Mozgásegyenletek

1. Mozgásegyenletek Mechanikai rendszer Lagrange-függvénye: Általános koordináták: Általános sebességek: t Legkisebb hatás elve (Hamilton-elv): t0 Következmény: (i = 1,2,…,s) Lagrange-egyenlet

2. Pont és pontrendszer Lagrange-függvénye Szabadon mozgó tömegpont: Tér és idő homogenitása  L nem tartalmazhatja expliciten az r helyzetvektort és a t időt. Tér izotróp  L = L(v2) Pontrendszer Lagrange-függvénye: nem kölcsönható részecskék kölcsönható részecskék potenciális energia mozgási energia

3. Newton-féle mozgásegyenletek Erő: a-aik pontra ható erő

4. Mozgásállandók: energia, impulzus Energia:  Impulzus: Általános impulzus: Általános erő:

5. Mozgásállandók: tömegközéppont Tömegközéppont: Sebessége:  Energia:

6. Mozgásállandók: impulzusmomentum Impulzusmomentum: Függés a koordináta-rendszertől: (csak akkor nem függ, ha a rendszer nyugalomban van: P=0) Függés a rendszer sebességétől:

7. Termodinamikai alapfogalmak I. Termodinamikai rendszer: A térnek képzelt vagy valós határfe- lülettel elkülönített része. Zárt: tömegtranszport megengedett Szigetelt: sem energia, sem tömegtranszport Nyitott: tömeg- és energiatranszport is megengedett Egyensúlyi: nincsenek makroszkópikus folyamatok Homogén: minden pontjában azonos fizikai tulajdonságú Parciálisan homogén: csak bizonyos fizikai tulajdonságok eloszlása homogén Inhomogén: fizikai tulajdonságok változása folytonos Heterogén: ugrásszerű változások a fizikai tulajdonságokban Izotrop: a tér minden irányában azonos fizikai tulajdonságú Anizotrop: fizikai tulajdonságoka tér különböző irányaiban különböznek

8. Termodinamikai alapfogalmak II. Komponens: Az anyag kémiai tulajdonságai alapján megkülön- böztethető része. Fázis: Az anyag homogén kémiai összetételű és fizikai szerkezetű része. Környezet: a rendszeren kívül esik, de a falat sem tartalmazza Szigetelések: Falak merev mechanikai munkát kizárja inpermeábilis tömegtranszportot kizárja szemipermeábilis tömegtranszportot kizárja (komponens, irány) adiatermikus hőtranszportot kizárja árnyékoló erőtereket kizárja diatermikus hőtranszportot megengedi permeábilis tömegtranszportot megengedi

9. Termodinamikai alapfogalmak III. • Állapot: A rendszer pillanatnyi energia- és tömegeloszlása. • Mikroszkopikus leírás: a rendszert felépítő részecskék mozgásfor- • máinak ismeretében (mikroszkopikus koordinátákkal: hely, im- • pulzus). • Makroszkopikus leírás: a mikroszkopikus koordinátákból átlag- • képzéssel kapott mennyiségekkel (nyomás, hőmérséklet, fajhő, stb). • Állapotjelző: A rendszer állapotától egyértelműen függő makrosz- • kopikus tulajdonságok. • állapot egyértékű függvényei • előző állapottól és állapotváltozás útjától függetlenek • más állapotjelzők egyértelmű függvényei • állapottér, állapotfelület, állapotváltozás

10. Termodinamikai alapfogalmak IV. Extenzív és intenzív állapotjelzők. Hajtóerő: az egyes kölcsönhatásokhoz tartozó intenzív állapotjelzők inhomogenitása (általános erő). Áram: a kölcsönhatásokhoz tartozó extenzív állapotjelző hajtóerő okozta áramlása. Munka: dWi = yidXi A rendszer határfelületén fellépő energiatranszport-mennyiség, amelyet a kölcsönhatáshoz tartozó és a hőmérséklettől különböző intenzív állapotjelző inhomogenitása, a hajtóerő hoz létre. Hő: A rendszer határfelületén fellépő, tömegtranszport nélküli energiatranszport-mennyiség, amelyet a hőmérséklet-eloszlás in- homogenitása hoz létre.

