Examen partiel #2

1. Examen partiel #2 • Mercredi le 15 novembre de 13h30 à 15h20 • Salles 2850 du pavillon Vachon. • Matière de l'examen: • - Livre de Lay: sections 2.6, 2.8, 2.9, 3.1, 3.2, 3.3, 5.1, 5.2. • - Notes de cours (guide d'études): sections 6 à 10. • - Devoirs: 4 à 7.

2. Rappel... • Déterminants: • définition; • propriétés; • règle de Cramer; • calcul de l’inverse d’une matrice; • aire et volume; • transformations linéaires.

3. Aujourd’hui • Valeurs propres et vecteurs propres. • Définitions; • Propriétés; • Équations aux différences; • Équation caractéristique; • Matrices similaires; • Applications aux systèmes dynamiques.

4. Av Au u v 10. Valeurs propres etvecteurs propres

5. Définition: Vecteur propre Un vecteur propre d’une matrice Annest un vecteur non nul x tel que Ax = lx pour un scalaire l quelconque.

6. Définition: Valeur propre Un scalaire l est appelé une valeur propre de A s’il existe une solution non triviale x du système Ax = lx; un tel x est appelé vecteur propre correspondant à l.

7. Matlab: eig x = eig(A): x est un vecteur colonne contenant les valeurs propres de A. [U V] = eig(A): U est une matrice diagonale contenant les valeurs propres de A et V est une matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres de A.

8. Équation (A - lI)x = 0 • L’ensemble de toutes les solutions est le noyau de la matrice (A - lI). • C’est donc un sous-espace de Rn. • On appelle ce sous-espace l’espace propre correspondant à l.

9. Valeurs propres d’une matrice triangulaire Soit A une matrice triangulaire. Alors les valeurs propres de A sont les éléments de la diagonale principale de A.

10. Suite du théorème des matrices inversibles Soit A une matrice nn. Alors A est inversible si et seulement si Le nombre 0 n’est pas une valeur propre de A.

11. Vecteurs propres correspondants à des valeurs propres distinctes Si v1,...,vr sont des vecteurs propres correspondants à des valeurs propres distinctes l1,...,lr d’une matrice Ann, alors l’ensemble {v1,...,vr} est linéairement indépendant.

12. Équations aux différences • Équations représentant des systèmes dynamiques. • Équation du premier ordre: xk+1= A xk, k = 0,1,2,...

13. L’équation caractéristique • L’équation caractéristique est une équation scalaire à une inconnue nous permettant de calculer les valeurs propres.

14. Propriétés des déterminants • Soit A et B des matrices nn. a. A est réversible si et seulement si det A 0. b. det AB = (det A)(det B). c. det AT = det A.

15. Propriétés des déterminants (suite) d. Si A est une matrice triangulaire, alors det A est le produit des éléments de la diagonale principale de A.

16. Propriétés des déterminants (suite) e. - Une opération de remplacement d’une ligne de A ne change pas le déterminant. - Un échange de deux ligne change le signe du déterminant. - La multiplication d’une ligne par un scalaire multiplie le déterminant par le même scalaire.

17. Définition: équation caractéristique • (A - lI)x = 0 a une solution non triviale si et seulement si A - lI est non inversible(théorème sur les matrices inversibles). • A - lI est non inversible si et seulement sidet(A - lI) = 0.

18. Définition: équation caractéristique (suite) • Ceci nous amène donc à définir l’équation caractéristique de A. det(A - lI) = 0

19. Définition: matrice similaire Si A et B sont des matrices similaires, alors A est similaire à B s’il existe une matrice réversible P telle que P-1AP = B ou, de manière équivalente, A = PBP-1.

20. Matrice similaire (suite) Si on remplace P-1 par Q on a Q-1BQ = A. B est donc similaire à A, et nous disons simplement que A et B sont similaires.

21. Théorème: Matrices similaires et valeurs propres Si A et B, des matrices nn, sont similaires, alors elles ont le même polynôme caractéristique et donc les mêmes valeurs propres (avec les mêmes multiplicités).

22. Prochain cours... • Diagonalisation et transformations linéaires.