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GRMHD 数値計算の基礎 小出眞路　（熊本大学）

GRMHD 数値計算の基礎 小出眞路　（熊本大学）. ( 一般相対論的ＭＨＤ）. 最近，一般相対論的ＭＨＤ（ＧＲＭＨＤ）を用いた数値計算が珍しくなくなってきた。ブラックホール磁気圏特有のプラズマ現象を捉えうるこの数値計算について基礎から応用まで一通りまとめる。ここでＧＲＭＨＤのための特別な数値計算手法は必要なく，ＭＨＤの方法がそのまま使えることを強調する。今後，さまざまな計算法を用いたＧＲＭＨＤコードの開発とその一般相対論的宇宙プラズマへの応用が期待される。. 第 9 回九大・熊大 宇宙物理学合同セミナ ２００６年９月５日（火）９：００～. ブラックホール磁気圏勉強会

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GRMHD 数値計算の基礎 小出眞路　（熊本大学）

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  1. GRMHD数値計算の基礎小出眞路　（熊本大学） (一般相対論的ＭＨＤ） 最近，一般相対論的ＭＨＤ（ＧＲＭＨＤ）を用いた数値計算が珍しくなくなってきた。ブラックホール磁気圏特有のプラズマ現象を捉えうるこの数値計算について基礎から応用まで一通りまとめる。ここでＧＲＭＨＤのための特別な数値計算手法は必要なく，ＭＨＤの方法がそのまま使えることを強調する。今後，さまざまな計算法を用いたＧＲＭＨＤコードの開発とその一般相対論的宇宙プラズマへの応用が期待される。 第9回九大・熊大 宇宙物理学合同セミナ ２００６年９月５日（火）９：００～ ブラックホール磁気圏勉強会 ２０１０年３月２日(火) ２００８年３月３日（月）

  2. アウトライン ◇ＧＲＭＨＤの数値計算の必要性 ◇ ＧＲＭＨＤ方程式(共変形式，３＋１形式） ◇ GRMHDの数値計算方法 　　－ＧＲＭＨＤコードの開発手順例 ◇ GRMHD数値計算のいくつかの応用例 ◇ まとめと今後の課題

  3. Black Hole Magnetosphere （Corona） Magnetic Field Lines Plasma Disk Black Hole Ergosphere Plasma Black Hole Magnetosphere

  4. Interaction between plasma and magnetic field around black holes Simplest approximation ⇒ magnetohydrodynamics (MHD) • Plasma: 一non-relativistic one-component conducting fluid • Field: ー Maxwell equations • displacement current is negligible • charge neutrality • Ohm’s law: • Zero electric resistivity (ideal MHD) • Non-zero electric resistivity (resistive MHD) • Gravitation: Wiita-Paczynski (Pseudo-Newtonian) potential. MHD is a good approximation for black hole magneto-sphere plasmas except for a vicinity of a black hole.

  5. MHD数値計算法 花輪さんの講義 ＭＨＤ方程式のタイプ： • 保存方程式 • Lax-Wendroff法 • TVD法 • HLL法 • ・・・ • 移流方程式 • ＣＩＰ-ＭＯＣＣＴ法 • ・・・ （total variation diminishing） 非移流項 流束密度 :移流量 :基本量 :保存量

  6. ＧＲMHD数値計算の必要性 非相対論的MHD: • 光速度が出てこない。ジェットなどのプラズマの流れが相対論的になっているかどうか決められない。 • 空間の引きずり効果，重力赤方変位などの一般相対論的効果を無視。 一般相対論的MHDの必要性 （ＧＲＭＨＤ） 解析的方法: • 多くの簡単化のための仮定を必要とし，解析できる状況は限られる。 ＧＲＭＨＤ数値計算 数値計算

  7. アウトライン ◇ＧＲＭＨＤの数値計算の必要性 ◇ ＧＲＭＨＤ方程式(共変形式，３＋１形式） ◇ GRMHDの数値計算方法 　　－ＧＲＭＨＤコードの開発手順例 ◇ GRMHD数値計算のいくつかの応用例 ◇ まとめと今後の課題

  8. General Relativistic MHD (GRMHD) GRMHD equations are similar to non-relativistic MHD equations. Differences are • Momentum of electromagnetic field • (significant charge separation) • Displacement current (Ampere’s law with displacement current) • Gravitational red shift （lapse function） • Frame dragging effect（shift vector） • Ohm’s law: • Zero electric resistivity (ideal GRMHD) η=0: recently explosively developed　　⇒　simplest approximation • Non-zero electric resistivity (resistive GRMHD): no calculation except for several special relativistic calculations • Space-time metric: Solution of Einstein equation • Schwarzschild metric (non-rotating black hole) • Kerr metric / Kerr-Schild metric (rotating black hole) • Time-varying metric （self-gravity of plasma and fields） Causality problem Analytic solution • ← numerical solution Line element: Proper time

  9. Kerr space-time Steady space-time around a non-charged black hole : gravitational radius Mass : M Rotation parameter: Lapse function: Shift vector: We use unit system where light speed is unity, c=1.