11. Termodinamika I. Állapotegyenlet: Ideális gáz: Hőmennyiség, hőkapacitás: I. Főtétel: belső energia Körfolyamatra:

12. Termodinamika II. Munka: Általában:

13. Termodinamika III. Entalpia: Izoterm, izochor, izobár, adiabatikus állapotváltozások:

14. Termodinamika IV. Carnot-féle körfolyamat: II. Főtétel: nincs olyan folyamat, amelynek összes hatása az, hogy a hő hidegebb helyről melegebbre megy át.

15. Termodinamika V. Entrópia: Így a mennyiség egy teljes differenciál: az entrópia.

16. Termodinamika VI. I. főtétel: II. főtétel: III. főtétel: minden folyékony és szilárd anyagból álló homogén rendszer entrópiája zérus az abszolut zérus ponton.

17. Vektorok I. Lineáris vektortér (L): 1. Értelmezve van az összeadás a, b, c esetén a + b L a + (b + c) = (a + b) +c (asszociativitás) a + b = b + a(kommutativitás)  0 elem, és  a-ra: a + 0 = a  inverz elem, és  a-ra: a + (-a)= 0 2. Értelmezve van a skalárral való szorzás la L 1 · a = a · 1 l(ma) = (lm)a (l + m)a = la + ma l(a + b) = la + lb

18. Vektorok II. Lineáris kombináció: Lineáris függetlenség: akkor, ha minden i-reli= 0 Dimenzió: lineárisan független vektorok számának maximuma Generátorrendszer: az a {a1, a2, …, an} vektorrendszer, amely az Ln teret előállítja Bázis: ha {a1, a2, …, an} generátorrendszer és lineárisan független

19. Lineáris egyenletrendszerek a11x1+ … + a1nxn = b1 a21x1+ … + a2nxn = b2 · · · an1x1+ … + annxn = bn Ha vektorok (lineáris kombináció)

20. Mátrixok I. A · x = b négyzetes mátrixok oszlopmátrix fődiagonális sormátrix háromszög mátrix adjungált mátrix egységmátrix önadjungált (hermitikus) mátrix transzponált mátrix szimmetrikus mátrix

21. Mátrixok II. • Összeadás: • kommutatív • asszociatív • létezik egységelem és inverz elem Szorzás skalárral: • 1 · A = A • l(mA) = (lm)A • (l + m)A = lA + mA • l(A + B) = lA + lB A MÁTRIXOK LINEÁRIS TERET ADNAK.

22. Mátrixok III. • Mátrixok szorzása: • nem kommutatív Inverz mátrix: A ·A-1= A-1·A = E Determináns (a négyzetes mátrix determinánsa): • ha egy összes eleme zérus, a determináns értéke zérus • egy sor összes elemét konstanssal szorozva, a determináns értéke a konstanssal szorzódik • két sor felcserélésével a determináns előjelet vált • ha két sor azonos, a determináns értéke zérus • ha egy sorához hozzáadjuk egy másik sor k-szorosát, a determináns értéke nem változik • ha valamelyik sor a többi lineáris kombinációja, a determináns értéke zérus • transzponált mátrix determinánsa az eredetivel azonos

23. Skalárszorzat • <a|b> = <b|a> • <(a+b)|c> = <a|c> + <b|c> • <la|b> = l <a|b> • <a|a> = 0  ha a=0 ortogonalitás: normáltság: komplex függvényekre:

24. Transzformációk transzformáció és operátora: lineáris transzformációk:

25. Műveletek operátorokkal • összeadás • szorzás skalárral • operátorok szorzása • inverz operátor • adjungált • önadjungált (hermitikus) • unitér

26. Sajátérték-egyenletek I.  • Ln-ben egy lineáris operátornak legföljebb n db különböző • sajátértéke van • különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok lineárisanfüggetlenek • degenerált sajátérték: ha több különböző sajátvektor tartozik • hozzá • a sajátértékek összességét spektrumnak nevezzük • Fizikai mennyiségeket önadjungált operátorok reprezentálnak.

