Repetisjon om funksjoner

1. Repetisjon om funksjoner

2. Janviers tabell

3. Misoppfatninger knyttet til funksjoner • Se i heftet: https://fronter.com/hit/links/files.phtml/1311301326$365634870$/undervisning/Ressurshefter/Ressurshefte+funksjoner.pdf Bla: • En grafisk framstilling gir et direkte (eller mer konkret) bilde av en situasjon. • Alle lineære funksjonsgrafer går gjennom origo • Vanskelig med å tolke grafen som sammenheng mellom to variable • Alle linjer er parallelle med koordinataksen • Tegne punkt i stedet for linje

4. Definisjonen av en funksjon • Alfa: • En funksjon f består av • Definisjonsmengde • En mengde som inneholder verdimengden • En regel som til ethvert element x i definisjonsmengden tilordner ett og bare ett element i , nemlig elementet • Bourbaki-definisjonen: • Delmengde av alle par (x,y) slik at for hver x-verdi har vi maksimalt ett par i denne delmengden.

5. Hvilken er en funksjon?

6. Koordinatsystem

7. Typer funksjoner • Lineære funksjoner • Kvadratiske funksjoner • Eksponentialfunksjoner • Rasjonale funksjoner / Brøkfunksjoner

8. Polynomfunksjoner En polynomfunksjon er et utrykk som består av ett eller flere ledd, der hvert ledd består av en koeffisient og en potens av x. Eksponentene kan ikke være negative. Den høyeste potensen gir oss navnet på polynomet. Er den høyeste potensen 2 så har vi et andregradsfunksjon, er den 3 så har vi en tredjegradsfunksjon.

9. Lineære funksjoner

10. Lineære funksjoner • En lineær funksjon er en førstegrads polynomfunksjon, med funksjonsutrykket: Grafen til en lineær funksjon er en rett linjen med stigningstall a og konstantledd b.

11. Stigningstall Stigningstallet a gir oss hvor mye funksjonsverdien endrer seg om vi går en enhet til høyre langs x-aksen. gir stigende graf gir horisontal graf gir synkende graf Formel for stigningstall:

12. Oppgaver Hva er stigningstallet til funksjonene under: • Finn stigningstallet til den lineære funksjonen gjennom punktene • og

13. Konstantledd Konstantleddet gir oss skjæringspunkt med y-aksen. Altså der x = 0 Til høyre ser dere grafer med samme stigningstall, men ulikt konstantledd.

14. Oppgaver • Hva er konstantleddet? • Skriv ned funksjonsutrykket til funksjonen som har skjæring med y-aksen i y=4 og er med funksjonen:

15. Oppgaver • Tegn grafen til funksjonen:

16. Formler for å finne funksjonsutrykk Ettpunktsformel Topunktsformel Når du kjenner to punkter, og • Når du kjenner et punkt og stigningstallet

17. Oppgaver • Finn funksjonsutrykket til grafen som går gjennom punktet • A= (1,2) og har stigningstall a=-2. Finn funksjonsutrykket til grafen som går gjennom punktene A=(2,2) og B=(4,3)

18. Nullpunkter Nullpunkter er der funksjonsverdien er null. Det vil si der grafen til funksjonen krysser x-aksen. Legg merke til at y alltid er null i nullpunktene! – Derav navnet!

19. Proporsjonalitet Når b=0 vil vi få funksjonen Denne går gjennom origo. Forholdet mellom y og x er konstant og vi sier at de er proporsjonale Stigningstallet finner vi ved Og vi kaller for proposjonalitetskonstanten

20. Andregradslikninger

21. definisjon • En kvadratisk funksjon er et polynom av andre grad. Det vil si at det har et andregradsledd. • Utrykket for en kvadratisk funksjon er , for hvis den er det så har vi en lineær graf.

22. Kvadratiske funksjoner • Kvadratiske funksjoner har form som parabler • Hvis a<0, peker parabelåpningen nedover • Hvis a>0, peker åpningen oppover.

23. Skjæringspunkt med y-aksen: • Ved å sette inn x=0 i funksjonsuttrykket • Ser vi at c er skjæringspunktet med y-aksen.

24. Nullpunkter Kvadratiske funksjoner kan ha nullpunkter. Dersom de finnes så er de løsningen på Det kan dere finne med abc-formel eller faktorisering.

25. Nullpunkter To løsninger En løsning Ingen løsning

26. Oppgaver Finn nullpunktene til funksjonen Finn nullpunktene til funksjonen Finn nullpunktene til funksjonen Har funksjonene nullpunkt?

