La soustraction

1. La mission MATHS 94 vous propose un module sur : La soustraction 3 5 8 - 2 7 9 help Alors ? How many ? 8-9 = ? 9-8 ? Je retiens 1 Un quoi ? 279 c’est 280-1 280 pour aller à 360 ?20 et 60 moins 2 et ……

2. Retour sur les programmes : progressions 2008

3. Quels obstacles ? • Le fonctionnement de l’écriture des nombres : le principe de la numération • décimale de position veut que chaque chiffre qui constitue l’écriture • d’un nombre ait une valeur différente en fonction du rang qu’il occupe. • Cette évidence ne va pas de soi. Mal compris, cela devient un obstacle. • Ce que l’on appelle « la retenue ». (dans les procédures que nous proposons, • le mot usuel n’est pas employé : nous parlerons « d’échanges » en référence • à la NDP ( numération décimale de position). Souvent, la retenue ne fait pas sens • et elle est donc gérée de manière approximative et aléatoire. • La maîtrise des petits répertoires additifs et soustractifs : pour certains enfants, • l’effort se porte sur « 8-5 », péniblement trouvé avec l’usage tardif des doigts, • quand d’autres récupèrent tout de suite le résultat dans un stock de résultats • mémorisés et disponibles. En parallèle, sur des temps décrochés et réguliers, • il faut travailler et entretenir la mémorisation des répertoires de petits nombres. • La multiplicité des « termes » techniques utilisés : « je retire de »  ; « j’enlève à » • ; « j’ôte» ; « je soustrais » ; « moins » …. en fonction des adultes qui guident • l’apprentissage, ajoute de la confusion chez certains élèves.

4. Quels conseils ? • Articuler en permanence au cours des 5 années, calcul posé et calcul mental • (automatisé, pour les résultats des tables et réfléchi, pour développer des procédures). • Faire vivre l’apprentissage à travers ses usages : en résolution de problème, • dans le domaine des grandeurs et mesures (par exemple, avec les périmètres) • Privilégier la méthode qui vise à « casser la dizaine » pour la transformer en 10 • unités. (la technique dite de « l’écart constant », quoique « sociale », est écartée); • Argumentaire de la mission MATHS 94 : • cette « technique » est plus facile à comprendre et le sens aide à la mémorisation de • procédures et à leur automatisation progressive ; • elle offre l’avantage de renforcer le domaine de la numération décimale de position et de mieux en comprendre son fonctionnement (notion d’échange : 10 contre 1) ; elle facilitera l’apprentissage du calcul des durées : 1 heure contre 60 minutes.. elle permet l’utilisation de matériel didactique (bouliers, abaques, matériel multibase) et garantit ainsi la manipulation, nécessaire aux apprentissages et tant concurrencée, dès les petites classes, par l’usage du fichier et de présentations formelles et abstraites.

5. Items évalués et niveau de maîtrise CM2 2011 Item 82 : exercice 13 56,73 – 7,02 environ ¼ des élèves ne réussit pas en janvier Le fait d’avoir une partie décimale au centième dans les deux nombres ne permet pas de voir si l’élève a bien identifié l’unité pour poser l’opération ou s’il a procédé par « habitude » en posant les chiffres les uns sous les autres de la droite vers la gauche. On pourrait essayer 55,43 – 5,4. Un élève peut très bien avoir fait illusion en traitant séparément la partie décimale et la partie entière comme deux nombres entiers juxtaposés (56-7) puis (73-02). On pourrait perturber davantage la situation en proposant 56,74 – 4,91 ou 56,7 – 5,91 Il ne s’agit pas de mettre l’élève en difficulté mais de creuser pour distinguer la procédure « mécanique » de la bonne compréhension du système décimal. Certaines réponses justes occultent, elles aussi,des incompréhensions ou des représentations erronées bien installées. (Le calcul offre l’avantage de consolider la numération : c’est fondamental à l’école primaire)

