Dane informacyjne

2. Dane informacyjne • Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 10 w Szczecinie • ID grupy: 98/71_MF_G2 • Opiekun: Katarzyna Misztak • Kompetencja: matematyczno – • fizyczna • Temat projektowy: Twierdzenie Pitagorasa • Semestr/rok szkolny: semestr V/ rok • szkolny 2011/2012 • Nazwa szkoły: • Gimnazjum w Zespole Szkół w Lubiniu • ID grupy: 98/68_MF_G2 • Opiekun: Izabela Kaźmierczak • Kompetencja: matematyczno – • fizyczna • Temat projektowy: Twierdzenie Pitagorasa • Semestr/rok szkolny: semestr V/ rok • szkolny 2011/2012

3. „Trudno jest iść przez życie wieloma drogami jednocześnie…”(Pitagoras) Pitagoras- prawdopodobnie żył w latach 572 – 497 p.n.e. Urodził się na wyspie Samos. Najbardziej owocne prace Pitagorasa przypadają na okres życia, który spędził w Krotonie (dzisiejsze południowe Włochy). Tam też założył filozoficzną szkołę pitagorejską, która stała się ośrodkiem badań naukowych, szczególnie w dziedzinie matematyki, astronomii i filozofii.

4. Pitagoras nie pozostawił żadnych prac i o jego działalności wiadomo niewiele. Dużo podróżował. We Francji i Babilonie miał okazję poznać dokonania tamtejszych matematyków i przenieść myśl matematyczną Egipcjan i Babilończyków do Grecji. Tzw. „Twierdzenie Pitagorasa” znane było Babilończykom na długo przed Pitagorasem. Nie był on prawdopodobnie odkrywcą tego twierdzenia, ale prawdopodobnie je udowodnił. Wiadomości o średniej arytmetycznej, geometrycznej i harmonicznej, zastosowanej przez Pitagorasa w muzyce, przejął również od matematyków Babilońskich. Trudno jest wyodrębnić odkrycia samego Pitagorasa spośród tych, których dokonali jego uczniowie i następcy, nazywający siebie pitagorejczykami.

5. DOKONANIA PITAGOREJCZYKÓW • Od pitagorejczyków pochodzi podział na liczby parzyste i nieparzyste. Pitagorejczycy poza zagadnieniami z zakresu geometrii interesowali się także teorią liczb. Zajmowali się także liczbami doskonałymi. Szukali także par liczb zaprzyjaźnionych zajmowali się proporcjami, lecz szczególnie dla dalszego rozwoju matematyki miało stwierdzenie istnienia odcinków niewspółmiernych. Wokół tego odkrycia narosło sporo legend. Stwierdzenie dotyczące istnienia odcinków niewspółmiernych (bok i przekątna kwadratu) wywołało - wskutek utrzymania tego odkrycia w tajemnicy - rozłam wśród pitagorejczyków. Odkrycie to ujawniło sprzeczności w systemie filozoficznym pitagorejczyków, według którego "wszystko jest liczbą", rozumianą jako liczba naturalna. Pitagorejczycy nie rozumieli liczby jako abstrakcji, lecz rozumieli ją jako przestrzenną wielkość, jako realny kształt. Liczba jest realną siłą w przyrodzie.

6. Gwiazda pitagorejska • Umiłowaną figurą geometryczną pitagorejczyków był pentagram, zwany również gwiazdą pitagorejską. Jest to prawidłowy pięciokąt, którego boki przedłużone w obie strony tworzą pięciokąt gwiaździsty. Znakiem tym pitagorejczycy pozdrawiali się i wzajemnie rozpoznawali, kreśląc go na piasku. Gwiazda pitagorejska posiada właściwości wyróżniające ją spośród innych gwiazd. Suma kątów wewnętrznych pentagramu równa jest kątowi półpełnemu (180°). Promienie gwiazdy pitagorejskiej "tworzą" trójkąty równoramienne z dwoma kątami u podstawy 72° i kątem przy wierzchołku równym 36°. Możemy doszukać się więc trójkątów podobnych, z których wynika, że długość odcinka a + b równa jest długości odcinka c. Odcinek a + b jest przykładem złotej proporcji, czyli taki podział odcinka na dwie części, że większa część do mniejszej ma się tak samo jak całość do części większej. Takie złote cięcia odnajdujemy we wszystkich punktach skrzyżowania promieni gwiazdy pitagorejskiej.