27. Topp/Bunnpunkt Når vi snakker om topp og bunnpunkt så snakker vi om x-verdien. Disse omtales også som ekstremal-verdier. Funksjonsverdien (y-verdien) i topp og bunnpunkt kalles for minimal/maksimalverdi Kvadratiske funksjoner har topp og bunnpunkt toppunkt bunnpunkt

28. Hvordan finner vi topp og bunnpunkt Grafen er speilsymmetrisk om denne linjen, og toppunktet ligger akkurat på linjen.

29. Oppgave • Finn topp/bunnpunkt for funksjonene med nullpunkt(ene) • og • og Funksjonen har bunnpunkt i Finn maksimal/minimalverdien.

30. Skissering av graf • Om vi skulle skissert grafen • Kan vi først observere at vi har en graf med bunnpunkt (positiv a). Og et skjæringspunkt med y-aksen for y=2. • Vi har ingen nullpunkter, men et bunnpunkt for x=1

31. Eksponential funksjoner

32. Definisjon • En eksponentialfunksjon er en funksjon på formen Der a og b er konstanter og a>0. a kaller vi for vekstfaktor.

33. Hva betyr konstantene • Fortegnet til påvirker om vi har positive eller negative funksjonsverdier! (Siden alltid er positiv (større enn 0) så må også alltid være positiv) • Om er positiv så er f(x) positiv • Om er negativ så er f(x) negativ

34. Hva betyr konstantene • b er skjæringspunktet med y-aksen fordi • når x=0.

35. Hva betyr konstantene • Dersom Da stiger funksjonen mot høyre, krappere og desto større verdi vi har for a. • Dersom Da er funksjonen en rett linje • Dersom Da synker funksjonen mot høyre, krappere desto mindre verdi vi har for a.

36. Prosentvis vekst vekstfaktor • Der p er prosent rente, S er det opprinnelige innskuddet eller lånebeløpet og n er antall år.

37. Prosentvis nedgang vekstfaktor • Der p er prosent nedgang per år, S er den opprinnelige verdien og n er antall år.

38. Oppgave • Hvilken graf tilhører hvilken funksjon

39. Oppgave • Du setter 10 000 inn på en konto med 2% rente. Sett opp funksjonsutrykket som viser hvor mye som er på konto etter år. • Bilen din kostet 450 000 som ny og taper seg i verdi med 20% hvert år. Sett opp funksjonsutrykket som viser hvor mye bilen er verdt etter år. • En kommune hadde 25 000 innbyggere i 2014 og 24 000 innbyggere i 2016. Hvor stor prosentandel har de mistet hvert år?

40. Rasjonale funksjoner

41. Definisjon • En rasjonal funksjon er en funksjon på formen • Der og er polynomer, og må ha minst grad 1. • Merk at den ikke er definert for x-verdier der .

42. Nullpunkter og bruddpunkter Nullpunkter er der telleren er null Funksjonen er ikke definert der nevneren er 0, altså har vi bruddpunkt der x=1

43. Oppgave • Finn nullpunkt og bruddpunkt for funksjonene

44. Asymptoter Vertikal asymptote Horisontal asymptote

45. Vertikale asymptoter: • Vertikale asymptoter: • Vi finner bruddpunktene for funksjonen og undersøker hva som skjer med funksjonsverdien f(x) når vi nærmer oss bruddpunktene fra høyre og venstre. • Dersom funksjonsverdien vokser veldig brått (blir veldig stor positiv og veldig stor negativ) så har vi en vertikal asymptote i bruddpunktet.

46. Eksempel Vi ser at når vi nærmer oss x=2 fra verdier rett over og under 2, så vil vi til høyre for x=2 raskt få kjempestore verdier og til venstre for x=2 få kjempestore negative verdier. Dette skjer fordi vi deler på tall som er veldig små. Med matematisk språk sier vi:

47. Horisontale Asymptoter • Horisontale asymptoter er den verdien som vi ser at f(x) nærmer seg når vi lar x blir veldig stor positiv eller veldig stor negativ. • Vi finner denne verdien ved å sette inn for veldig store positive eller veldig negative verdier for x.

48. Eksempel Vi ser at når x beveger seg mot veldig store positive og veldig store negative verdier så vil funksjonsutrykket nærme seg f(x)=-2 Med matematisk språk sier vi:

49. Eksempel • Det kan være vanskelig å se det rett av funksjonsuttrykket, og tungvint å lage tabell. • Ett tips er å dele på x over og under brøkstreken. Vi får da • = • Hvis vi nå ser litt ekstra på de delene som har x i seg: og vil bli nærmest null om vi setter inn store verdier for x. Vi kan derfor se bort fra disse leddene i utrykket.

50. Eksempler på bruk • Omvendt proporsjonalitet • Enhetskostnadsfunksjon