6. Items évalués et niveau de maîtrise CM2 2011 suite Item 95 : exercice 19 246 + 34 + …… = 500 La virgule n’est pas le cœur du problème….. Environ la moitié des élèves ne trouve pas… Le calcul est écrit pour soulager la mémoire de travail. 500 est un nombre « rond ». L’ordre de présentation invite à mobiliser une stratégie de simple bon sens : compléter par 4 unités (retenir 250) ; compléter par 3 dizaines (retenir 280) ; Difficulté: garder en mémoire 280 jusqu’au bout (s’il est oublié, il faut tout recommencer) Poursuivreen cherchant le complément jusqu’à 300 et de 300 à 500. Il n’y a pas de problème de « retenue ». Nombre d’élèves ne semblent pas voir la quantité en lisant directement un nombre. L’habitude de manipuler du matériel multibase permet de voir mentalement 4 barres de 10 dans 845 ; dans 1043 dans 48 ; dans 547,56

7. Items évalués et niveau de maîtrise CE1 2011 Item 76 : exercice 10 Item 77 : exercice 10 481 – 126 = 786 – 254 = Environ ¼ des élèves ne réussit pas en mai Environ la moitié des élèves ne trouve pas… Des élèves peuvent avoir eu « juste » en procédant de manière plus ou moins mécanique, colonne par colonne. Le nombre égal de chiffres aux deux termes de la soustraction limite les risques d’erreur de position. Le calcul ne garantit pas la compréhension du fonctionnement de la numération de position. L’écriture posée ne peut poser problème puisqu’il y a autant de chiffres aux deux termes de la soustraction (cf item 76) Sans doute que le répertoire des tables de soustraction de petits nombres n’est pas suffisamment mémorisé et automatisé pour offrir disponibilité et rapidité à l’élève. Au demeurant, l’usage des doigts était possible (je lève 6 doigts, j’en replie 4 et il en reste 2 levés) difficulté : ne pas confondre avec les autres doigts ; adopter un sens de lecture. Le problème de la « retenue » ne se pose qu’une fois et au début. Les nombres choisis sont réguliers sur le plan de leur lecture : quatre cents ; vingt-six (différent de quinze ou soixante-treize) Or, dès le CP les élèves abordent la technique opératoire de la soustraction … Le principe des échanges 10 contre 1 est-il compris ?

8. Usage du matériel multibase Avec les remerciements à Aurélie, IMF à l’école Decroly Étape de familiarisation avec le matériel : CP et aussi CE1 Constituer 57 sur la table Avec le matériel, la position n’a pas d’importance. Nombre de barres de 10 Nombre de cubes simples Rédaction du bon de commande 5 7 Mettons un peu d’ordre

9. Usage du matériel multibase Étape de familiarisation avec le matériel : CP et aussi CE1 Constituer 245 sur la table Nombre de plaques Nombre de barres de 10 Nombre de cubes simples Rédaction du bon de commande 2 4 5 24 On transforme tout en barres de 10 Il faut bien s’assurer de la conversion d’1 plaque en 10 barres

10. Usage du matériel multibase Étape de familiarisation avec le matériel : CP et aussi CE1 Constituer 505 sur la table Rédaction du bon de commande Risque de confusion Avec le « o » au milieu : absence de quoi ? Nombre de plaques Nombre de barres de 10 Nombre de cubes simples Euréka ! It’s easy 5 0 ou 5 505 Cinq cents, c’est 5 centaines, c’est 5 plaques

11. Usage du matériel multibase Étape de résolution simple (sans retenue) CE1 365 moins 142 J’ai 365 Nombre de plaques Nombre de barres de 10 Nombre de cubes simples 3 6 5 Good ! Il reste 223 Nombre de plaques Nombre de barres de 10 Nombre de cubes simples 2 3 6 2 5 3 1 plaque en moins 4 barres en moins 2 cubes en moins Résultat : 223 Je retire 142 En rouge, la table de travail sur laquelle je pose ce que je retire ou transforme