7. Odkrycie pitagorasa… • Legenda głosi, że Pitagoras odwiedzając współczesną mu świątynię, na posadzkach zauważył ornament, który był rysunkowym dowodem twierdzenia noszącego obecnie jego imię. Z wdzięczności złożył bogom ofiarę ze stu wołów, tak zwaną „hekatombę”.

8. Czy wiesz jak nazywają się boki trójkąta prostokątnego ? Przeciwprostokątna (c) Przyprostokątna (b) Przyprostokątna (a)

9. JAK W STAROŻYTNYM EGIPCIE WYZNACZANO KĄT PROSTY ? Już w starożytnym Egipcie używano trójkąta prostokątnego o bokach 3,4,5 do wyznaczania kąta prostego w terenie. Regularne wylewy Nilu, niosąc ogromne ilości mułu zacierały granice pomiędzy gospodarstwami. Gdy wody opadały, granice te należało ponownie wyznaczyć. Do tego celu używano sznura z węzłami w regularnych odstępach. Legenda głosi, że Pitagoras poznał trójkąt egipski w czasie pobytu w Egipcie i ten fakt przyczynił się do odkrycia sławnego twierdzenia.

10. Wykonaj zadanie, a dowiesz się co zauważył Pitagoras… Dany jest trójkąt prostokątny o bokach 3,4,5. Oblicz pola kwadratów zbudowanych na tych bokach. 5 3 5·5=25 4 3·3=9 4·4=16

11. P3 =25 P2=9 P1=16 16 + 9 = 25zatem możemy zapisać, że P1 + P2 = P3 i wysunąć następujący wniosek zwany TWIERDZENIEM PITAGORASA W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

12. Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. INNE SFORMUŁOWANIE TWIERDZENIA PITAGORASA a² + b² = c² przyprostokątna c przeciwprostokątna a b przyprostokątna Kąt prosty

13. Interpretacja geometryczna twierdzenia Pitagorasa • Jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratowi zbudowanego na przeciwprostokątnej.

14. TWIERDZENIE ODWROTNE DO TWIERDZENIA PITAGORASA • Twierdzenie to było znane i wykorzystywane o wiele wcześniej niż Twierdzenie Pitagorasa. • Starożytne kultury Azji (Indie, Chiny, czy Babilonia), a także Egipcjanie wykorzystywali je do praktycznego wyznaczenia kąta w terenie budując trójkąt o bokach 3, 4, 5. Kąt prosty uzyskuje się wtedy pomiędzy bokami o długości 3 i 4

15. twierdzenie odwrotne do TWIERDZENIA Pitagorasa • Jeżeli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego z nich, to jest to trójkąt prostokątny, a kąt prosty znajduje się pomiędzy dwoma krótszymi bokami. a² + b² = c² |<BCA| = 90°

16. INNE SFORMUŁOWANIE TWIERDZENIA ODWROTNEGO DO TWIERDZENIA PITAGORASA Jeśli dane są trzy dodatnie liczby a, b i c takie, że a²+ b² = c², to istnieje trójkąt o bokach długości a, b i c, a kąt między bokami o długości a i b jest prosty.