27. Sajátérték-egyenletek II. L: diagonális mátrix, elemei a sajátvektorok hasonlósági transzformáció ha X normált sajátvektorokból áll, akkor unitér

28. Négyzetesen integrálható függvények I. Hilbert-tér: L2 skalárszorzat végtelen sok lineárisan független elem bázis: végtelen sok lineárisan független függvény norma, ortogonalitás értelmezhetők ortonormált bázis 

29. Négyzetesen integrálható függvények II. Önadjungált mátrix hozzárendelése operátorhoz: Önadjungált mátrix sajátértékei valósak, sajátfüggvényei teljes ortonormált rendszert alkotnak.

30. A kvantummechanika axiómái I. A mikrorendszer állapotát egyértelmű állapotfüggvény írja le. Ez a függvény ad számot a rendszeren végzett mérések várható eredményéről. Klasszikus mechanikai állapotegyenlet: Kvantummechanikai állapotegyenlet: normálási feltétel skalárszorzat szuperpozíció

31. A kvantummechanika axiómái II. A mérhető fizikai mennyiségekhez lineáris önadjungált operátorokat rendelünk. lineáris operátor: mátrixreprezentáció a j bázison: vagyis Egy fizikai mennyiség méréssel nyerhető értékei megegyeznek a hozzárendelt operátor valamely sajátértékével.

32. Fizikai mennyiségek operátorai I. koordináták: impulzus:

33. Fizikai mennyiségek operátorai II. kinetikus energia: ha akkor miatt

34. Fizikai mennyiségek operátorai III. impulzusmomentum:

35. A kvantummechanika axiómái III. Bármely fizikai mennyiség várható értéke a következő skalárszorzattal adható meg: Várható érték: Szórás:   (ez a sajátértékegyenlet)

36. A kvantummechanika axiómái IV. Kevert állapotban: F(Y1,Y2,Y3,....) annak a valószínűsége, hogy a li sajátértéket mérjük. klasszikus statisztika:

37. A kvantummechanika axiómái V. Egy mikrorendszer állapotának időbeli változását az időfüggő Schrödinger-egyenlet írja le: Ha a rendszer időben változatlan (stacionárius állapot): 

38. Szabadon mozgó részecske mivel   alakú, 

39. Harmonikus oszcillátor   Nv: konstans, Hv: v-edfokú Hermite-polinom

40. Centrális erőtér: A H-atom  alakban Megoldható a

41. H-atom II. ahol asszociált Legendre-polinom ahol asszociált Laguerre-polinom

42. H-atom III. normálási tényező

43. Kvantumszámok n: főkvantumszám; a H-atom lehetséges energiaszintjeit szabja meg l: mellékkvantumszám; az impulzusmomentum lehetséges értékeit adja meg (h/2p egységekben) l = 0, 1, 2, ..., n-1 m: mágneses kvantumszám; az impulzusmomentum z irányú vetü- letét adja meg m = 0, ±1, ± 2, ..., ± l

44. Az elektron impulzusmomentuma nagysága:  z irányú vetület:

45. Az impulzusmomentum iránykvantálása bizonytalanságértelmezése a kommutátorral

46. Hidrogén atompályáinak elektronsűrűségei

47. Mágneses nyomaték Mágneses- és impulzusmomentum kapcsolata: Operátorokra: z irányú mágneses térben:

48. Elektronspin Módoított Stern-Gerlach kísérletből: alapállapotú H-atomnak (m=0) is van mágneses nyomatéka Új fizikai tulajdonság, új operátor (új posztulátumként): Elektron spinje állandó:

49. Spinfüggvény, pályafüggvény Mágneses spinkvantumszám: A spin és a pálya menti mozgás egymástól független:  a és b degenerált sajátfüggvények:

50. Teljes impulzusmomentum  Belső kvantumszám: A spin beállási lehetőségeit multiőlicitásnak nevezzük.