12. Usage du matériel multibase Étape de résolution plus complexe (avec retenue) CE1 243 moins 174 J’ai 243 Nombre de plaques Nombre de barres de 10 Nombre de cubes simples 2 plaques 2 4 3 barres 9 cubes 13 cubes 3 Je rencontre un problème Je prends une barre de 10 et je l’échange contre 10 cubes Comment enlever 4 cubes ?!!! -1 barre +10 cubes moins 4 Je peux retirer 4 cubes Je retire 174 En rouge, la table de travail sur laquelle je pose ce que je retire ou transforme

13. J’ai 243 243 moins 174 Nombre de plaques Nombre de barres de 10 Nombre de cubes simples Je rencontre un autre problème 2 plaques 1 3 barres 13 6 9 cubes 9 Comment enlever 7 barres ? - 1 plaque +10 barres moins 7 barres Je prends 1 plaque et je l’échange contre 10 barres Je peux retirer 7 barres Résultat : 169 You are the best ! En rouge, la table de travail sur laquelle je pose ce que je retire ou transforme

14. Prolongement de l’usage du matériel : conseils • Eviter de cesser l’utilisation du matériel afin qu’il reste familier à l’élève sur l’ensemble • de sa scolarité en école élémentaire. Il s’en servira : • -en CE2 avec les cubes de 1000, • -en CM1 pour revoir les bases • et gérer les soustractions de grands nombres de 10 000 et plus, de temps en temps • (cf dessin du matériel multibase fiche annexe) • -en CM1 et en CM2 pour les • nombres décimaux • En complément, utiliser les abaques et les bouliers (de 10 contre 1) : la notion • se construit ainsi indépendamment du matériel utilisé. Développer une dextérité. • Si un élève est fragile et privilégie un type de matériel, renforcer cet usage sans le • Perdre avec une multiplicité de matériels. • En complément, sur des temps décrochés, très courts et réguliers, développer • la mémorisation du répertoire soustractif. Tenir, par exemple, une feuille de route • (de scores) sur le CP-CE1 et l’entretenir régulièrement sur les cycles suivants. • En complément, proposer des situations variées nécessitant l’usage de la soustraction • En grandeurs et mesures : situation sur la longueur d’un terrain rectangulaire, même • Avant l’enseignement des périmètres… ; montant d’une réduction entre deux prix • en euros… • En gestion des données …

15. Comment passer à l’abstraction ? Au cahier ? Avec les remerciements à Aurélie, IMF 431-151 De la méthode Toujours la même On dessine (2 couleurs)

16. Comment passer à l’abstraction ? Au cahier ? 631 - 457 4 5 7 + 1 7 4 --------------- 6 3 1 Résultat annoncé clairement Vérification avec addition Technique avec les chiffres consigne

17. Comment passer à l’abstraction ? Au cahier ? 431-282 Vérification avec addition Automatisation de la méthode pour se concentrer sur le calcul Annonce du résultat consigne Technique habituelle ENTRAINEMENT

18. Et la gestion des zéros ? La propreté des calculs ? 300 - 134 Je barre, j’échange et je retire : technique maîtrisée La compréhension de la NDP aide à franchir l’obstacle Vérification par l’addition et validation par le maître

19. Toujours plus vite et plus efficace… avec la pratique 1541 - 634 3604 - 738 Yes of course !! Il est très important et motivant pour l’élève de l’associer explicitement aux critères de réussite et d’évaluation des compétences. Emulation et enjeu Lisibilité sur les apprentissages Autre rapport à l’école …. Compétence validée ? Si tu en réussis 5 sans te tromper, je te dirai que tu sais soustraire.

20. En espérant que cet outil puisse vous offrir quelques pistes concrètes…. Le matériel multibase (+ bouliers, abaques, monnaie, cartons Montessori….) est disponible dans chaque circonscription. Les équipes de circonscription pourront relayer cette présentation. Pour les grands nombres et les décimaux, le principe reste identique et il est familier des élèves s’il a été abordé en C2. The end