17. UOGÓLNIENIE TWIERDZENIA ODWROTNEGO DO TWIERDZENIA PITAGORASA • Jeżeli a, b i c są długościami boków trójkąta oraz a ≤ c i b ≤ c, to trójkąt ten jest : • prostokątny, gdy a² + b² = c² • rozwartokątny, gdy a² + b² < c² • ostrokątny, gdy a² + b² > c². • Powyższe twierdzenie jest uogólnieniem twierdzenia odwrotnego do Twierdzenia Pitagorasa. Dzięki temu twierdzeniu w prosty sposób możemy sprawdzić, czy dany trójkąt jest prostokątny, rozwartokątny, czy ostrokątny.

18. Przykłady • Sprawdź, czy trójkąty o danych bokach są prostokątne a) 1, 1, √2 1² + 1² = 2 2 = 2 TAK ten trójkąt jest prostokątny Stosuję tw. odwrotne do tw. Pitagorasa. Do równania a² + b ² = c² podstawiam za c liczbę √2 (największą z tych liczb), za a i b podstawiam liczbę 1. Sprawdzam, czy zachodzi równość. b) 3, 4, 6 3² + 4² = 6² 9 + 16 = 36 25 ≠ 36 Ten trójkąt nie jest prostokątny Sprawdzam, czy podane długości boków trójkąta spełniają równanie a²+b²=c². Jeżeli trójkąt o bokach 3,4,6 byłyby prostokątny, to przeciwprostokątna (jako najdłuższy bok) byłaby równa 6.

19. c) 2, 3, 4 2² + 3² = 4² 4 + 9 = 16 13 ≠ 16 Ten trójkąt nie jest prostokątny Podobnie jak w punkcie a i b stosuję tw. odwrotne do tw. Pitagorasa. • Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa stosujemy wtedy, gdy chcemy sprawdzić, czy trójkąt o podanych bokach jest prostokątny. d) 17, 8, 15 8² + 15² = 17² 64 + 225 = 289 289 = 289 Tak, ten trójkąt jest prostokątny Największą z trójki liczb postawiam za c.

20. Dowody twierdzenia pitagorasa

21. Liczba różnych dowodów twierdzenia Pitagorasa jest bardzo duża – Euklides w Elementach podaje ich osiem, kolejne pojawiały się na przestrzeni wieków i pojawiają aż po dni dzisiejsze. • . • Niektóre z dowodów są czysto algebraiczne (jak dowód z podobieństwa trójkątów), inne mają formę układanek geometrycznych (prawdopodobny dowód Pitagorasa), jeszcze inne oparte są o równości pól pewnych figur. Zaprezentujemy tu jedynie kilka wybranych dowodów.

22. DOWÓD Przez podobieństwo • Jest to jeden z dowodów podanych przez Euklidesa, wykorzystuje on podobieństwo trójkątów. Zauważmy, że na rysunku obok trójkąty: "duży" – ABC , "różowy" – ADC i "niebieski" –  DBC są podobne. Niech |AB| = c, |BC| = a i |AC| = b. Można napisać proporcje: • Stąd: • i po dodaniu stronami: A więc:a² + b² = c²

23. Dowód – układanka • Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości a, b i c jak na rysunku z lewej. Konstruujemy kwadrat o boku długości a + b w sposób ukazany na rysunku z lewej, a następnie z prawej. Z jednej strony pole kwadratu równe jest sumie pól czterech trójkątów prostokątnych i kwadratu zbudowanego na ich przeciwprostokątnych, z drugiej zaś równe jest ono sumie pól tych samych czterech trójkątów i dwóch mniejszych kwadratów zbudowanych na ich przyprostokątnych.Stąd wniosek, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych.