  10. 空間の引きずり効果 cβφ>c cβφ< c エルゴ領域内ではいかなる物質，エネルギー，情報もブラックホールの回転と逆向きに移動できない。

  11. （理想）一般相対論的ＭＨＤ方程式（共変形式）（理想）一般相対論的ＭＨＤ方程式（共変形式） • 保存則とマックスウェル方程式の一般相対論的方程式: 　　　　　　　∇n ( n U n) = 0(粒子数の保存則) 　　　　　　　∇nT mn= 0(エネルギー・運動量の保存則) 　　　　　　　∂mFnl + ∂nFlm + ∂lF mn = 0 　　　　　　　∇mF mn= - J n • 磁場の凍結の条件: FnmUn= 0 (マックスウェル方程式) （理想MHD条件） n: proper particle number density. p : proper pressure. c: speed of light. e : proper total energy density, e=mnc2 + p / (G -1). m : rest mass of particles. G: specific heat ratio. Umu : velocity four vector. Amu : potential four vector. Jmu : current density four vector. ∇mn : covariant derivative. gmn : metric. Tmn : energy momentum tensor, Tmn = pgmn + (e+p)Um Un+FmsFns -gmnFlkFlk/4. Fmn : field-strength tensor, Fmn =∂mAn -∂n Am.

  12. ΩH Kerr BH cβφ Boyer-Lindquist coordinates ⇒ coordinates of global frame Several coordinates around Kerr black hole ZAMO frame ZAMO (zero-angular-momentum observer) frame　　⇒ vector and tensor (Similar to that of Minkowski metric) Co-moving frame ⇒scalar variables

  13. ZAMO系での物理量（ベクトル，テンソル） (Lorentz factor) (3-velocity) (total energy density) (total momentum density) (electric field) (magnetic field) (electric charge density) (electric current density) ここで，光速度を１，電場と磁場の単位はB2/2とE2/2がそれぞれ磁気的エネルギー密度，電場のエネルギー密度となるように取るものとする。

  14. In ZAMO frame, we have a relations, Then, we can find the same relationship between variables measured by ZAMO frame, which is the same as those of special relativity.

  15. 3元ベクトル表現 3元速度 3元運動量密度 3元応力密度 電場 磁場 3元電流密度 ４元ベクトルの第０成分 質量密度 エネルギー密度 電荷密度 注意： ３元ベクトルは形式的なもので物理量としてのベクトルの意味を持たない。

  16. 時空を特徴付ける３元ベクトル 3元ベクトル・テンソル 空間の引きずりの３元速度 遠心力の３元力密度 ここで 空間の引きずりのシアー ここで

  17. 3+1 Formalism of Ideal GRMHD Equation (conservative form) Special relativistic mass density, gr (conservation of particle number) general relativistic effect Special relativistic total momentum density (equation of motion) special relativistic effect Special relativistic total energy density (equation of energy) No coupling with other Eqs. (Maxwell equations) (ideal MHD condition)

  18. アウトライン ◇ＧＲＭＨＤの数値計算の必要性 ◇ ＧＲＭＨＤ方程式(共変形式，３＋１形式） ◇GRMHDの数値計算方法 　　－ＧＲＭＨＤコードの開発手順例 ◇ GRMHD数値計算のいくつかの応用例 ◇ まとめと今後の課題

  19. 理想ＧＲＭＨＤを非相対論的ＭＨＤに帰着する理想ＧＲＭＨＤを非相対論的ＭＨＤに帰着する • 理想特殊相対論的ＭＨＤ(SRMHD) • 理想SRMHD方程式3+1形式は非相対論的理想ＭＨＤにほぼ同じ。（いくつかの違いはある） • 保存量から基本量を求めるのが非相対論的ＭＨＤと違い難しい。これはGRMHDの数値計算においても要となる。 • 理想ＧＲＭＨＤ • 理想ＧＲＭＨＤ方程式の３＋１形式は一般座標で書かれた理想ＳＲＭＨＤ方程式とほとんど同じ方程式となる。一般相対論的効果（空間の引きずり効果）などに起因する項が新たに現れる。

