS APLICADAS

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UNIVERSIDAD VERACRUZANA

  • Funciones racionales
  • Una función racional es aquella que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales.
  • Esto es, una función racional es de la forma los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador, Q(x) = 0.
  • Funciones radicales
    • El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
    • El dominio de una función irracional de índice impar es R.
    • El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

MATEMÀTICAS APLICADAS

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UNIVERSIDAD VERACRUZANA

  • Funciones trascendentes

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

  • Función exponencial Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia axse llama función exponencial de base a y exponente x.
  • Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

MATEMÀTICAS APLICADAS

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UNIVERSIDAD VERACRUZANA

Función cuadrática

MATEMÀTICAS APLICADAS

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S o l u c i o n e s

UNIVERSIDAD VERACRUZANA

MATEMÀTICAS APLICADAS

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S o l u c i o n e s

UNIVERSIDAD VERACRUZANA

MATEMÀTICAS APLICADAS

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UNIVERSIDAD VERACRUZANA

¿Cuándo una gráfica no corresponde a una función?

De las dos gráficas que se muestran a continuación, la de la izquierda corresponde a una función y la derecha no.

En ésta a cada valor de la variable independiente X, le corresponde un único valor imagen de la variable dependiente Y

 En ésta hay algunos valores de la variable X a los que corresponden más de un valor de la variable Y. Lo que contradice la definición de función.

MATEMÀTICAS APLICADAS

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UNIVERSIDAD VERACRUZANA

Dominio

Se llama dominio de definición de una función f, y se designa por Dom f, al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales podemos calcular y = f(x).

  En la función que tiene por expresión algebraica y = 2x +1 podemos dar a la variable x el valor que queramos y con ello obtener un correspondiente valor de y. (EVALUAR)

Decimos que en este caso dicha función está definida en todo R (conjunto de los números reales). 

MATEMÀTICAS APLICADAS

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UNIVERSIDAD VERACRUZANA

Sin embargo la función y = 1/x no permite calcular el correspondiente valor de y para todos los valores de x.

En este caso el valor x=0 no puede ser del dominio de la función. (EVALUAR)

Cuando una función se nos presenta a través de su gráfica, simplemente con proyectar sobre el eje de abscisas dicha gráfica conseguimos el dominio de definición.

Esto es porque cualquier valor de x del dominio tiene su correspondiente imagen y por ello le corresponde un punto de la gráfica. Y éste punto es el que al proyectar la misma sobre el eje Ox nos incluye ese valor dentro del dominio.

MATEMÀTICAS APLICADAS

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UNIVERSIDAD VERACRUZANA

En el ejemplo vemos coloreado de azul el dominio.

 En este caso tenemos que Dom f = (-∞, 2) U (2, 7]

MATEMÀTICAS APLICADAS

sistemas computacionales

UNIVERSIDAD VERACRUZANA

SISTEMAS COMPUTACIONALES

EJEMPLOS

FUNCIONES POLINÓMICAS:

Son aquellas cuya expresión algebraica es un polinomio; es decir, las funciones polinómicas, tienen como dominio de definición todo el conjunto de los números reales: R

f(x)= 3x5- 8x + 1;   D(f) = R

g(x)= 2x + 3;   D(g) = R

h(x)=½ ;   D(h) = R

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UNIVERSIDAD VERACRUZANA

FUNCIONES RACIONALES:

Si la función es racional, esto es que su expresión es un cociente de dos polinomios, nos va a plantear el problema de tener que excluir del dominio las raíces del polinomio denominador. Por ejemplo:

I)

Resolvemos la ecuación x2- 9 = 0; y obtenemos x1 = +3  y   x2 = -3.        

Por lo tanto D(f) = R \ {+3, -3}

MATEMÀTICAS APLICADAS

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UNIVERSIDAD VERACRUZANA

II)

Resolvemos la ecuación x2+ 1 = 0;

y nos encontramos que no tiene solución.

No se han encontrado valores que anulen el denominador.

y por lo tanto no tenemos que excluirlos del dominio.        Por lo tanto D(f) = R.

MATEMÀTICAS APLICADAS

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FUNCIONES IRRACIONALES:

Funciones irracionales son las que vienen expresadas a través de un radical que lleve en su radicando la variable independiente.

Si el radical tiene índice impar, entonces el dominio será todo el conjunto R de los números reales porque al elegir cualquier valor de x siempre vamos a poder calcular la raíz de índice impar de la expresión que haya en el radicando.

Si el radical tiene índice par, para los valores de x que hagan el radicando negativo no existirá la raíz y por tanto no tendrán imagen .

MATEMÀTICAS APLICADAS

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II)

I)

Resolvemos la inecuación x2- 25 > 0; y obtenemos (x + 5)·(x - 5) >0

R nos queda dividido en tres zonas y probamos en cuál de ellas se da que el signo del radicando sea positivo.

Resolvemos la inecuación x +1 > 0; ==> x > -1;           

x+1 es una expresión positiva si x pertenece al intervalo [-1, +∞).

    Por lo tanto

D(f) = [-1, +∞).

Por lo tanto

D(g) = (-∞, -5] U [+5, +∞)

MATEMÀTICAS APLICADAS

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UNIVERSIDAD VERACRUZANA

¿En que se traduce esto?

En tener que excluir de las zonas donde el radicando sea positivo los extremos -2 y +4.

III)

Resolvemos la inecuación

x2- 2x - 8 > 0;

y obtenemos (x + 2)·(x - 4) >0;

Observar que la inecuación se plante con desigualdad estricta, esto es porque el radicando está en un denominador y por lo tanto no puede valer 0.

Por lo que:

R nos queda dividido en tres zonas.

Y estudiando el signo del radicando obtenemos el dominio:       D(h) = (-∞, -2) U (+4, +∞)

MATEMÀTICAS APLICADAS

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UNIVERSIDAD VERACRUZANA

E J E R C I C I O S

MATEMÀTICAS APLICADAS

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UNIVERSIDAD VERACRUZANA

Obtén el dominio de definición de los gráficos

MATEMÀTICAS APLICADAS

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UNIVERSIDAD VERACRUZANA

  • Calcula el dominio de las funciones que se dan a continuación:

MATEMÀTICAS APLICADAS