24. Dowód Algebraiczny • Należy pokazać, że a2 +b2 = c2, gdzie:a, b – przyprostokątne • i c- przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym. • Rozważmy kwadrat o boku a+b; (rys.1), gdzie a i b są odcinkami różnej długości.Łącząc ze sobą charakterystyczne punkty leżące na przyległych bokach kwadratu otrzymamy kwadrat o boku c. Rozważmy teraz pole kwadratu o bokua+b(rys.1) Rys. 1 Rys. 2

25. Dowód Algebraiczny – ciąg dalszy • Z jednej strony wynosi ono: • P = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 • Z drugiej zaś strony, pole to możemy obliczyć jako sumę pól: kwadratu o boku c i czterech trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych a i b (rys.2). • P = P kwadratów + 4P trójkątów • P = c2 + 4 · ½ab= c2 +2ab • Zatem mamy równość: • a2+ 2ab + b2 = c2+ 2ab • a2 + b2 = c2 Rys. 1 Rys. 2

26. Dowód chiński • Znowu zacznijmy od trójkąta prostokątnego a, b ic.Dowód zaczyna się od ustawienia obok siebie kwadratów o boku ai o boku b. Kolejne przekształcenia, które nie zmieniają pola, przekształcają pola obu kwadratów na pole jednego kwadratu o boku c.

27. Dowód Garfielda • Na przyprostokątnej | BC | = a danego trójkąta • prostokątnego Δ ABC odkładamy | CD | = | AB | = b, a następnie • na prostej ED równoległej do AB odkładamy | BC | = a. Trójkąt • ΔACE jest prostokątny i równoramienny, a jego pole wynosi:

28. Dowód Garfielda – ciąg dalszy • Pola trójkątów Δ ABC i Δ CDE są równe • ( trójkąty te są przystające) i wynoszą w sumie • Trzy wspomniane trójkąty tworzą trapez ABDE • o polu [(b+a)*(a+b)] \ 2, stąd równości • (b + a) (a + b) = c² +2ab • a²+2ab +b²= c² +2ab • a2 + b2 = c2

29. Dowód na posadzce • Wyjaśnienie tajemnicy posadzki. Na pierwszym rysunku na początku rozdziału na posadzce były tylko kwadraty o bokach - nazwijmy je - a i b. Czy potrafisz na tej posadzce dostrzec trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b? Oznaczmy długość przeciwprostokątnej w takim trójkącie c. Teraz posadzka została przykryta kwadratowymi kafelkami o boku c. Spójrz na zaznaczone cztery trójkąty prostokątne o bokach a, b i c. Pokazują one, ze te duże kafelki rzeczywiście są kwadratami o boku c. Wyobraź sobie bardzo dużą posadzkę z bardzo wieloma kafelkami. Czy widzisz, że potrzeba na nią tyle samo kwadratowych kafelków o boku a co o boku b? Czy widzisz, że ta sama liczba kwadratowych kafelków o boku c pokryje tę podłogę? A więc powierzchnia dwóch mniejszych kafelków kwadratowych jest taka sama, jak powierzchnia dużego kafelka o boku c.

30. Twierdzenie pitagorasa dotyczy trójkąta prostokątnego, to znaczy takiego, który ma jeden kąt prosty. W trójkącie prostokątnym boki, które tworzą kąt prosty, nazywamy przyprostokątnymi, a trzeci bok nazywamy przeciwprostokątną.

31. Twierdzenie pitagorasa mówi o tym, że jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości jego przyprostokątnych, jest równa kwadratowi długości jego przeciwprostokątnej. W praktyce, oznacza to, że dla każdego trójkąta prostokątnego, możemy zapisać równość: UWAGA: Nie zapisujmy powyższego równania bezmyślnie. Będzie wyglądało inaczej, jeżeli w zadaniu, poszczególne boki będą miały inne oznaczenia. Należy zawsze zwrócić uwagę, gdzie w trójkącie jest kąt prosty, a więc które boki to przyprostokątne.