  20. 理想ＧＲＭＨＤコードの開発手順（例） • 非相対論的理想ＭＨＤコードの開発 • 理想特殊相対論的ＭＨＤコードへの変更 • このとき保存量から基本量を求めるところが重要!これはＧＲＭＨＤコード開発でも要となる。 • 一般座標化 • 例えば，円柱座標などにしてテストしてみる。 • 理想ＧＲＭＨＤコードへの変更 • メトリックをカー時空のものにする。その際，時空の引きずり効果などに関連した項が新たに加わる。

  21. 理想ＳＲＭＨＤの数値計算 これはＧＲＭＨＤよりも扱える天文学的対象・範囲は限られるが，保存量から基本量を計算するところはＧＲＭＨＤの数値計算でも要となる。 参考文献： S. Koide, K.-I. Nishikawa, R. L. Mutel, ApJ 463 (1996) L71.

  22. 特殊相対論的ＭＨＤ方程式の３＋１形式 (conservation of particle number) ここで， (equation of motion) 方程式が閉じる ここで， (equation of energy) ほぼ非相対論的ＭＨＤと同じ式。同じ手法が使えるはず。以前はその認識がなかったため，後でのべるような相対論特有の数値解法を用いていた。これでは，非相対論的ＭＨＤで培われたノウハウを生かすことはできない。 (Faraday’s law) (Gauss law) (ideal MHD law) (equation of state) (Gauss law) (Ampere’s law)

  23. 特殊相対論的ＭＨＤ方程式と理想ＭＨＤ方程式の比較特殊相対論的ＭＨＤ方程式と理想ＭＨＤ方程式の比較 全く同じ

  24. SRＭＨＤとＭＨＤの保存量の比較 ＭＨＤ SRＭＨＤ 基本量は同じ：

  25. 特殊相対論的ＭＨＤ数値計算における基本量の計算特殊相対論的ＭＨＤ数値計算における基本量の計算 Conservative Variable Primitive Variable （基本量） （保存量） (EoS: polytropic)

  26. 基本量を計算するための代数方程式 Polytropic EoS: コード中ではこの連立方程式をNewton-Raphson法により解く。

  27. 特殊相対論的MHDのテスト問題 (SRMHD) • アルフベン波 • 磁場のある場合のKelvin-Helmholtz不安定性 • 磁気衝撃管問題

  28. SRMHDの計算例（Koide, Nishikawa, Mutel, ApJL 1996） 簡易化 TVD法 速度 ローレンツ因子 γ=4.56のジェットの入射 磁場 圧力 質量密度

  29. 理想一般相対論的MHD（GRMHD） 参考文献： S. Koide, K. Shibata, & T. Kudoh, ApJ 495 (1998) L63. S. Koide, K. Shibata, & T. Kudoh, ApJ 522 (1999) 727. S. Koide, D. L. Meier, K. Shibata, & T. Kudoh, ApJ 536 (2000) 668. S. Koide, Phys. Rev. D 67 (2003) 104010. S. Koide, Phys. Rev. D 74 (2006) 044005. Schwarzschild black hole Kerr black hole

  30. 3+1 Formalism of Ideal GRMHD Equation ～ similar to nonrelativistic ideal MHD (conservative form) Special relativistic mass density, gr (conservation of particle number) general relativistic effect Special relativistic total momentum density (equation of motion) special relativistic effect Special relativistic total energy density (equation of energy) No coupling with other Eqs. (Maxwell equations) (ideal MHD condition)

  31. 理想GRMHDの座標成分での表示 General relativistic terms 一般座標で書かれた特殊相対論的MHDの素直な拡張となっている

  32. 理想SRMHDの一般座標成分での表示

  33. ここで座標以外の物理量はZAMO系で測っているので，その互いの関係は特殊相対論のそれと同じ。ここで座標以外の物理量はZAMO系で測っているので，その互いの関係は特殊相対論のそれと同じ。 Conservative Variable Primitive Variable （基本量） （保存量） (EoS: polytropic) 特殊相対論の方法がそのまま使える。

  34. GRMHDのテスト計算 • GRHD • BHへの自由落下 • BHまわりでの円軌道回転の不安定性 • Bondi flow • GRMHD • アルフベン波の伝播 • 時空の引きずり効果によるダイナモ • Magnetized Bondi flow

  35. Frame-dragging Dynamo (assumption) z Uniform magnetic field ΩH r Plasma Frame-dragging q Kerr blackhole R Ergosphere rH Frozen-in

  36. Kerr black hole, Uniform magnetic field, No Accretion disk Koide, Shibata, Kudoh, Meier 2002 t = 0 rS=2GM● z/rS Lines: Magnetic field surfaces Kerr black hole Arrows: Velocity of plasma c R/rS - Bf

  37. t = 1tS tS=rS z/rS Lines: Magnetic field surfaces Kerr black hole Arrows: Velocity of plasma c R/rS - Bf

  38. アウトライン ◇ＧＲＭＨＤの数値計算の必要性 ◇ ＧＲＭＨＤ方程式(共変形式，３＋１形式） ◇ GRMHDの数値計算方法 　　－ＧＲＭＨＤコードの開発手順例 ◇ GRMHD数値計算のいくつかの応用例 ◇ まとめと今後の課題

  39. GRMHDシミュレーション計算例：ブラックホール磁気圏プラズマのダイナミックスGRMHDシミュレーション計算例：ブラックホール磁気圏プラズマのダイナミックス • 一様磁場中の回転するブラックホール • ブラックホール回転エネルギーの引き抜き機構 • ブラックホール磁気圏でのジェット形成

  40. ブラックホール磁気圏の構成 • プラズマ • 降着円盤あり • 降着円盤なし • 磁場配位 • 一様磁場 • 放射型磁場（split monopole field） • 電流ループによる磁場 • ブラックホールの回転 (a=J/Jmax) • 回転なし：　シュワルツシルト・ブラックホール(a=0) • 回転あり：　カー・ブラックホール(-1<a<1)

  41. Status of Three Elements of Black Hole Magnetosphere • Without accretion disk • Magnetic field: configuration • Uniform magnetic field • Radial magnetic field（split monopole field） • Magnetic field caused by current loop Here we consider the simplest system consisted by rotating black hole, plasma, and magnetic field. • Black hole: rotation (a=J/Jmax) • non-rotation：　Schwarzschild black hole (a=0) • With accretion disk • Rotation：　 Kerr black hole (-1<a<1) • Plasma B Black Hole Plasma VF rF

  42. Kerr black hole, Uniform magnetic field, No Accretion disk : Initial condition (Koide, Shibata, Kudoh, Meier 2002) • Kerr black hole: maximally rotating rotation parameter, a=J/Jmax=0.9999 • Magnetic field: Uniform around Kerr black hole (Wald solution) • Plasma: zero momentum, uniform, low density and pressure r0=0.1B02/c2, p0=0.06r0c2 • Calculation region:1.05 rH ≦r ≦40 rH, 0.01 ≦θ　≦　π/2 ・　Axisymmetry, symmetry with respect to equatorial plain Uniform, strong magnetic field z Uniform, thin plasma r q Kerr blackhole R Ergosphere rH

  43. Kerr black hole, Uniform magnetic field, No Accretion disk Koide, Shibata, Kudoh, Meier 2002 t = 0 rS=2GM●/c2 z/rS Lines: Magnetic field surfaces Kerr black hole Arrows: Velocity of plasma c R/rS - Bf

  44. t = 1tS tS=rS /c z/rS Lines: Magnetic field surfaces Kerr black hole Arrows: Velocity of plasma c R/rS - Bf

  45. t = 4tS z/rS Lines: Magnetic field surfaces Kerr black hole Arrows: Velocity of plasma c R/rS - Bf

  46. t = 7tS z/rS Lines: Magnetic field surfaces Kerr black hole Arrows: Velocity of plasma c R/rS - Bf

  47. Power Radiation along Magnetic Field Lines cross Ergosphere, but No Outflow Kerr black hole Propagation of Alfven wave: Electromagnetic energy transportation Ergosphere Magnetic field lines Plasma t = 7tS

  48. Formation of Negative Energy Region Arrow: Power density Solid line: magnetic field surface Energy-at-infinity density，e∞ MHD Penrose process (Hirotani, Takahashi, Nitta, Tomimatsu 1992)

  49. ペンローズ過程 ブラックホールの回転エネルギーの引き抜き エネルギー保存 角運動量保存 energy-at-infinity ならば Cがブラックホールに落下すると， ブラックホールの回転エネルギーが減る

  50. ペンローズ過程 Energy-at-infinity E∞= aE + w3Lz  > 0 負のエネルギー 角運動量の再配分 Lz/(g2Hh3/c) H: 相対論的エンタルピー h3:メトリック成分 カー ブラック ホール Lz/(g2hh3/c)

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