32. Nasze Rysunki

33. Twierdzenie Cosinusów – inaczej uogólnione twierdzenie pitagorasa. Twierdzenie mówiące, że w dowolnym trójkącie na płaszczyźnie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi

34. Twierdzenie Pappusa – ważne twierdzenie geometrii euklidesowej, nazwane od Pappusa z Aleksandrii. Twierdzenie występuje w 2 postaciach : Postać Afiniczna Postać Rzutowa

35. Postać Afiniczna „Jeśli wierzchołki sześciokąta leżą na przemian na dwóch prostych A i B i dwie pary przeciwległych boków są parami boków równoległych, to również boki trzeciej pary są do siebie równoległe.” Płaszczyznę geometrii afinicznej, na której spełnione jest to twierdzenie nazywamy pappusową płaszczyzną afiniczną. Twierdzenie to jest spełnione w szczególności dla płaszczyzny euklidesowej, jednak nie daje się wyprowadzić z oryginalnych postulatów geometrii euklidesowej, co jest dowodem niezupełności tej aksjomatyki.

36. Postać Rzutowa „Jeśli wierzchołki sześciokąta leżą na przemian na dwóch prostych to punkty przecięcia par prostych zawierających przeciwległe boki są współliniowe.” Płaszczyznę geometrii rzutowej na której spełnione jest to twierdzenie nazywamy pappusową płaszczyzną rzutową. W szczególności pappusowymi płaszczyznami rzutowymi są wszystkie płaszczyzny geometrii eliptycznej. Płaszczyzny geometrii hiperbolicznej nie są nigdy pappusowymi płaszczyznami afinicznymi ani rzutowymi, możliwe jest jednak ich zanurzenie w pappusową płaszczyznę rzutową.

37. Kwadrat Magiczny - tablica składająca się z n wierszy i n kolumn (n>2), w którą wpisano n2 różnych nie powtarzających się dodatnich liczb naturalnych w ten sposób, że suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdej przekątnej jest taka sama (tzw. suma magiczna). Kwadrat, w którym suma liczb w każdym wierszu i każdej kolumnie jest taka sama, ale sumy liczb w przekątnych są różne, nazywa się półmagicznym. Kwadratów magicznych jest nieskończenie wiele.

38. Twierdzenie Pitagorasa - zagadki

39. Kołki i sznurek Korzystając z twierdzenia odwrotnego do tw. Pitagorasa, powiedz, który rysunek przedstawia trójkąt prostokątny?

40. Na przełaj czy ulicami? Mieszkańcy osiedla skracają sobie drogę do przystanku autobusowego idąc ścieżką, a nie ulicami. Rysunek przedstawia szkic terenu i rzeczywiste wymiary. Oblicz, o ile metrów mieszkańcy mają bliżej do przystanku ścieżką niż ulicami.

41. Jesteście na plaży ...chcecie pograć w siatkówkę, aby zrobić boisko musicie wyznaczyć kąty proste. Nie macie przecież ekierki. Pomyślcie jak to zrobić, mając do dyspozycji tylko sznurek.

42. ZADANIA Z UŻYCIEM TWIERDZIENIA PITAGORASA 1. Przekątne rombu mają długości 12 cm i 16 cm. oblicz długość boku tego rombu. a a 6²+8²=a² 36+64=a² 100=a² a=10 12 16 a a 12 :2 = 6 16 :2 =8 a 6 8

43. 2.Na placu zabaw ustawiono zjeżdżalnię o długości ślizgu 2,5m. W jakiej odległości od drabinki ustawionej pod kątem prostym do terenu znajduje się koniec ślizgu, jeżeli drabinkamawysokość-1,5m. (1,5)² + x² = (2,5)² 2,25 + x² = 6,25 x² = 6,25 – 2,25 x² = 4 x = 2 2,5m 1,5m x Odp. Odległość między drabinką a ślizgawką wynosi 2 metry.

44. bibliografia • http://wikipedia.org/wiki/Twierdzenie Pitagorasa • http://wiki.wolnepodreczniki.pl/Matematyka:Gimnazjum/Twierdzenie Pitagorasa • Matematyka 2. Podręcznik dla klasy 2 gimnazjum, GWO